Differentiaalvergelijkingen: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 8 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Differentiaalvergelijkingen

Exponentiële groei/afname: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Halveringstijd: k = ln 2 / t_½
Afkoelingswet van Newton: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Integrerende factor: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Mengtank: dm/dt = r·c − (r/V)·m

Integralen

Machtsregel: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Bepaalde integraal: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Standaardintegralen: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Oppervlakte tussen grafieken: ∫_a^b (f − g) dx

Methode

Schrijf de integrand waar mogelijk als een som van eenvoudige termen.
Pas de machtsregel toe: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), en de standaardintegralen voor e^x, 1/x, sin en cos.
Gebruik substitutie als je een functie en haar afgeleide samen ziet.
Bereken bij een bepaalde integraal F(b) − F(a).

Afgeleiden

Machtsregel: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Productregel: (uv)′ = u′v + uv′
Quotiëntregel: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Kettingregel: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Standaardafgeleiden: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Methode

Herken de structuur: som, product, quotiënt of samenstelling.
Pas de machtsregel toe op elke macht van x.
Gebruik waar nodig de product-, quotiënt- of kettingregel.
Vereenvoudig, en vul het punt in als daarom wordt gevraagd.

Numerieke methoden

Bisectie: c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
Newton–Raphson: x_n+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
Lineaire interpolatie: y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
Trapeziumregel: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2f_n−1 + fₙ], h = (b − a)/n
Regel van Simpson (n even): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4f_n−1 + fₙ]
Foutgrens trapeziumregel: |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
Euler: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
Heun: y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

Methode

Controleer voor een nulpunt de tekenwisseling bij bisectie, of bereken f en f′ voor Newton, en houd zes of meer cijfers aan in een tabel van iteraties.
Interpoleer voor een tabelwaarde lineair tussen de twee naburige punten.
Bepaal voor een integraal h = (b − a)/n, noteer f in elk knooppunt, pas de gewichten toe (1, 2, …, 2, 1 voor trapezium; 1, 4, 2, …, 4, 1 voor Simpson met even n) en vermenigvuldig met h/2 of h/3.
Zet voor een DV stappen vanaf t₀ met yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Euler) of met de gemiddelde helling (Heun), één rij per stap, tot je de gevraagde t bereikt.

2Oefenopgaven

1.DifferentiaalvergelijkingenGemiddeld

Een blikje frisdrank van 3 °C wordt uit de koelkast in een kamer van 26 °C gezet. Na 13 min is de temperatuur 15 °C. Het volgt de afkoelingswet van Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Hoe lang na de start, t, duurt het om 11 °C te bereiken?

T₀ = 3 °CT_a = 26 °CT(13) = 15 °CT = 11 °C

t = min

2.DifferentiaalvergelijkingenMoeilijk

Los y″ + y′ + 9,25y = 0 op met y(0) = 10 en y′(0) = 0 (losgelaten uit rust). Bepaal y(1); hoeken in radialen.

y″ + y′ + 9,25y = 0y(0) = 10y′(0) = 0

y(1) =

3.IntegralenGemiddeld

Bereken I = ∫₂⁸ 3/x dx.

f(x) = 3/x[2, 8]

I =

4.IntegralenMoeilijk

Bereken de oppervlakte A van het gebied tussen de parabool y = 1 − x² en de x-as.

y = 1 − x²

A =

5.AfgeleidenGemiddeld

Gegeven f(x) = (−2x + 1)⁵. Bereken f′(1).

f(x) = (−2x + 1)⁵x = 1

f′(1) =

6.AfgeleidenMoeilijk

De raaklijn aan f(x) = 0,5x² − 5x − 5 in x = −2 snijdt de y-as in y = b. Bereken b.

f(x) = 0,5x² − 5x − 5x = −2

b =

7.Numerieke methodenGemiddeld

Benader ∫₁³ 1/x dx met de regel van Simpson, n = 2, en vergelijk met de exacte waarde. Bepaal de absolute fout |E| = |S − I|.

f(x) = 1/x[a, b] = [1, 3]n = 2

|E| =

8.Numerieke methodenMoeilijk

Gebruik de methode van Heun (verbeterde Euler) met h = 0,5 voor y′ = e^−ty, y(0) = 0 om y₂ ≈ y(1) te schatten.

y′ = e^−tyy(0) = 0h = 0,5

y₂ =

3Oplossingen

1.Differentiaalvergelijkingen

Antwoord: t = 7,534 min

Eerste-orde differentiaalvergelijkingen: dy/dt = k·y heeft de oplossing y = y₀·e^kt (groei voor k > 0, afname voor k < 0); een halveringstijd T geeft k = ln 2/T. De afkoelingswet van Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), geeft T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt. Een lineaire vergelijking y′ + p(x)·y = q(x) los je op met de integrerende factor μ = e^{∫p dx}: (μy)′ = μq, dus μy = ∫μq dx + C.

