Differentiaalvergelijkingen: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 8 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Differentiaalvergelijkingen

Exponentiële groei/afname: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Halveringstijd: k = ln 2 / t_½
Afkoelingswet van Newton: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Integrerende factor: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Mengtank: dm/dt = r·c − (r/V)·m

Integralen

Machtsregel: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Bepaalde integraal: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Standaardintegralen: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Oppervlakte tussen grafieken: ∫_a^b (f − g) dx

Methode

Schrijf de integrand waar mogelijk als een som van eenvoudige termen.
Pas de machtsregel toe: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), en de standaardintegralen voor e^x, 1/x, sin en cos.
Gebruik substitutie als je een functie en haar afgeleide samen ziet.
Bereken bij een bepaalde integraal F(b) − F(a).

Afgeleiden

Machtsregel: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Productregel: (uv)′ = u′v + uv′
Quotiëntregel: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Kettingregel: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Standaardafgeleiden: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Methode

Herken de structuur: som, product, quotiënt of samenstelling.
Pas de machtsregel toe op elke macht van x.
Gebruik waar nodig de product-, quotiënt- of kettingregel.
Vereenvoudig, en vul het punt in als daarom wordt gevraagd.

Numerieke methoden

Bisectie: c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
Newton–Raphson: x_n+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
Lineaire interpolatie: y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
Trapeziumregel: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2f_n−1 + fₙ], h = (b − a)/n
Regel van Simpson (n even): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4f_n−1 + fₙ]
Foutgrens trapeziumregel: |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
Euler: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
Heun: y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

Methode

Controleer voor een nulpunt de tekenwisseling bij bisectie, of bereken f en f′ voor Newton, en houd zes of meer cijfers aan in een tabel van iteraties.
Interpoleer voor een tabelwaarde lineair tussen de twee naburige punten.
Bepaal voor een integraal h = (b − a)/n, noteer f in elk knooppunt, pas de gewichten toe (1, 2, …, 2, 1 voor trapezium; 1, 4, 2, …, 4, 1 voor Simpson met even n) en vermenigvuldig met h/2 of h/3.
Zet voor een DV stappen vanaf t₀ met yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Euler) of met de gemiddelde helling (Heun), één rij per stap, tot je de gevraagde t bereikt.

2Oefenopgaven

1.DifferentiaalvergelijkingenGemiddeld

Een kop koffie van 92 °C wordt achtergelaten in een kamer van 24 °C. Na 25 min is de temperatuur 56 °C. Het volgt de afkoelingswet van Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Hoe lang na de start, t, duurt het om 34 °C te bereiken?

T₀ = 92 °CT_a = 24 °CT(25) = 56 °CT = 34 °C

t = min

2.DifferentiaalvergelijkingenMoeilijk

Los y′ + 2y = 7e^−t op met y(0) = 3. Bereken y(1).

y′ + 2y = 7e^−ty(0) = 3

y(1) =

3.IntegralenGemiddeld

Bereken I = ∫₀¹ 2x·(x² + 1)³ dx.

f(x) = 2x·(x² + 1)³[0, 1]

I =

4.IntegralenMoeilijk

Bereken de oppervlakte A van het gebied tussen de parabool y = 1 − x² en de x-as.

y = 1 − x²

A =

5.AfgeleidenGemiddeld

Gegeven f(x) = (−2x + 1)⁴. Bereken f′(0).

f(x) = (−2x + 1)⁴x = 0

f′(0) =

6.AfgeleidenMoeilijk

Gegeven f(x) = x³ + 7,5x² + 12x + 3. Bereken de x-coördinaat x van het lokale minimum.

f(x) = x³ + 7,5x² + 12x + 3

x =

7.Numerieke methodenGemiddeld

Benader ∫₀² eˣ dx met de trapeziumregel, n = 2, en vergelijk met de exacte waarde. Bepaal de absolute fout |E| = |T − I|.

f(x) = eˣ[a, b] = [0, 2]n = 2

|E| =

8.Numerieke methodenMoeilijk

Gebruik de methode van Euler met h = 0,25 voor y′ = t − y, y(0) = 3 om y₅ ≈ y(1,25) te schatten.

y′ = t − yy(0) = 3h = 0,25

y₅ =

3Oplossingen

1.Differentiaalvergelijkingen

Antwoord: t = 63,58 min

Eerste-orde differentiaalvergelijkingen: dy/dt = k·y heeft de oplossing y = y₀·e^kt (groei voor k > 0, afname voor k < 0); een halveringstijd T geeft k = ln 2/T. De afkoelingswet van Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), geeft T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt. Een lineaire vergelijking y′ + p(x)·y = q(x) los je op met de integrerende factor μ = e^{∫p dx}: (μy)′ = μq, dus μy = ∫μq dx + C.

