Differentiaalvergelijkingen: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 8 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Differentiaalvergelijkingen

Exponentiële groei/afname: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Halveringstijd: k = ln 2 / t_½
Afkoelingswet van Newton: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Integrerende factor: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Mengtank: dm/dt = r·c − (r/V)·m

Integralen

Machtsregel: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Bepaalde integraal: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Standaardintegralen: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Oppervlakte tussen grafieken: ∫_a^b (f − g) dx

Methode

Schrijf de integrand waar mogelijk als een som van eenvoudige termen.
Pas de machtsregel toe: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), en de standaardintegralen voor e^x, 1/x, sin en cos.
Gebruik substitutie als je een functie en haar afgeleide samen ziet.
Bereken bij een bepaalde integraal F(b) − F(a).

Afgeleiden

Machtsregel: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Productregel: (uv)′ = u′v + uv′
Quotiëntregel: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Kettingregel: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Standaardafgeleiden: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Methode

Herken de structuur: som, product, quotiënt of samenstelling.
Pas de machtsregel toe op elke macht van x.
Gebruik waar nodig de product-, quotiënt- of kettingregel.
Vereenvoudig, en vul het punt in als daarom wordt gevraagd.

Numerieke methoden

Bisectie: c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
Newton–Raphson: x_n+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
Lineaire interpolatie: y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
Trapeziumregel: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2f_n−1 + fₙ], h = (b − a)/n
Regel van Simpson (n even): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4f_n−1 + fₙ]
Foutgrens trapeziumregel: |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
Euler: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
Heun: y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

Methode

Controleer voor een nulpunt de tekenwisseling bij bisectie, of bereken f en f′ voor Newton, en houd zes of meer cijfers aan in een tabel van iteraties.
Interpoleer voor een tabelwaarde lineair tussen de twee naburige punten.
Bepaal voor een integraal h = (b − a)/n, noteer f in elk knooppunt, pas de gewichten toe (1, 2, …, 2, 1 voor trapezium; 1, 4, 2, …, 4, 1 voor Simpson met even n) en vermenigvuldig met h/2 of h/3.
Zet voor een DV stappen vanaf t₀ met yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Euler) of met de gemiddelde helling (Heun), één rij per stap, tot je de gevraagde t bereikt.

2Oefenopgaven

1.DifferentiaalvergelijkingenGemiddeld

Een blikje frisdrank van 4 °C wordt uit de koelkast in een kamer van 25 °C gezet. Na 30 min is de temperatuur 16 °C. Het volgt de afkoelingswet van Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Hoe lang na de start, t, duurt het om 11 °C te bereiken?

T₀ = 4 °CT_a = 25 °CT(30) = 16 °CT = 11 °C

t = min

2.DifferentiaalvergelijkingenMoeilijk

Los het beginwaardeprobleem y′ + y/x = 5x² op voor x > 0, met y(1) = −2. Bereken y(2).

y′ + y/x = 5x²y(1) = −2

y(2) =

3.IntegralenGemiddeld

Het gebied onder y = 3x van x = 0 tot x = 2 wordt om de x-as gewenteld. Bepaal het volume V van het lichaam (een kegel).

y = 3x0 ≤ x ≤ 2

V =

4.IntegralenMoeilijk

Bereken de oppervlakte A van het gebied ingesloten door y = 2x² en y = 3x.

y = 2x²y = 3x

A =

5.AfgeleidenGemiddeld

Gegeven f(x) = x·sin(2x), met x in radialen. Bereken f′(1).

f(x) = x·sin(2x)x = 1 rad

f′(1) =

6.AfgeleidenMoeilijk

Gegeven f(x) = x³ − 1,5x² − 1. Bereken de x-coördinaat x van het lokale minimum.

f(x) = x³ − 1,5x² − 1

x =

7.Numerieke methodenGemiddeld

Benader ∫₀¹ x³ dx met de trapeziumregel, n = 2, en vergelijk met de exacte waarde. Bepaal de absolute fout |E| = |T − I|.

f(x) = x³[a, b] = [0, 1]n = 2

|E| =

8.Numerieke methodenMoeilijk

Los y′ = −2ty, y(0) = 0,5 op met de methode van Euler en stap h = 0,2 tot t = 1. De exacte oplossing is y = y₀e^−t². Bepaal de globale fout |E| = |y(1) − y₅|.

y′ = −2tyy(0) = 0,5h = 0,2

|E| =

3Oplossingen

1.Differentiaalvergelijkingen

Antwoord: t = 14,36 min

Eerste-orde differentiaalvergelijkingen: dy/dt = k·y heeft de oplossing y = y₀·e^kt (groei voor k > 0, afname voor k < 0); een halveringstijd T geeft k = ln 2/T. De afkoelingswet van Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), geeft T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt. Een lineaire vergelijking y′ + p(x)·y = q(x) los je op met de integrerende factor μ = e^{∫p dx}: (μy)′ = μq, dus μy = ∫μq dx + C.