Afkoelingsconstante

k = ln(-23/-11)/13 = 0,05674 min⁻¹

Tijd tot de doeltemperatuur

t = ln(-23/(−15))/0,05674 = 7,534 min

Antwoord

t = 7,534 min

2.Differentiaalvergelijkingen

Antwoord: y(1) = −5,862

Lineaire tweede-ordevergelijkingen: probeer voor y″ + b·y′ + c·y = 0 y = e^rt: dit geeft de karakteristieke vergelijking r² + b·r + c = 0. Twee reële wortels r₁ ≠ r₂ geven y = A·e^r₁t + B·e^r₂t (overgedempt); een dubbele wortel r geeft y = (A + Bt)·e^rt (kritisch gedempt); complexe wortels −α ± jω geven y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt) (ondergedempt, oscillerend). De beginwaarden y(0) en y′(0) leggen A en B vast. Geschreven als y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0 is ω_n de eigenfrequentie en ζ de dempingsfactor: bij ζ < 1 oscilleert de oplossing. Bij een constante ingang, y″ + by′ + cy = c·K, is de oplossing de eindwaarde K plus de vrije respons.

Complexe wortels

r = −0,5 ± 3j

Constanten

A = 10, B = 0,5·10/3 = 1,667

Bereken

y(1) = e^−0,5(10·cos 3 + 1,667·sin 3) = −5,862

Antwoord

y(1) = −5,862

3.Integralen

Antwoord: I = 4,159

Bepaalde integralen: ∫ₐᵇ f(x) dx is de georiënteerde oppervlakte tussen de grafiek en de x-as van a tot b. Zoek een primitieve F (met F′ = f) en bereken F(b) − F(a). Machtsregel: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). De oppervlakte tussen twee krommen is ∫(bovenste − onderste) dx.

Primitieve

F(x) = 3·ln x

Grenzen invullen

I = 3·(ln 8 − ln 2) = 3·ln 4 = 4,159

Antwoord

I = 4,159

4.Integralen

Antwoord: A = 1,333

Nulpunten

1 − x² = 0 → x = ±1

Integreren

A = [1x − x³/3]₋₁¹ = 0,6667 − (−0,6667) = 1,333

Antwoord

A = 1,333

5.Afgeleiden

Antwoord: f′(1) = −10

Differentiëren: de afgeleide f′(x) is de helling van de grafiek in x. Machtsregel: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Productregel: (uv)′ = u′v + uv′. Kettingregel: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Waar f′(x) = 0 heeft de grafiek een horizontale raaklijn: een maximum, minimum of zadelpunt.

Kettingregel

f′(x) = 5·(−2x + 1)⁴·(−2)

Invullen

f′(1) = 5·(−1)⁴·(−2) = −10

Antwoord

f′(1) = −10

6.Afgeleiden

Antwoord: b = −7

Punt en helling

f(−2) = 7

f′(x) = x − 5 → f′(−2) = −7

Raaklijn bij x = 0

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = 7 − (−7)·(−2) = −7

Antwoord

b = −7

7.Numerieke methoden

Antwoord: |E| = 0,0125

Numerieke integratie: verdeel [a, b] in n stroken van breedte h = (b − a)/n met knooppunten x₀ … xₙ. Trapeziumregel: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2f_n−1 + fₙ]. Regel van Simpson (n even): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4f_n−1 + fₙ]. De fout van de trapeziumregel neemt af als h² (grens (b − a)h²·M/12 met M = max|f″|), die van Simpson als h⁴, dus Simpson is voor dezelfde knooppunten meestal veel nauwkeuriger.

Exacte waarde

I = 1,098612

Regel van Simpson

S = (1/3)·(1 + 4·0,5 + 0,333333) = 1,111111

Fout

|E| = |1,111111 − 1,098612| = 0,0125

Antwoord

|E| = 0,0125

Relatieve fout: 1,138%.

8.Numerieke methoden

Antwoord: y₂ = 0,7522

Numerieke oplossing van y′ = f(t, y): de methode van Euler stapt langs de helling aan het begin van elke stap: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). De methode van Heun (verbeterde Euler) middelt de helling aan het begin en bij een Euler-voorspelling: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). De klassieke Runge–Kutta-methode (RK4) combineert vier hellingen: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). De globale fout van Euler is evenredig met h, die van Heun met h², die van RK4 met h⁴.

Heun-stappen

y₁ = 0 + (0,5/2)(1 + 0,778801) = 0,4447

y₂ = 0,4447 + (0,5/2)(0,800635 + 0,42955) = 0,752246

Grafiek

y₂ = 0,7522

Antwoord

y₂ = 0,7522

ExamProblems · examproblems.com/courses/differential-equations