Differentiaalvergelijkingen: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 8 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Differentiaalvergelijkingen

Exponentiële groei/afname: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Halveringstijd: k = ln 2 / t_½
Afkoelingswet van Newton: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Integrerende factor: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Mengtank: dm/dt = r·c − (r/V)·m

Integralen

Machtsregel: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Bepaalde integraal: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Standaardintegralen: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Oppervlakte tussen grafieken: ∫_a^b (f − g) dx

Methode

Schrijf de integrand waar mogelijk als een som van eenvoudige termen.
Pas de machtsregel toe: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), en de standaardintegralen voor e^x, 1/x, sin en cos.
Gebruik substitutie als je een functie en haar afgeleide samen ziet.
Bereken bij een bepaalde integraal F(b) − F(a).

Afgeleiden

Machtsregel: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Productregel: (uv)′ = u′v + uv′
Quotiëntregel: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Kettingregel: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Standaardafgeleiden: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Methode

Herken de structuur: som, product, quotiënt of samenstelling.
Pas de machtsregel toe op elke macht van x.
Gebruik waar nodig de product-, quotiënt- of kettingregel.
Vereenvoudig, en vul het punt in als daarom wordt gevraagd.

Numerieke methoden

Bisectie: c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
Newton–Raphson: x_n+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
Lineaire interpolatie: y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
Trapeziumregel: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2f_n−1 + fₙ], h = (b − a)/n
Regel van Simpson (n even): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4f_n−1 + fₙ]
Foutgrens trapeziumregel: |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
Euler: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
Heun: y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

Methode

Controleer voor een nulpunt de tekenwisseling bij bisectie, of bereken f en f′ voor Newton, en houd zes of meer cijfers aan in een tabel van iteraties.
Interpoleer voor een tabelwaarde lineair tussen de twee naburige punten.
Bepaal voor een integraal h = (b − a)/n, noteer f in elk knooppunt, pas de gewichten toe (1, 2, …, 2, 1 voor trapezium; 1, 4, 2, …, 4, 1 voor Simpson met even n) en vermenigvuldig met h/2 of h/3.
Zet voor een DV stappen vanaf t₀ met yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Euler) of met de gemiddelde helling (Heun), één rij per stap, tot je de gevraagde t bereikt.

2Oefenopgaven

1.DifferentiaalvergelijkingenGemiddeld

Een blikje frisdrank van 4 °C wordt uit de koelkast in een kamer van 23 °C gezet. Het volgt de afkoelingswet van Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Bereken met k = 0,06 min⁻¹ de temperatuur T na 10 min.

T₀ = 4 °CT_a = 23 °Ck = 0,06 min⁻¹t = 10 min

T = °C

2.DifferentiaalvergelijkingenMoeilijk

Een tank bevat 200 L zuiver water. Pekel met 0,25 kg zout per liter stroomt in met 4 L/min, en de goed gemengde oplossing stroomt met dezelfde snelheid uit. Hoeveel zout m zit er na 95 min in de tank?

V = 200 Lm₀ = 0 kgc = 0,25 kg/Lr = 4 L/min

m = kg

3.IntegralenGemiddeld

Het gebied onder y = √(2x) van x = 0 tot x = 1 wordt om de x-as gewenteld. Bepaal het volume V van het lichaam (een paraboloïde).

y = √(2x)0 ≤ x ≤ 1

V =

4.IntegralenMoeilijk

Bereken de oppervlakte A van het gebied tussen de parabool y = 1 − x² en de x-as.

y = 1 − x²

A =

5.AfgeleidenGemiddeld

Gegeven f(x) = x³·e^−0,5x. Bereken f′(1,5).

f(x) = x³·e^−0,5xx = 1,5

f′(1.5) =

6.AfgeleidenMoeilijk

De raaklijn aan f(x) = x² − 3x + 1 in x = −2 snijdt de y-as in y = b. Bereken b.

f(x) = x² − 3x + 1x = −2

b =

7.Numerieke methodenGemiddeld

De trapeziumregel wordt gebruikt voor ∫₀¹ eˣ dx. De fout is hoogstens (b − a)³·M/(12n²) met M = max|f″| op [0, 1]. Bepaal het kleinste aantal stroken n dat een fout kleiner dan 0,0001 garandeert.

f(x) = eˣ[a, b] = [0, 1]ε = 0,0001

n =

8.Numerieke methodenMoeilijk

Gebruik de methode van Euler met h = 0,1 voor y′ = 2y, y(0) = 1 om y₅ ≈ y(0,5) te schatten.

y′ = 2yy(0) = 1h = 0,1

y₅ =

3Oplossingen

1.Differentiaalvergelijkingen

Antwoord: T = 12,57 °C

Eerste-orde differentiaalvergelijkingen: dy/dt = k·y heeft de oplossing y = y₀·e^kt (groei voor k > 0, afname voor k < 0); een halveringstijd T geeft k = ln 2/T. De afkoelingswet van Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), geeft T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt. Een lineaire vergelijking y′ + p(x)·y = q(x) los je op met de integrerende factor μ = e^{∫p dx}: (μy)′ = μq, dus μy = ∫μq dx + C.

