Differentiaalvergelijkingen: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 8 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Differentiaalvergelijkingen

Exponentiële groei/afname: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Halveringstijd: k = ln 2 / t_½
Afkoelingswet van Newton: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Integrerende factor: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Mengtank: dm/dt = r·c − (r/V)·m

Integralen

Machtsregel: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Bepaalde integraal: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Standaardintegralen: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Oppervlakte tussen grafieken: ∫_a^b (f − g) dx

Methode

Schrijf de integrand waar mogelijk als een som van eenvoudige termen.
Pas de machtsregel toe: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), en de standaardintegralen voor e^x, 1/x, sin en cos.
Gebruik substitutie als je een functie en haar afgeleide samen ziet.
Bereken bij een bepaalde integraal F(b) − F(a).

Afgeleiden

Machtsregel: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Productregel: (uv)′ = u′v + uv′
Quotiëntregel: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Kettingregel: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Standaardafgeleiden: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Methode

Herken de structuur: som, product, quotiënt of samenstelling.
Pas de machtsregel toe op elke macht van x.
Gebruik waar nodig de product-, quotiënt- of kettingregel.
Vereenvoudig, en vul het punt in als daarom wordt gevraagd.

Numerieke methoden

Bisectie: c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
Newton–Raphson: x_n+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
Lineaire interpolatie: y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
Trapeziumregel: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2f_n−1 + fₙ], h = (b − a)/n
Regel van Simpson (n even): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4f_n−1 + fₙ]
Foutgrens trapeziumregel: |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
Euler: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
Heun: y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

Methode

Controleer voor een nulpunt de tekenwisseling bij bisectie, of bereken f en f′ voor Newton, en houd zes of meer cijfers aan in een tabel van iteraties.
Interpoleer voor een tabelwaarde lineair tussen de twee naburige punten.
Bepaal voor een integraal h = (b − a)/n, noteer f in elk knooppunt, pas de gewichten toe (1, 2, …, 2, 1 voor trapezium; 1, 4, 2, …, 4, 1 voor Simpson met even n) en vermenigvuldig met h/2 of h/3.
Zet voor een DV stappen vanaf t₀ met yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Euler) of met de gemiddelde helling (Heun), één rij per stap, tot je de gevraagde t bereikt.

2Oefenopgaven

1.DifferentiaalvergelijkingenGemiddeld

Een gesmeed stalen onderdeel van 400 °C koelt af in een werkplaats van 22 °C. Na 45 min is de temperatuur 176 °C. Het volgt de afkoelingswet van Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Bereken de constante k in min⁻¹.

T₀ = 400 °CT_a = 22 °CT(45) = 176 °C

k = min⁻¹

2.DifferentiaalvergelijkingenMoeilijk

Een tank bevat 1000 L zuiver water. Pekel met 0,05 kg zout per liter stroomt in met 5 L/min, en de goed gemengde oplossing stroomt met dezelfde snelheid uit. Na hoeveel minuten t bevat de tank 20 kg zout?

V = 1000 Lm₀ = 0 kgc = 0,05 kg/Lr = 5 L/min

t = min

3.IntegralenGemiddeld

Bereken I = ∫₀² e^−x dx.

f(x) = e^−x[0, 2]

I =

4.IntegralenMoeilijk

Bereken de oppervlakte A van het gebied tussen de parabool y = 9 − x² en de x-as.

y = 9 − x²

A =

5.AfgeleidenGemiddeld

Gegeven f(x) = x³·e^2x. Bereken f′(2).

f(x) = x³·e^2xx = 2

f′(2) =

6.AfgeleidenMoeilijk

De raaklijn aan f(x) = 0,5x² + 4x − 4 in x = 2 snijdt de y-as in y = b. Bereken b.

f(x) = 0,5x² + 4x − 4x = 2

b =

7.Numerieke methodenGemiddeld

De trapeziumregel wordt gebruikt voor ∫₀¹ x³ dx. De fout is hoogstens (b − a)³·M/(12n²) met M = max|f″| op [0, 1]. Bepaal het kleinste aantal stroken n dat een fout kleiner dan 0,001 garandeert.

f(x) = x³[a, b] = [0, 1]ε = 0,001

n =

8.Numerieke methodenMoeilijk

Los y′ = −2ty, y(0) = 2 op met de methode van Euler en stap h = 0,2 tot t = 1. De exacte oplossing is y = y₀e^−t². Bepaal de globale fout |E| = |y(1) − y₅|.

