Differentiaalvergelijkingen: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 8 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Differentiaalvergelijkingen

Exponentiële groei/afname: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Halveringstijd: k = ln 2 / t_½
Afkoelingswet van Newton: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Integrerende factor: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Mengtank: dm/dt = r·c − (r/V)·m

Integralen

Machtsregel: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Bepaalde integraal: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Standaardintegralen: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Oppervlakte tussen grafieken: ∫_a^b (f − g) dx

Methode

Schrijf de integrand waar mogelijk als een som van eenvoudige termen.
Pas de machtsregel toe: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), en de standaardintegralen voor e^x, 1/x, sin en cos.
Gebruik substitutie als je een functie en haar afgeleide samen ziet.
Bereken bij een bepaalde integraal F(b) − F(a).

Afgeleiden

Machtsregel: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Productregel: (uv)′ = u′v + uv′
Quotiëntregel: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Kettingregel: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Standaardafgeleiden: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Methode

Herken de structuur: som, product, quotiënt of samenstelling.
Pas de machtsregel toe op elke macht van x.
Gebruik waar nodig de product-, quotiënt- of kettingregel.
Vereenvoudig, en vul het punt in als daarom wordt gevraagd.

Numerieke methoden

Bisectie: c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
Newton–Raphson: x_n+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
Lineaire interpolatie: y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
Trapeziumregel: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2f_n−1 + fₙ], h = (b − a)/n
Regel van Simpson (n even): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4f_n−1 + fₙ]
Foutgrens trapeziumregel: |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
Euler: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
Heun: y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

Methode

Controleer voor een nulpunt de tekenwisseling bij bisectie, of bereken f en f′ voor Newton, en houd zes of meer cijfers aan in een tabel van iteraties.
Interpoleer voor een tabelwaarde lineair tussen de twee naburige punten.
Bepaal voor een integraal h = (b − a)/n, noteer f in elk knooppunt, pas de gewichten toe (1, 2, …, 2, 1 voor trapezium; 1, 4, 2, …, 4, 1 voor Simpson met even n) en vermenigvuldig met h/2 of h/3.
Zet voor een DV stappen vanaf t₀ met yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Euler) of met de gemiddelde helling (Heun), één rij per stap, tot je de gevraagde t bereikt.

2Oefenopgaven

1.DifferentiaalvergelijkingenGemiddeld

Een kop koffie van 93 °C wordt achtergelaten in een kamer van 23 °C. Na 28 min is de temperatuur 27 °C. Het volgt de afkoelingswet van Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Bereken de constante k in min⁻¹.

T₀ = 93 °CT_a = 23 °CT(28) = 27 °C

k = min⁻¹

2.DifferentiaalvergelijkingenMoeilijk

Een tank bevat 200 L water waarin 5 kg zout is opgelost. Pekel met 0,05 kg zout per liter stroomt in met 2 L/min, en de goed gemengde oplossing stroomt met dezelfde snelheid uit. Na hoeveel minuten t bevat de tank 7 kg zout?

V = 200 Lm₀ = 5 kgc = 0,05 kg/Lr = 2 L/min

t = min

3.IntegralenGemiddeld

Bereken I = ∫₀¹ 2x·(x² + 1)¹ dx.

f(x) = 2x·(x² + 1)¹[0, 1]

I =

4.IntegralenMoeilijk

Bereken I = ∫₀^1,5 x²·eˣ dx.

∫₀^1,5 x²eˣ dx

I =

5.AfgeleidenGemiddeld

Gegeven f(x) = x·sin(x), met x in radialen. Bereken f′(1).

f(x) = x·sin(x)x = 1 rad

f′(1) =

6.AfgeleidenMoeilijk

Gegeven f(x) = x³ − 7,5x² + 18x − 3. Bereken de x-coördinaat x van het lokale minimum.

f(x) = x³ − 7,5x² + 18x − 3

x =

7.Numerieke methodenGemiddeld

Benader ∫₀³ √x·e^−x dx met de trapeziumregel met n = 5 stroken. Geef T.

f(x) = √x·e^−x[a, b] = [0, 3]n = 5

T =

8.Numerieke methodenMoeilijk

Zet één stap van de klassieke Runge–Kutta-methode (RK4) met h = 0,5 voor y′ = t² + y², y(0) = 0. Bepaal y₁ ≈ y(0,5).

y′ = t² + y²y(0) = 0h = 0,5

y₁ =

3Oplossingen

1.Differentiaalvergelijkingen

Antwoord: k = 0,1022 min⁻¹

Eerste-orde differentiaalvergelijkingen: dy/dt = k·y heeft de oplossing y = y₀·e^kt (groei voor k > 0, afname voor k < 0); een halveringstijd T geeft k = ln 2/T. De afkoelingswet van Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), geeft T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt. Een lineaire vergelijking y′ + p(x)·y = q(x) los je op met de integrerende factor μ = e^{∫p dx}: (μy)′ = μq, dus μy = ∫μq dx + C.