Afkoelingsconstante

k = ln(-21/-9)/30 = 0,02824 min⁻¹

Tijd tot de doeltemperatuur

t = ln(-21/(−14))/0,02824 = 14,36 min

Antwoord

t = 14,36 min

2.Differentiaalvergelijkingen

Antwoord: y(2) = 8,375

Integrerende factor

μ = e^{∫1/x dx} = x¹

Integreren

(x¹y)′ = 5x³ → x¹y = 5x⁴/4 + C

Beginvoorwaarde

−2 = 5/4 + C → C = −3,25

Bereken

y(2) = (5·2⁴/4 + (−3,25))/2¹ = 8,375

Antwoord

y(2) = 8,375

3.Integralen

Antwoord: V = 75,4

Omwentelingslichamen: als je het gebied onder y = f(x) van x = a tot x = b om de x-as wentelt, ontstaat een lichaam waarvan de doorsnede bij x een schijf met straal f(x) is. Het optellen van de schijven geeft V = π∫ₐᵇ f(x)² dx. Ligt het gebied tussen een buitenste kromme R(x) en een binnenste kromme r(x), dan is elke plak een ring: V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx. Kwadrateer de stralen voordat je ze van elkaar aftrekt.

Schijfmethode

V = π∫₀² 9x² dx

Integreren

V = π·9·2³/3 = 75,4

Antwoord

V = 75,4

Controle: een kegel met straal 6 en hoogte 2 heeft (1/3)πr²h = 75,4.

4.Integralen

Antwoord: A = 1,125

Bepaalde integralen: ∫ₐᵇ f(x) dx is de georiënteerde oppervlakte tussen de grafiek en de x-as van a tot b. Zoek een primitieve F (met F′ = f) en bereken F(b) − F(a). Machtsregel: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). De oppervlakte tussen twee krommen is ∫(bovenste − onderste) dx.

Snijpunten

2x² = 3x → x = 0, x = 1,5

Bovenste min onderste integreren

A = [1,5x² − 0,6667x³]₀^1,5 = 1,125

Antwoord

A = 1,125

5.Afgeleiden

Antwoord: f′(1) = 0,077

Differentiëren: de afgeleide f′(x) is de helling van de grafiek in x. Machtsregel: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Productregel: (uv)′ = u′v + uv′. Kettingregel: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Waar f′(x) = 0 heeft de grafiek een horizontale raaklijn: een maximum, minimum of zadelpunt.

Product- en kettingregel

f′(x) = sin(2x) + 2x·cos(2x)

Invullen

f′(1) = 0,9093 + 2·(−0,4161) = 0,077

Antwoord

f′(1) = 0,077

6.Afgeleiden

Antwoord: x = 1

Afgeleide

f′(x) = 3x² − 3x = 3·(x² − x)

f′(x) = 0 oplossen

x = 0 of x = 1

Welke is welke

f″(x) = 6x − 3: negatief in een maximum, positief in een minimum.

f″(0) = −3, f″(1) = 3

x = 1

Antwoord

x = 1

7.Numerieke methoden

Antwoord: |E| = 0,0625

Numerieke integratie: verdeel [a, b] in n stroken van breedte h = (b − a)/n met knooppunten x₀ … xₙ. Trapeziumregel: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2f_n−1 + fₙ]. Regel van Simpson (n even): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4f_n−1 + fₙ]. De fout van de trapeziumregel neemt af als h² (grens (b − a)h²·M/12 met M = max|f″|), die van Simpson als h⁴, dus Simpson is voor dezelfde knooppunten meestal veel nauwkeuriger.

Exacte waarde

I = 0,25

Trapeziumregel

T = (0,5/2)·(0 + 2·0,125 + 1) = 0,3125

Fout

|E| = |0,3125 − 0,25| = 0,0625

Antwoord

|E| = 0,0625

Relatieve fout: 25%.

8.Numerieke methoden

Antwoord: |E| = 0,01575

Numerieke oplossing van y′ = f(t, y): de methode van Euler stapt langs de helling aan het begin van elke stap: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). De methode van Heun (verbeterde Euler) middelt de helling aan het begin en bij een Euler-voorspelling: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). De klassieke Runge–Kutta-methode (RK4) combineert vier hellingen: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). De globale fout van Euler is evenredig met h, die van Heun met h², die van RK4 met h⁴.

Euler-stappen

y₅ = 0,199692

Exacte waarde

y(1) = 0,18394

Globale fout

|E| = |0,18394 − 0,199692| = 0,01575

Grafiek

Antwoord

|E| = 0,01575

Als je h halveert, halveert de fout van de methode van Euler ongeveer.

ExamProblems · examproblems.com/courses/differential-equations