Differentiaalvergelijkingen: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 8 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Differentiaalvergelijkingen

Exponentiële groei/afname: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Halveringstijd: k = ln 2 / t_½
Afkoelingswet van Newton: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Integrerende factor: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Mengtank: dm/dt = r·c − (r/V)·m

Integralen

Machtsregel: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Bepaalde integraal: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Standaardintegralen: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Oppervlakte tussen grafieken: ∫_a^b (f − g) dx

Methode

Schrijf de integrand waar mogelijk als een som van eenvoudige termen.
Pas de machtsregel toe: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), en de standaardintegralen voor e^x, 1/x, sin en cos.
Gebruik substitutie als je een functie en haar afgeleide samen ziet.
Bereken bij een bepaalde integraal F(b) − F(a).

Afgeleiden

Machtsregel: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Productregel: (uv)′ = u′v + uv′
Quotiëntregel: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Kettingregel: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Standaardafgeleiden: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Methode

Herken de structuur: som, product, quotiënt of samenstelling.
Pas de machtsregel toe op elke macht van x.
Gebruik waar nodig de product-, quotiënt- of kettingregel.
Vereenvoudig, en vul het punt in als daarom wordt gevraagd.

Numerieke methoden

Bisectie: c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
Newton–Raphson: x_n+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
Lineaire interpolatie: y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
Trapeziumregel: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2f_n−1 + fₙ], h = (b − a)/n
Regel van Simpson (n even): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4f_n−1 + fₙ]
Foutgrens trapeziumregel: |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
Euler: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
Heun: y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

Methode

Controleer voor een nulpunt de tekenwisseling bij bisectie, of bereken f en f′ voor Newton, en houd zes of meer cijfers aan in een tabel van iteraties.
Interpoleer voor een tabelwaarde lineair tussen de twee naburige punten.
Bepaal voor een integraal h = (b − a)/n, noteer f in elk knooppunt, pas de gewichten toe (1, 2, …, 2, 1 voor trapezium; 1, 4, 2, …, 4, 1 voor Simpson met even n) en vermenigvuldig met h/2 of h/3.
Zet voor een DV stappen vanaf t₀ met yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Euler) of met de gemiddelde helling (Heun), één rij per stap, tot je de gevraagde t bereikt.

2Oefenopgaven

1.DifferentiaalvergelijkingenGemiddeld

Los y″ + 6y′ + 9y = 0 op met y(0) = 2 en y′(0) = -1. Bepaal y(2).

y″ + 6y′ + 9y = 0y(0) = 2y′(0) = -1

y(2) =

2.DifferentiaalvergelijkingenMoeilijk

Een systeem voldoet voor t ≥ 0 aan y″ + 2y′ + 5y = 5, startend uit rust: y(0) = 0, y′(0) = 0. Bepaal de piekwaarde y_max van zijn staprespons.

y″ + 2y′ + 5y = 5y(0) = 0y′(0) = 0

y_max =

3.IntegralenGemiddeld

Bereken I = ∫₁⁵ 5/x dx.

f(x) = 5/x[1, 5]

I =

4.IntegralenMoeilijk

Bereken I = ∫₀² x²·eˣ dx.

∫₀² x²eˣ dx

I =

5.AfgeleidenGemiddeld

Gegeven f(x) = (−2x − 1)⁴. Bereken f′(1).

f(x) = (−2x − 1)⁴x = 1

f′(1) =

6.AfgeleidenMoeilijk

Gegeven f(x) = x³ − 6x² + 2. Bereken de x-coördinaat x van het lokale minimum.

f(x) = x³ − 6x² + 2

x =

7.Numerieke methodenGemiddeld

Benader ∫₀¹ √x·e^−x dx met de trapeziumregel met n = 2 stroken. Geef T.

f(x) = √x·e^−x[a, b] = [0, 1]n = 2

T =

8.Numerieke methodenMoeilijk

Los y′ = −2ty, y(0) = 1 op met de methode van Euler en stap h = 0,2 tot t = 0,6. De exacte oplossing is y = y₀e^−t². Bepaal de globale fout |E| = |y(0,6) − y₃|.

y′ = −2tyy(0) = 1h = 0,2

|E| =

3Oplossingen

1.Differentiaalvergelijkingen

Antwoord: y(2) = 0,02975

Lineaire tweede-ordevergelijkingen: probeer voor y″ + b·y′ + c·y = 0 y = e^rt: dit geeft de karakteristieke vergelijking r² + b·r + c = 0. Twee reële wortels r₁ ≠ r₂ geven y = A·e^r₁t + B·e^r₂t (overgedempt); een dubbele wortel r geeft y = (A + Bt)·e^rt (kritisch gedempt); complexe wortels −α ± jω geven y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt) (ondergedempt, oscillerend). De beginwaarden y(0) en y′(0) leggen A en B vast. Geschreven als y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0 is ω_n de eigenfrequentie en ζ de dempingsfactor: bij ζ < 1 oscilleert de oplossing. Bij een constante ingang, y″ + by′ + cy = c·K, is de oplossing de eindwaarde K plus de vrije respons.

