Differentiaalvergelijkingen
- Exponentiële groei/afname
- dy/dt = ky → y = y0ekt
- Halveringstijd
- k = ln 2 / t½
- Afkoelingswet van Newton
- T(t) = Ta + (T0 − Ta)e−kt
- Integrerende factor
- y′ + p(x)y = q(x): μ = e∫p dx, (μy)′ = μq
- Mengtank
- dm/dt = r·c − (r/V)·m
Differentiaalvergelijkingen: samenvattingspakket
Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 8 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.
1Formules en methoden
Integralen
- Machtsregel
- ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
- Bepaalde integraal
- ∫ab f dx = F(b) − F(a)
- Standaardintegralen
- ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
- Oppervlakte tussen grafieken
- ∫ab (f − g) dx
Methode
- Schrijf de integrand waar mogelijk als een som van eenvoudige termen.
- Pas de machtsregel toe: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), en de standaardintegralen voor ex, 1/x, sin en cos.
- Gebruik substitutie als je een functie en haar afgeleide samen ziet.
- Bereken bij een bepaalde integraal F(b) − F(a).
Afgeleiden
- Machtsregel
- (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
- Productregel
- (uv)′ = u′v + uv′
- Quotiëntregel
- (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
- Kettingregel
- f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
- Standaardafgeleiden
- (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x
Methode
- Herken de structuur: som, product, quotiënt of samenstelling.
- Pas de machtsregel toe op elke macht van x.
- Gebruik waar nodig de product-, quotiënt- of kettingregel.
- Vereenvoudig, en vul het punt in als daarom wordt gevraagd.
Numerieke methoden
- Bisectie
- c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
- Newton–Raphson
- xn+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
- Lineaire interpolatie
- y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
- Trapeziumregel
- T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2fn−1 + fₙ], h = (b − a)/n
- Regel van Simpson (n even)
- S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4fn−1 + fₙ]
- Foutgrens trapeziumregel
- |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
- Euler
- yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
- Heun
- yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
- RK4
- yn+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)
Methode
- Controleer voor een nulpunt de tekenwisseling bij bisectie, of bereken f en f′ voor Newton, en houd zes of meer cijfers aan in een tabel van iteraties.
- Interpoleer voor een tabelwaarde lineair tussen de twee naburige punten.
- Bepaal voor een integraal h = (b − a)/n, noteer f in elk knooppunt, pas de gewichten toe (1, 2, …, 2, 1 voor trapezium; 1, 4, 2, …, 4, 1 voor Simpson met even n) en vermenigvuldig met h/2 of h/3.
- Zet voor een DV stappen vanaf t₀ met yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Euler) of met de gemiddelde helling (Heun), één rij per stap, tot je de gevraagde t bereikt.
2Oefenopgaven
1.DifferentiaalvergelijkingenGemiddeld
Los y″ + 6y′ + 8y = 0 op met y(0) = 2 en y′(0) = 1. Bepaal y(0,5).
y″ + 6y′ + 8y = 0y(0) = 2y′(0) = 1
y(0.5) =
2.DifferentiaalvergelijkingenMoeilijk
Een systeem voldoet voor t ≥ 0 aan y″ + 2y′ + 17y = 34, startend uit rust: y(0) = 0, y′(0) = 0. Bepaal y(1); hoeken in radialen.
y″ + 2y′ + 17y = 34y(0) = 0y′(0) = 0
y(1) =
3.IntegralenGemiddeld
Het gebied onder y = √(2x) van x = 0 tot x = 2 wordt om de x-as gewenteld. Bepaal het volume V van het lichaam (een paraboloïde).
y = √(2x)0 ≤ x ≤ 2
V =
4.IntegralenMoeilijk
Bereken de oppervlakte A van het gebied tussen de parabool y = 4 − x² en de x-as.
y = 4 − x²
A =
5.AfgeleidenGemiddeld
Gegeven f(x) = ln(2x2 + 5). Bereken f′(2).
f(x) = ln(2x2 + 5)x = 2
f′(2) =
6.AfgeleidenMoeilijk
De raaklijn aan f(x) = −x2 + x + 3 in x = −2 snijdt de y-as in y = b. Bereken b.
f(x) = −x2 + x + 3x = −2
b =
7.Numerieke methodenGemiddeld
Benader ∫01,5 1/(1 + x³) dx met de trapeziumregel met n = 4 stroken. Geef T.
f(x) = 1/(1 + x³)[a, b] = [0, 1,5]n = 4
T =
8.Numerieke methodenMoeilijk
Gebruik de methode van Euler met h = 0,25 voor y′ = 1,5y, y(0) = 2 om y3 ≈ y(0,75) te schatten.
y′ = 1,5yy(0) = 2h = 0,25
y3 =
3Oplossingen
1.Differentiaalvergelijkingen
Antwoord: y(0.5) = 1,317
Lineaire tweede-ordevergelijkingen: probeer voor y″ + b·y′ + c·y = 0 y = ert: dit geeft de karakteristieke vergelijking r² + b·r + c = 0. Twee reële wortels r₁ ≠ r₂ geven y = A·er₁t + B·er₂t (overgedempt); een dubbele wortel r geeft y = (A + Bt)·ert (kritisch gedempt); complexe wortels −α ± jω geven y = e−αt(A cos ωt + B sin ωt) (ondergedempt, oscillerend). De beginwaarden y(0) en y′(0) leggen A en B vast. Geschreven als y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 is ωn de eigenfrequentie en ζ de dempingsfactor: bij ζ < 1 oscilleert de oplossing. Bij een constante ingang, y″ + by′ + cy = c·K, is de oplossing de eindwaarde K plus de vrije respons.
