Differentiaalvergelijkingen
- Exponentiële groei/afname
- dy/dt = ky → y = y0ekt
- Halveringstijd
- k = ln 2 / t½
- Afkoelingswet van Newton
- T(t) = Ta + (T0 − Ta)e−kt
- Integrerende factor
- y′ + p(x)y = q(x): μ = e∫p dx, (μy)′ = μq
- Mengtank
- dm/dt = r·c − (r/V)·m
Differentiaalvergelijkingen: samenvattingspakket
Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 8 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.
1Formules en methoden
Integralen
- Machtsregel
- ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
- Bepaalde integraal
- ∫ab f dx = F(b) − F(a)
- Standaardintegralen
- ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
- Oppervlakte tussen grafieken
- ∫ab (f − g) dx
Methode
- Schrijf de integrand waar mogelijk als een som van eenvoudige termen.
- Pas de machtsregel toe: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), en de standaardintegralen voor ex, 1/x, sin en cos.
- Gebruik substitutie als je een functie en haar afgeleide samen ziet.
- Bereken bij een bepaalde integraal F(b) − F(a).
Afgeleiden
- Machtsregel
- (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
- Productregel
- (uv)′ = u′v + uv′
- Quotiëntregel
- (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
- Kettingregel
- f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
- Standaardafgeleiden
- (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x
Methode
- Herken de structuur: som, product, quotiënt of samenstelling.
- Pas de machtsregel toe op elke macht van x.
- Gebruik waar nodig de product-, quotiënt- of kettingregel.
- Vereenvoudig, en vul het punt in als daarom wordt gevraagd.
Numerieke methoden
- Bisectie
- c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
- Newton–Raphson
- xn+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
- Lineaire interpolatie
- y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
- Trapeziumregel
- T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2fn−1 + fₙ], h = (b − a)/n
- Regel van Simpson (n even)
- S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4fn−1 + fₙ]
- Foutgrens trapeziumregel
- |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
- Euler
- yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
- Heun
- yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
- RK4
- yn+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)
Methode
- Controleer voor een nulpunt de tekenwisseling bij bisectie, of bereken f en f′ voor Newton, en houd zes of meer cijfers aan in een tabel van iteraties.
- Interpoleer voor een tabelwaarde lineair tussen de twee naburige punten.
- Bepaal voor een integraal h = (b − a)/n, noteer f in elk knooppunt, pas de gewichten toe (1, 2, …, 2, 1 voor trapezium; 1, 4, 2, …, 4, 1 voor Simpson met even n) en vermenigvuldig met h/2 of h/3.
- Zet voor een DV stappen vanaf t₀ met yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Euler) of met de gemiddelde helling (Heun), één rij per stap, tot je de gevraagde t bereikt.
2Oefenopgaven
1.DifferentiaalvergelijkingenGemiddeld
Een gesmeed stalen onderdeel van 360 °C koelt af in een werkplaats van 28 °C. Na 36 min is de temperatuur 141 °C. Het volgt de afkoelingswet van Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Bereken de constante k in min⁻¹.
T0 = 360 °CTa = 28 °CT(36) = 141 °C
k = min⁻¹
2.DifferentiaalvergelijkingenMoeilijk
Los het beginwaardeprobleem y′ + y/x = 3x2 op voor x > 0, met y(1) = 5. Bereken y(2).
y′ + y/x = 3x2y(1) = 5
y(2) =
3.IntegralenGemiddeld
Bereken I = ∫210 3/x dx.
f(x) = 3/x[2, 10]
I =
4.IntegralenMoeilijk
Bereken de oppervlakte A van het gebied ingesloten door y = 2x2 en y = 4x.
y = 2x2y = 4x
A =
5.AfgeleidenGemiddeld
Gegeven f(x) = (−2x + 1)3. Bereken f′(2).
f(x) = (−2x + 1)3x = 2
f′(2) =
6.AfgeleidenMoeilijk
Gegeven f(x) = x3 − 15x2 + 63x + 2. Bereken de x-coördinaat x van het lokale maximum.
f(x) = x3 − 15x2 + 63x + 2
x =
7.Numerieke methodenGemiddeld
Benader ∫02 x³ dx met de trapeziumregel, n = 2, en vergelijk met de exacte waarde. Bepaal de absolute fout |E| = |T − I|.
f(x) = x³[a, b] = [0, 2]n = 2
|E| =
8.Numerieke methodenMoeilijk
Gebruik de methode van Euler met h = 0,2 voor y′ = y(2 − y), y(0) = 0,2 om y4 ≈ y(0,8) te schatten.
y′ = y(2 − y)y(0) = 0,2h = 0,2
y4 =
3Oplossingen
1.Differentiaalvergelijkingen
Antwoord: k = 0,02994 min⁻¹
Eerste-orde differentiaalvergelijkingen: dy/dt = k·y heeft de oplossing y = y₀·ekt (groei voor k > 0, afname voor k < 0); een halveringstijd T geeft k = ln 2/T. De afkoelingswet van Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), geeft T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. Een lineaire vergelijking y′ + p(x)·y = q(x) los je op met de integrerende factor μ = e∫p dx: (μy)′ = μq, dus μy = ∫μq dx + C.