y′ = −2tyy(0) = 2h = 0,2

|E| =

3Oplossingen

1.Differentiaalvergelijkingen

Antwoord: k = 0,01995 min⁻¹

Eerste-orde differentiaalvergelijkingen: dy/dt = k·y heeft de oplossing y = y₀·e^kt (groei voor k > 0, afname voor k < 0); een halveringstijd T geeft k = ln 2/T. De afkoelingswet van Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), geeft T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt. Een lineaire vergelijking y′ + p(x)·y = q(x) los je op met de integrerende factor μ = e^{∫p dx}: (μy)′ = μq, dus μy = ∫μq dx + C.

Verhouding van de temperatuurverschillen

e^−45k = 154/378

Los op naar k

k = ln(378/154)/45 = 0,01995 min⁻¹

Antwoord

k = 0,01995 min⁻¹

2.Differentiaalvergelijkingen

Antwoord: t = 102,2 min

Resultaat

m(t) = 50 + (−50)·e^−t/200

Los op naar t

e^−t/200 = (50 − 20)/(50 − 0) = 0,6

t = 200·ln(1,667) = 102,2 min

Antwoord

t = 102,2 min

3.Integralen

Antwoord: I = 0,8647

Bepaalde integralen: ∫ₐᵇ f(x) dx is de georiënteerde oppervlakte tussen de grafiek en de x-as van a tot b. Zoek een primitieve F (met F′ = f) en bereken F(b) − F(a). Machtsregel: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). De oppervlakte tussen twee krommen is ∫(bovenste − onderste) dx.

Primitieve

F(x) = e^−x/(−1)

Grenzen invullen

I = (e⁻² − 1)/(−1) = (0,1353 − 1)/(−1) = 0,8647

Antwoord

I = 0,8647

4.Integralen

Antwoord: A = 36

Nulpunten

9 − x² = 0 → x = ±3

Integreren

A = [9x − x³/3]₋₃³ = 18 − (−18) = 36

Antwoord

A = 36

5.Afgeleiden

Antwoord: f′(2) = 1529

Differentiëren: de afgeleide f′(x) is de helling van de grafiek in x. Machtsregel: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Productregel: (uv)′ = u′v + uv′. Kettingregel: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Waar f′(x) = 0 heeft de grafiek een horizontale raaklijn: een maximum, minimum of zadelpunt.

Productregel

f′(x) = u′v + uv′ = e^2x·(3x² + 2·x³)

Invullen

f′(2) = 54,6·(12 + 16) = 1529

Antwoord

f′(2) = 1529

6.Afgeleiden

Antwoord: b = −6

Punt en helling

f(2) = 6

f′(x) = x + 4 → f′(2) = 6

Raaklijn bij x = 0

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = 6 − 6·2 = −6

Antwoord

b = −6

7.Numerieke methoden

Antwoord: n = 23

Numerieke integratie: verdeel [a, b] in n stroken van breedte h = (b − a)/n met knooppunten x₀ … xₙ. Trapeziumregel: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2f_n−1 + fₙ]. Regel van Simpson (n even): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4f_n−1 + fₙ]. De fout van de trapeziumregel neemt af als h² (grens (b − a)h²·M/12 met M = max|f″|), die van Simpson als h⁴, dus Simpson is voor dezelfde knooppunten meestal veel nauwkeuriger.

Grens op de tweede afgeleide

M = 6·1 = 6

n oplossen

n² > 1·6/(12·0,001) = 500

n > 22,36 → n = 23

Antwoord

n = 23

8.Numerieke methoden

Antwoord: |E| = 0,06301

Numerieke oplossing van y′ = f(t, y): de methode van Euler stapt langs de helling aan het begin van elke stap: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). De methode van Heun (verbeterde Euler) middelt de helling aan het begin en bij een Euler-voorspelling: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). De klassieke Runge–Kutta-methode (RK4) combineert vier hellingen: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). De globale fout van Euler is evenredig met h, die van Heun met h², die van RK4 met h⁴.

Euler-stappen

y₅ = 0,798766

Exacte waarde

y(1) = 0,735759

Globale fout

|E| = |0,735759 − 0,798766| = 0,06301

Grafiek

Antwoord

|E| = 0,06301

Als je h halveert, halveert de fout van de methode van Euler ongeveer.

ExamProblems · examproblems.com/courses/differential-equations