Verhouding van de temperatuurverschillen

e^−28k = 4/70

Los op naar k

k = ln(70/4)/28 = 0,1022 min⁻¹

Antwoord

k = 0,1022 min⁻¹

2.Differentiaalvergelijkingen

Antwoord: t = 51,08 min

Resultaat

m(t) = 10 + (−5)·e^−t/100

Los op naar t

e^−t/100 = (10 − 7)/(10 − 5) = 0,6

t = 100·ln(1,667) = 51,08 min

Antwoord

t = 51,08 min

3.Integralen

Antwoord: I = 1,5

Bepaalde integralen: ∫ₐᵇ f(x) dx is de georiënteerde oppervlakte tussen de grafiek en de x-as van a tot b. Zoek een primitieve F (met F′ = f) en bereken F(b) − F(a). Machtsregel: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). De oppervlakte tussen twee krommen is ∫(bovenste − onderste) dx.

Substitutie

u = x² + 1, du = 2x dx

I = ∫₁² u¹ du

Integreren en invullen

I = [u²/2]₁² = (4 − 1)/2 = 1,5

Antwoord

I = 1,5

4.Integralen

Antwoord: I = 3,602

Partiële integratie: ∫u·dv = u·v − ∫v·du, afgeleid uit de productregel. Kies voor u de factor die eenvoudiger wordt als je hem differentieert (een macht van x, of ln x), en voor dv de factor die je kunt integreren (eˣ, sin x, cos x, of x als u = ln x). Bereken bij een bepaalde integraal u·v op beide grenzen: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. Een factor x² vraagt om twee rondes.

Eerste ronde

∫x²eˣ dx = x²eˣ − ∫2x eˣ dx

Tweede ronde

∫2x eˣ dx = 2x eˣ − 2eˣ

∫x²eˣ dx = eˣ(x² − 2x + 2)

Limieten

4,482·(1,25) − 1·2 = 3,602

Antwoord

I = 3,602

5.Afgeleiden

Antwoord: f′(1) = 1,382

Differentiëren: de afgeleide f′(x) is de helling van de grafiek in x. Machtsregel: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Productregel: (uv)′ = u′v + uv′. Kettingregel: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Waar f′(x) = 0 heeft de grafiek een horizontale raaklijn: een maximum, minimum of zadelpunt.

Product- en kettingregel

f′(x) = sin(x) + x·cos(x)

Invullen

f′(1) = 0,8415 + 1·0,5403 = 1,382

Antwoord

f′(1) = 1,382

6.Afgeleiden

Antwoord: x = 3

Afgeleide

f′(x) = 3x² − 15x + 18 = 3·(x² − 5x + 6)

f′(x) = 0 oplossen

x = 2 of x = 3

Welke is welke

f″(x) = 6x − 15: negatief in een maximum, positief in een minimum.

f″(2) = −3, f″(3) = 3

x = 3

Antwoord

x = 3

7.Numerieke methoden

Antwoord: T = 0,6963

Numerieke integratie: verdeel [a, b] in n stroken van breedte h = (b − a)/n met knooppunten x₀ … xₙ. Trapeziumregel: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2f_n−1 + fₙ]. Regel van Simpson (n even): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4f_n−1 + fₙ]. De fout van de trapeziumregel neemt af als h² (grens (b − a)h²·M/12 met M = max|f″|), die van Simpson als h⁴, dus Simpson is voor dezelfde knooppunten meestal veel nauwkeuriger.

Knooppunten en waarden

h = 0,6

Σ wᵢfᵢ = 0 + 2·0,425108 + 2·0,329942 + 2·0,221772 + 2·0,14054 + 0,0862337 = 2,320955

Trapeziumregel

T = (0,6/2)·2,320955 = 0,6963

Antwoord

T = 0,6963

Deze integraal heeft geen elementaire primitieve, en juist dan is een numerieke regel nodig.

8.Numerieke methoden

Antwoord: y₁ = 0,04179

Numerieke oplossing van y′ = f(t, y): de methode van Euler stapt langs de helling aan het begin van elke stap: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). De methode van Heun (verbeterde Euler) middelt de helling aan het begin en bij een Euler-voorspelling: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). De klassieke Runge–Kutta-methode (RK4) combineert vier hellingen: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). De globale fout van Euler is evenredig met h, die van Heun met h², die van RK4 met h⁴.

Vier hellingen

k₁ = f(0, 0) = 0

k₂ = f(0,25, 0) = 0,0625

k₃ = f(0,25, 0,015625) = 0,0627441

k₄ = f(0,5, 0,0313721) = 0,250984

Combineer

y₁ = 0 + (0,5/6)(0 + 2·0,0625 + 2·0,0627441 + 0,250984) = 0,04179

Antwoord

y₁ = 0,04179

ExamProblems · examproblems.com/courses/differential-equations