Differentiaalvergelijkingen: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 8 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Differentiaalvergelijkingen

Exponentiële groei/afname: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Halveringstijd: k = ln 2 / t_½
Afkoelingswet van Newton: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Integrerende factor: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Mengtank: dm/dt = r·c − (r/V)·m

Integralen

Machtsregel: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Bepaalde integraal: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Standaardintegralen: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Oppervlakte tussen grafieken: ∫_a^b (f − g) dx

Methode

Schrijf de integrand waar mogelijk als een som van eenvoudige termen.
Pas de machtsregel toe: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), en de standaardintegralen voor e^x, 1/x, sin en cos.
Gebruik substitutie als je een functie en haar afgeleide samen ziet.
Bereken bij een bepaalde integraal F(b) − F(a).

Afgeleiden

Machtsregel: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Productregel: (uv)′ = u′v + uv′
Quotiëntregel: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Kettingregel: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Standaardafgeleiden: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Methode

Herken de structuur: som, product, quotiënt of samenstelling.
Pas de machtsregel toe op elke macht van x.
Gebruik waar nodig de product-, quotiënt- of kettingregel.
Vereenvoudig, en vul het punt in als daarom wordt gevraagd.

Numerieke methoden

Bisectie: c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
Newton–Raphson: x_n+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
Lineaire interpolatie: y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
Trapeziumregel: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2f_n−1 + fₙ], h = (b − a)/n
Regel van Simpson (n even): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4f_n−1 + fₙ]
Foutgrens trapeziumregel: |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
Euler: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
Heun: y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

Methode

Controleer voor een nulpunt de tekenwisseling bij bisectie, of bereken f en f′ voor Newton, en houd zes of meer cijfers aan in een tabel van iteraties.
Interpoleer voor een tabelwaarde lineair tussen de twee naburige punten.
Bepaal voor een integraal h = (b − a)/n, noteer f in elk knooppunt, pas de gewichten toe (1, 2, …, 2, 1 voor trapezium; 1, 4, 2, …, 4, 1 voor Simpson met even n) en vermenigvuldig met h/2 of h/3.
Zet voor een DV stappen vanaf t₀ met yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Euler) of met de gemiddelde helling (Heun), één rij per stap, tot je de gevraagde t bereikt.

2Oefenopgaven

1.DifferentiaalvergelijkingenGemiddeld

Los y″ + 6y′ + 5y = 0 op met y(0) = 4 en y′(0) = 0. Bepaal y(1,5).

y″ + 6y′ + 5y = 0y(0) = 4y′(0) = 0

y(1.5) =

2.DifferentiaalvergelijkingenMoeilijk

Een systeem voldoet voor t ≥ 0 aan y″ + 3y′ + 27,25y = 27,25, startend uit rust: y(0) = 0, y′(0) = 0. Bepaal y(0,25); hoeken in radialen.

y″ + 3y′ + 27,25y = 27,25y(0) = 0y′(0) = 0

y(0.25) =

3.IntegralenGemiddeld

Bereken I = ∫₀^π x·cos x dx (x in radialen).

∫₀^π x·cos x dx

I =

4.IntegralenMoeilijk

Bereken I = ∫₀^2,5 x²·eˣ dx.

∫₀^2,5 x²eˣ dx

I =

5.AfgeleidenGemiddeld

Gegeven f(x) = x·sin(x), met x in radialen. Bereken f′(1).

f(x) = x·sin(x)x = 1 rad

f′(1) =

6.AfgeleidenMoeilijk

De raaklijn aan f(x) = 3x² − 4x − 3 in x = 1 snijdt de y-as in y = b. Bereken b.

f(x) = 3x² − 4x − 3x = 1

b =

7.Numerieke methodenGemiddeld

Benader ∫₀^1,5 1/(1 + x³) dx met de trapeziumregel met n = 4 stroken. Geef T.

f(x) = 1/(1 + x³)[a, b] = [0, 1,5]n = 4

T =

8.Numerieke methodenMoeilijk

Zet één stap van de klassieke Runge–Kutta-methode (RK4) met h = 0,2 voor y′ = t² + y², y(0) = 1. Bepaal y₁ ≈ y(0,2).

y′ = t² + y²y(0) = 1h = 0,2

y₁ =

3Oplossingen

1.Differentiaalvergelijkingen

Antwoord: y(1.5) = 1,115

Lineaire tweede-ordevergelijkingen: probeer voor y″ + b·y′ + c·y = 0 y = e^rt: dit geeft de karakteristieke vergelijking r² + b·r + c = 0. Twee reële wortels r₁ ≠ r₂ geven y = A·e^r₁t + B·e^r₂t (overgedempt); een dubbele wortel r geeft y = (A + Bt)·e^rt (kritisch gedempt); complexe wortels −α ± jω geven y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt) (ondergedempt, oscillerend). De beginwaarden y(0) en y′(0) leggen A en B vast. Geschreven als y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0 is ω_n de eigenfrequentie en ζ de dempingsfactor: bij ζ < 1 oscilleert de oplossing. Bij een constante ingang, y″ + by′ + cy = c·K, is de oplossing de eindwaarde K plus de vrije respons.