Verhouding van de temperatuurverschillen
e−36k = 113/332
Los op naar k
k = ln(332/113)/36 = 0,02994 min⁻¹
Antwoord
k = 0,02994 min⁻¹
2.Differentiaalvergelijkingen
Antwoord: y(2) = 8,125
Eerste-orde differentiaalvergelijkingen: dy/dt = k·y heeft de oplossing y = y₀·ekt (groei voor k > 0, afname voor k < 0); een halveringstijd T geeft k = ln 2/T. De afkoelingswet van Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), geeft T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. Een lineaire vergelijking y′ + p(x)·y = q(x) los je op met de integrerende factor μ = e∫p dx: (μy)′ = μq, dus μy = ∫μq dx + C.
Integrerende factor
μ = e∫1/x dx = x1
Integreren
(x1y)′ = 3x3 → x1y = 3x4/4 + C
Beginvoorwaarde
5 = 3/4 + C → C = 4,25
Bereken
y(2) = (3·24/4 + 4,25)/21 = 8,125
Antwoord
y(2) = 8,125
3.Integralen
Antwoord: I = 4,828
Bepaalde integralen: ∫ₐᵇ f(x) dx is de georiënteerde oppervlakte tussen de grafiek en de x-as van a tot b. Zoek een primitieve F (met F′ = f) en bereken F(b) − F(a). Machtsregel: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). De oppervlakte tussen twee krommen is ∫(bovenste − onderste) dx.
Primitieve
F(x) = 3·ln x
Grenzen invullen
I = 3·(ln 10 − ln 2) = 3·ln 5 = 4,828
Antwoord
I = 4,828
4.Integralen
Antwoord: A = 2,667
Bepaalde integralen: ∫ₐᵇ f(x) dx is de georiënteerde oppervlakte tussen de grafiek en de x-as van a tot b. Zoek een primitieve F (met F′ = f) en bereken F(b) − F(a). Machtsregel: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). De oppervlakte tussen twee krommen is ∫(bovenste − onderste) dx.
Snijpunten
2x2 = 4x → x = 0, x = 2
Bovenste min onderste integreren
A = [2x2 − 0,6667x3]02 = 2,667
Antwoord
A = 2,667
5.Afgeleiden
Antwoord: f′(2) = −54
Differentiëren: de afgeleide f′(x) is de helling van de grafiek in x. Machtsregel: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Productregel: (uv)′ = u′v + uv′. Kettingregel: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Waar f′(x) = 0 heeft de grafiek een horizontale raaklijn: een maximum, minimum of zadelpunt.
Kettingregel
f′(x) = 3·(−2x + 1)2·(−2)
Invullen
f′(2) = 3·(−3)2·(−2) = −54
Antwoord
f′(2) = −54
6.Afgeleiden
Antwoord: x = 3
Differentiëren: de afgeleide f′(x) is de helling van de grafiek in x. Machtsregel: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Productregel: (uv)′ = u′v + uv′. Kettingregel: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Waar f′(x) = 0 heeft de grafiek een horizontale raaklijn: een maximum, minimum of zadelpunt.
Afgeleide
f′(x) = 3x2 − 30x + 63 = 3·(x2 − 10x + 21)
f′(x) = 0 oplossen
x = 3 of x = 7
Welke is welke
f″(x) = 6x − 30: negatief in een maximum, positief in een minimum.
f″(3) = −12, f″(7) = 12
x = 3
Antwoord
x = 3
7.Numerieke methoden
Antwoord: |E| = 1
Numerieke integratie: verdeel [a, b] in n stroken van breedte h = (b − a)/n met knooppunten x₀ … xₙ. Trapeziumregel: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2fn−1 + fₙ]. Regel van Simpson (n even): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4fn−1 + fₙ]. De fout van de trapeziumregel neemt af als h² (grens (b − a)h²·M/12 met M = max|f″|), die van Simpson als h⁴, dus Simpson is voor dezelfde knooppunten meestal veel nauwkeuriger.
Exacte waarde
I = 4
Trapeziumregel
T = (1/2)·(0 + 2·1 + 8) = 5
Fout
|E| = |5 − 4| = 1
Antwoord
|E| = 1
Relatieve fout: 25%.
8.Numerieke methoden
Antwoord: y4 = 0,6327
Numerieke oplossing van y′ = f(t, y): de methode van Euler stapt langs de helling aan het begin van elke stap: yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). De methode van Heun (verbeterde Euler) middelt de helling aan het begin en bij een Euler-voorspelling: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). De klassieke Runge–Kutta-methode (RK4) combineert vier hellingen: yn+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). De globale fout van Euler is evenredig met h, die van Heun met h², die van RK4 met h⁴.
Euler-stappen
y₁ = 0,2 + 0,2·(0,36) = 0,272
y₂ = 0,272 + 0,2·(0,470016) = 0,366003
y₃ = 0,366003 + 0,2·(0,598048) = 0,485613
y₄ = 0,485613 + 0,2·(0,735406) = 0,632694
Grafiek
y4 = 0,6327
Antwoord
y4 = 0,6327
De exacte waarde is y(0,8) = 0,709958.
ExamProblems · examproblems.com/courses/differential-equations