Karakteristieke wortels
(r + 2)(r + 4) = 0 → r = −2, −4
Constanten uit de beginwaarden
A + B = 2, −2A − 4B = 1
A = 4,5, B = −2,5
Bereken
y(0,5) = 4,5·e−1 + (−2,5)·e−2 = 1,317
Antwoord
y(0,5) = 1,317
2.Differentiaalvergelijkingen
Antwoord: y(1) = 2,62
Lineaire tweede-ordevergelijkingen: probeer voor y″ + b·y′ + c·y = 0 y = ert: dit geeft de karakteristieke vergelijking r² + b·r + c = 0. Twee reële wortels r₁ ≠ r₂ geven y = A·er₁t + B·er₂t (overgedempt); een dubbele wortel r geeft y = (A + Bt)·ert (kritisch gedempt); complexe wortels −α ± jω geven y = e−αt(A cos ωt + B sin ωt) (ondergedempt, oscillerend). De beginwaarden y(0) en y′(0) leggen A en B vast. Geschreven als y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 is ωn de eigenfrequentie en ζ de dempingsfactor: bij ζ < 1 oscilleert de oplossing. Bij een constante ingang, y″ + by′ + cy = c·K, is de oplossing de eindwaarde K plus de vrije respons.
Stationaire waarde en wortels
yss = 2, r = −1 ± 4j
Constanten uit de beginwaarden
y(0) = 2 + A = 0 → A = −2
y′(0) = −1A + 4B = 0 → B = −0,5
Bereken
y(1) = 2·(1 − e−1(cos 4 + 0,25·sin 4)) = 2,62
Antwoord
y(1) = 2,62
3.Integralen
Antwoord: V = 12,57
Omwentelingslichamen: als je het gebied onder y = f(x) van x = a tot x = b om de x-as wentelt, ontstaat een lichaam waarvan de doorsnede bij x een schijf met straal f(x) is. Het optellen van de schijven geeft V = π∫ₐᵇ f(x)² dx. Ligt het gebied tussen een buitenste kromme R(x) en een binnenste kromme r(x), dan is elke plak een ring: V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx. Kwadrateer de stralen voordat je ze van elkaar aftrekt.
Schijfmethode
V = π∫₀2 2x dx
Integreren
V = π·2·2²/2 = 12,57
Antwoord
V = 12,57
4.Integralen
Antwoord: A = 10,67
Bepaalde integralen: ∫ₐᵇ f(x) dx is de georiënteerde oppervlakte tussen de grafiek en de x-as van a tot b. Zoek een primitieve F (met F′ = f) en bereken F(b) − F(a). Machtsregel: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). De oppervlakte tussen twee krommen is ∫(bovenste − onderste) dx.
Nulpunten
4 − x² = 0 → x = ±2
Integreren
A = [4x − x³/3]−22 = 5,333 − (−5,333) = 10,67
Antwoord
A = 10,67
5.Afgeleiden
Antwoord: f′(2) = 0,6154
Differentiëren: de afgeleide f′(x) is de helling van de grafiek in x. Machtsregel: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Productregel: (uv)′ = u′v + uv′. Kettingregel: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Waar f′(x) = 0 heeft de grafiek een horizontale raaklijn: een maximum, minimum of zadelpunt.
Kettingregel voor de logaritme
f′(x) = 4x/(2x2 + 5)
Invullen
f′(2) = 8/13 = 0,6154
Antwoord
f′(2) = 0,6154
6.Afgeleiden
Antwoord: b = 7
Differentiëren: de afgeleide f′(x) is de helling van de grafiek in x. Machtsregel: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Productregel: (uv)′ = u′v + uv′. Kettingregel: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Waar f′(x) = 0 heeft de grafiek een horizontale raaklijn: een maximum, minimum of zadelpunt.
Punt en helling
f(−2) = −3
f′(x) = −2x + 1 → f′(−2) = 5
Raaklijn bij x = 0
b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = −3 − 5·(−2) = 7
Antwoord
b = 7
7.Numerieke methoden
Antwoord: T = 1,005
Numerieke integratie: verdeel [a, b] in n stroken van breedte h = (b − a)/n met knooppunten x₀ … xₙ. Trapeziumregel: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2fn−1 + fₙ]. Regel van Simpson (n even): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4fn−1 + fₙ]. De fout van de trapeziumregel neemt af als h² (grens (b − a)h²·M/12 met M = max|f″|), die van Simpson als h⁴, dus Simpson is voor dezelfde knooppunten meestal veel nauwkeuriger.
Knooppunten en waarden
h = 0,375
Σ wᵢfᵢ = 1 + 2·0,949907 + 2·0,703297 + 2·0,412571 + 0,228571 = 5,36012
Trapeziumregel
T = (0,375/2)·5,36012 = 1,005
Antwoord
T = 1,005
Deze integraal heeft geen elementaire primitieve, en juist dan is een numerieke regel nodig.
8.Numerieke methoden
Antwoord: y3 = 5,199
Numerieke oplossing van y′ = f(t, y): de methode van Euler stapt langs de helling aan het begin van elke stap: yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). De methode van Heun (verbeterde Euler) middelt de helling aan het begin en bij een Euler-voorspelling: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). De klassieke Runge–Kutta-methode (RK4) combineert vier hellingen: yn+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). De globale fout van Euler is evenredig met h, die van Heun met h², die van RK4 met h⁴.
Euler-stappen
y₁ = 2 + 0,25·(3) = 2,75
y₂ = 2,75 + 0,25·(4,125) = 3,78125
y₃ = 3,78125 + 0,25·(5,671875) = 5,199219
Grafiek
y3 = 5,199
Antwoord
y3 = 5,199
De exacte waarde is y(0,75) = 6,160434.
ExamProblems · examproblems.com/courses/differential-equations