Afkoelingsconstante

k = ln(68/32)/25 = 0,03015 min⁻¹

Tijd tot de doeltemperatuur

t = ln(68/10)/0,03015 = 63,58 min

Antwoord

t = 63,58 min

2.Differentiaalvergelijkingen

Antwoord: y(1) = 2,034

Integrerende factor

μ = e^2t

(e^2ty)′ = 7e^t

Algemene oplossing

y = 7/1·e^−t + C·e^−2t = 7·e^−t + C·e^−2t

Beginvoorwaarde

3 = 7 + C → C = −4

Bereken

y(1) = 7·0,3679 + (−4)·0,1353 = 2,034

Antwoord

y(1) = 2,034

3.Integralen

Antwoord: I = 3,75

Bepaalde integralen: ∫ₐᵇ f(x) dx is de georiënteerde oppervlakte tussen de grafiek en de x-as van a tot b. Zoek een primitieve F (met F′ = f) en bereken F(b) − F(a). Machtsregel: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). De oppervlakte tussen twee krommen is ∫(bovenste − onderste) dx.

Substitutie

u = x² + 1, du = 2x dx

I = ∫₁² u³ du

Integreren en invullen

I = [u⁴/4]₁² = (16 − 1)/4 = 3,75

Antwoord

I = 3,75

4.Integralen

Antwoord: A = 1,333

Nulpunten

1 − x² = 0 → x = ±1

Integreren

A = [1x − x³/3]₋₁¹ = 0,6667 − (−0,6667) = 1,333

Antwoord

A = 1,333

5.Afgeleiden

Antwoord: f′(0) = −8

Differentiëren: de afgeleide f′(x) is de helling van de grafiek in x. Machtsregel: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Productregel: (uv)′ = u′v + uv′. Kettingregel: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Waar f′(x) = 0 heeft de grafiek een horizontale raaklijn: een maximum, minimum of zadelpunt.

Kettingregel

f′(x) = 4·(−2x + 1)³·(−2)

Invullen

f′(0) = 4·1³·(−2) = −8

Antwoord

f′(0) = −8

6.Afgeleiden

Antwoord: x = −1

Afgeleide

f′(x) = 3x² + 15x + 12 = 3·(x² + 5x + 4)

f′(x) = 0 oplossen

x = −4 of x = −1

Welke is welke

f″(x) = 6x + 15: negatief in een maximum, positief in een minimum.

f″(−4) = −9, f″(−1) = 9

x = −1

Antwoord

x = −1

7.Numerieke methoden

Antwoord: |E| = 0,5238

Numerieke integratie: verdeel [a, b] in n stroken van breedte h = (b − a)/n met knooppunten x₀ … xₙ. Trapeziumregel: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2f_n−1 + fₙ]. Regel van Simpson (n even): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4f_n−1 + fₙ]. De fout van de trapeziumregel neemt af als h² (grens (b − a)h²·M/12 met M = max|f″|), die van Simpson als h⁴, dus Simpson is voor dezelfde knooppunten meestal veel nauwkeuriger.

Exacte waarde

I = 6,389056

Trapeziumregel

T = (1/2)·(1 + 2·2,718282 + 7,389056) = 6,91281

Fout

|E| = |6,91281 − 6,389056| = 0,5238

Antwoord

|E| = 0,5238

Relatieve fout: 8,198%.

8.Numerieke methoden

Antwoord: y₅ = 1,199

Numerieke oplossing van y′ = f(t, y): de methode van Euler stapt langs de helling aan het begin van elke stap: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). De methode van Heun (verbeterde Euler) middelt de helling aan het begin en bij een Euler-voorspelling: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). De klassieke Runge–Kutta-methode (RK4) combineert vier hellingen: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). De globale fout van Euler is evenredig met h, die van Heun met h², die van RK4 met h⁴.

Euler-stappen

y₁ = 3 + 0,25·(−3) = 2,25

y₂ = 2,25 + 0,25·(−2) = 1,75

y₃ = 1,75 + 0,25·(−1,25) = 1,4375

y₄ = 1,4375 + 0,25·(−0,6875) = 1,265625

y₅ = 1,265625 + 0,25·(−0,265625) = 1,199219

Grafiek

y₅ = 1,199

Antwoord

y₅ = 1,199

De exacte waarde is y(1,25) = 1,396019.

ExamProblems · examproblems.com/courses/differential-equations