Dubbele wortel

(r + 3)² = 0 → r = −3

Constanten

A = y(0) = 2

y′(0) = B − 3A → B = -1 + 6 = 5

Bereken

y(2) = (2 + 5·2)·e⁻⁶ = 0,02975

Antwoord

y(2) = 0,02975

2.Differentiaalvergelijkingen

Antwoord: y_max = 1,208

Stationaire waarde en wortels

y_ss = 1, r = −1 ± 2j

Constanten uit de beginwaarden

y(0) = 1 + A = 0 → A = −1

y′(0) = −1A + 2B = 0 → B = −0,5

Piek

t = π/2 = 1,571

y_max = 1·(1 + e^−1·π/2) = 1,208

Antwoord

y_max = 1,208

3.Integralen

Antwoord: I = 8,047

Bepaalde integralen: ∫ₐᵇ f(x) dx is de georiënteerde oppervlakte tussen de grafiek en de x-as van a tot b. Zoek een primitieve F (met F′ = f) en bereken F(b) − F(a). Machtsregel: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). De oppervlakte tussen twee krommen is ∫(bovenste − onderste) dx.

Primitieve

F(x) = 5·ln x

Grenzen invullen

I = 5·(ln 5 − ln 1) = 5·ln 5 = 8,047

Antwoord

I = 8,047

4.Integralen

Antwoord: I = 12,78

Partiële integratie: ∫u·dv = u·v − ∫v·du, afgeleid uit de productregel. Kies voor u de factor die eenvoudiger wordt als je hem differentieert (een macht van x, of ln x), en voor dv de factor die je kunt integreren (eˣ, sin x, cos x, of x als u = ln x). Bereken bij een bepaalde integraal u·v op beide grenzen: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. Een factor x² vraagt om twee rondes.

Eerste ronde

∫x²eˣ dx = x²eˣ − ∫2x eˣ dx

Tweede ronde

∫2x eˣ dx = 2x eˣ − 2eˣ

∫x²eˣ dx = eˣ(x² − 2x + 2)

Limieten

7,389·(2) − 1·2 = 12,78

Antwoord

I = 12,78

5.Afgeleiden

Antwoord: f′(1) = 216

Differentiëren: de afgeleide f′(x) is de helling van de grafiek in x. Machtsregel: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Productregel: (uv)′ = u′v + uv′. Kettingregel: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Waar f′(x) = 0 heeft de grafiek een horizontale raaklijn: een maximum, minimum of zadelpunt.

Kettingregel

f′(x) = 4·(−2x − 1)³·(−2)

Invullen

f′(1) = 4·(−3)³·(−2) = 216

Antwoord

f′(1) = 216

6.Afgeleiden

Antwoord: x = 4

Afgeleide

f′(x) = 3x² − 12x = 3·(x² − 4x)

f′(x) = 0 oplossen

x = 0 of x = 4

Welke is welke

f″(x) = 6x − 12: negatief in een maximum, positief in een minimum.

f″(0) = −12, f″(4) = 12

x = 4

Antwoord

x = 4

7.Numerieke methoden

Antwoord: T = 0,3064

Numerieke integratie: verdeel [a, b] in n stroken van breedte h = (b − a)/n met knooppunten x₀ … xₙ. Trapeziumregel: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2f_n−1 + fₙ]. Regel van Simpson (n even): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4f_n−1 + fₙ]. De fout van de trapeziumregel neemt af als h² (grens (b − a)h²·M/12 met M = max|f″|), die van Simpson als h⁴, dus Simpson is voor dezelfde knooppunten meestal veel nauwkeuriger.

Knooppunten en waarden

h = 0,5

Σ wᵢfᵢ = 0 + 2·0,428882 + 0,367879 = 1,225643

Trapeziumregel

T = (0,5/2)·1,225643 = 0,3064

Antwoord

T = 0,3064

Deze integraal heeft geen elementaire primitieve, en juist dan is een numerieke regel nodig.

8.Numerieke methoden

Antwoord: |E| = 0,07512

Numerieke oplossing van y′ = f(t, y): de methode van Euler stapt langs de helling aan het begin van elke stap: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). De methode van Heun (verbeterde Euler) middelt de helling aan het begin en bij een Euler-voorspelling: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). De klassieke Runge–Kutta-methode (RK4) combineert vier hellingen: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). De globale fout van Euler is evenredig met h, die van Heun met h², die van RK4 met h⁴.

Euler-stappen

y₃ = 0,7728

Exacte waarde

y(0,6) = 0,697676

Globale fout

|E| = |0,697676 − 0,7728| = 0,07512

Grafiek

Antwoord

|E| = 0,07512

Als je h halveert, halveert de fout van de methode van Euler ongeveer.

ExamProblems · examproblems.com/courses/differential-equations