Oplossing van de afkoelingswet

T(t) = 23 + (−19)·e^−0,06t

Vul t in

T(10) = 23 + (−19)·0,5488 = 12,57 °C

Antwoord

T = 12,57 °C

2.Differentiaalvergelijkingen

Antwoord: m = 42,52 kg

Stel de vergelijking op

dm/dt = 4·0,25 − (4/200)·m = 1 − 0,02·m

Oplossen

De integrerende factor is e^rt/V; de oplossing nadert het evenwicht c·V.

m(t) = 50 + (−50)·e^−t/50

Vul t in

m(95) = 50 + (−50)·0,1496 = 42,52 kg

Antwoord

m = 42,52 kg

3.Integralen

Antwoord: V = 3,142

Omwentelingslichamen: als je het gebied onder y = f(x) van x = a tot x = b om de x-as wentelt, ontstaat een lichaam waarvan de doorsnede bij x een schijf met straal f(x) is. Het optellen van de schijven geeft V = π∫ₐᵇ f(x)² dx. Ligt het gebied tussen een buitenste kromme R(x) en een binnenste kromme r(x), dan is elke plak een ring: V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx. Kwadrateer de stralen voordat je ze van elkaar aftrekt.

Schijfmethode

V = π∫₀¹ 2x dx

Integreren

V = π·2·1²/2 = 3,142

Antwoord

V = 3,142

4.Integralen

Antwoord: A = 1,333

Bepaalde integralen: ∫ₐᵇ f(x) dx is de georiënteerde oppervlakte tussen de grafiek en de x-as van a tot b. Zoek een primitieve F (met F′ = f) en bereken F(b) − F(a). Machtsregel: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). De oppervlakte tussen twee krommen is ∫(bovenste − onderste) dx.

Nulpunten

1 − x² = 0 → x = ±1

Integreren

A = [1x − x³/3]₋₁¹ = 0,6667 − (−0,6667) = 1,333

Antwoord

A = 1,333

5.Afgeleiden

Antwoord: f′(1.5) = 2,391

Differentiëren: de afgeleide f′(x) is de helling van de grafiek in x. Machtsregel: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Productregel: (uv)′ = u′v + uv′. Kettingregel: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Waar f′(x) = 0 heeft de grafiek een horizontale raaklijn: een maximum, minimum of zadelpunt.

Productregel

f′(x) = u′v + uv′ = e^−0,5x·(3x² + (−0,5)·x³)

Invullen

f′(1,5) = 0,4724·(6,75 + (−1,688)) = 2,391

Antwoord

f′(1,5) = 2,391

6.Afgeleiden

Antwoord: b = −3

Punt en helling

f(−2) = 11

f′(x) = 2x − 3 → f′(−2) = −7

Raaklijn bij x = 0

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = 11 − (−7)·(−2) = −3

Antwoord

b = −3

7.Numerieke methoden

Antwoord: n = 48

Numerieke integratie: verdeel [a, b] in n stroken van breedte h = (b − a)/n met knooppunten x₀ … xₙ. Trapeziumregel: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2f_n−1 + fₙ]. Regel van Simpson (n even): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4f_n−1 + fₙ]. De fout van de trapeziumregel neemt af als h² (grens (b − a)h²·M/12 met M = max|f″|), die van Simpson als h⁴, dus Simpson is voor dezelfde knooppunten meestal veel nauwkeuriger.

Grens op de tweede afgeleide

M = e¹ = 2,718

n oplossen

n² > 1·2,718/(12·0,0001) = 2265

n > 47,59 → n = 48

Antwoord

n = 48

8.Numerieke methoden

Antwoord: y₅ = 2,488

Numerieke oplossing van y′ = f(t, y): de methode van Euler stapt langs de helling aan het begin van elke stap: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). De methode van Heun (verbeterde Euler) middelt de helling aan het begin en bij een Euler-voorspelling: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). De klassieke Runge–Kutta-methode (RK4) combineert vier hellingen: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). De globale fout van Euler is evenredig met h, die van Heun met h², die van RK4 met h⁴.

Euler-stappen

y₁ = 1 + 0,1·(2) = 1,2

y₂ = 1,2 + 0,1·(2,4) = 1,44

y₃ = 1,44 + 0,1·(2,88) = 1,728

y₄ = 1,728 + 0,1·(3,456) = 2,0736

y₅ = 2,0736 + 0,1·(4,1472) = 2,48832

Grafiek

y₅ = 2,488

Antwoord

y₅ = 2,488

De exacte waarde is y(0,5) = 2,718282.

ExamProblems · examproblems.com/courses/differential-equations