Karakteristieke wortels

(r + 1)(r + 5) = 0 → r = −1, −5

Constanten uit de beginwaarden

A + B = 4, −1A − 5B = 0

A = 5, B = −1

Bereken

y(1,5) = 5·e^−1,5 + (−1)·e^−7,5 = 1,115

Antwoord

y(1,5) = 1,115

2.Differentiaalvergelijkingen

Antwoord: y(0.25) = 0,5876

Stationaire waarde en wortels

y_ss = 1, r = −1,5 ± 5j

Constanten uit de beginwaarden

y(0) = 1 + A = 0 → A = −1

y′(0) = −1,5A + 5B = 0 → B = −0,3

Bereken

y(0,25) = 1·(1 − e^−0,375(cos 1,25 + 0,3·sin 1,25)) = 0,5876

Antwoord

y(0,25) = 0,5876

3.Integralen

Antwoord: I = −2

Partiële integratie: ∫u·dv = u·v − ∫v·du, afgeleid uit de productregel. Kies voor u de factor die eenvoudiger wordt als je hem differentieert (een macht van x, of ln x), en voor dv de factor die je kunt integreren (eˣ, sin x, cos x, of x als u = ln x). Bereken bij een bepaalde integraal u·v op beide grenzen: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. Een factor x² vraagt om twee rondes.

Kies u en dv

u = x, du = dx; dv = cos x dx, v = sin x

Primitieve

∫x cos x dx = x sin x − ∫sin x dx = x sin x + cos x

Limieten

(π·sin π + cos π) − (0 + 1) = −2

Antwoord

I = −2

4.Integralen

Antwoord: I = 37,59

Eerste ronde

∫x²eˣ dx = x²eˣ − ∫2x eˣ dx

Tweede ronde

∫2x eˣ dx = 2x eˣ − 2eˣ

∫x²eˣ dx = eˣ(x² − 2x + 2)

Limieten

12,18·(3,25) − 1·2 = 37,59

Antwoord

I = 37,59

5.Afgeleiden

Antwoord: f′(1) = 1,382

Differentiëren: de afgeleide f′(x) is de helling van de grafiek in x. Machtsregel: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Productregel: (uv)′ = u′v + uv′. Kettingregel: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Waar f′(x) = 0 heeft de grafiek een horizontale raaklijn: een maximum, minimum of zadelpunt.

Product- en kettingregel

f′(x) = sin(x) + x·cos(x)

Invullen

f′(1) = 0,8415 + 1·0,5403 = 1,382

Antwoord

f′(1) = 1,382

6.Afgeleiden

Antwoord: b = −6

Punt en helling

f(1) = −4

f′(x) = 6x − 4 → f′(1) = 2

Raaklijn bij x = 0

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = −4 − 2·1 = −6

Antwoord

b = −6

7.Numerieke methoden

Antwoord: T = 1,005

Numerieke integratie: verdeel [a, b] in n stroken van breedte h = (b − a)/n met knooppunten x₀ … xₙ. Trapeziumregel: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2f_n−1 + fₙ]. Regel van Simpson (n even): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4f_n−1 + fₙ]. De fout van de trapeziumregel neemt af als h² (grens (b − a)h²·M/12 met M = max|f″|), die van Simpson als h⁴, dus Simpson is voor dezelfde knooppunten meestal veel nauwkeuriger.

Knooppunten en waarden

h = 0,375

Σ wᵢfᵢ = 1 + 2·0,949907 + 2·0,703297 + 2·0,412571 + 0,228571 = 5,36012

Trapeziumregel

T = (0,375/2)·5,36012 = 1,005

Antwoord

T = 1,005

Deze integraal heeft geen elementaire primitieve, en juist dan is een numerieke regel nodig.

8.Numerieke methoden

Antwoord: y₁ = 1,253

Numerieke oplossing van y′ = f(t, y): de methode van Euler stapt langs de helling aan het begin van elke stap: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). De methode van Heun (verbeterde Euler) middelt de helling aan het begin en bij een Euler-voorspelling: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). De klassieke Runge–Kutta-methode (RK4) combineert vier hellingen: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). De globale fout van Euler is evenredig met h, die van Heun met h², die van RK4 met h⁴.

Vier hellingen

k₁ = f(0, 1) = 1

k₂ = f(0,1, 1,1) = 1,22

k₃ = f(0,1, 1,122) = 1,268884

k₄ = f(0,2, 1,253777) = 1,611956

Combineer

y₁ = 1 + (0,2/6)(1 + 2·1,22 + 2·1,268884 + 1,611956) = 1,253

Antwoord

y₁ = 1,253

ExamProblems · examproblems.com/courses/differential-equations