Differentiaalvergelijkingen: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 8 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Differentiaalvergelijkingen

Exponentiële groei/afname: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Halveringstijd: k = ln 2 / t_½
Afkoelingswet van Newton: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Integrerende factor: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Mengtank: dm/dt = r·c − (r/V)·m

Integralen

Machtsregel: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Bepaalde integraal: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Standaardintegralen: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Oppervlakte tussen grafieken: ∫_a^b (f − g) dx

Methode

Schrijf de integrand waar mogelijk als een som van eenvoudige termen.
Pas de machtsregel toe: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), en de standaardintegralen voor e^x, 1/x, sin en cos.
Gebruik substitutie als je een functie en haar afgeleide samen ziet.
Bereken bij een bepaalde integraal F(b) − F(a).

Afgeleiden

Machtsregel: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Productregel: (uv)′ = u′v + uv′
Quotiëntregel: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Kettingregel: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Standaardafgeleiden: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Methode

Herken de structuur: som, product, quotiënt of samenstelling.
Pas de machtsregel toe op elke macht van x.
Gebruik waar nodig de product-, quotiënt- of kettingregel.
Vereenvoudig, en vul het punt in als daarom wordt gevraagd.

Numerieke methoden

Bisectie: c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
Newton–Raphson: x_n+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
Lineaire interpolatie: y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
Trapeziumregel: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2f_n−1 + fₙ], h = (b − a)/n
Regel van Simpson (n even): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4f_n−1 + fₙ]
Foutgrens trapeziumregel: |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
Euler: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
Heun: y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

Methode

Controleer voor een nulpunt de tekenwisseling bij bisectie, of bereken f en f′ voor Newton, en houd zes of meer cijfers aan in een tabel van iteraties.
Interpoleer voor een tabelwaarde lineair tussen de twee naburige punten.
Bepaal voor een integraal h = (b − a)/n, noteer f in elk knooppunt, pas de gewichten toe (1, 2, …, 2, 1 voor trapezium; 1, 4, 2, …, 4, 1 voor Simpson met even n) en vermenigvuldig met h/2 of h/3.
Zet voor een DV stappen vanaf t₀ met yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Euler) of met de gemiddelde helling (Heun), één rij per stap, tot je de gevraagde t bereikt.

2Oefenopgaven

1.DifferentiaalvergelijkingenGemiddeld

Een gesmeed stalen onderdeel van 360 °C koelt af in een werkplaats van 24 °C. Het volgt de afkoelingswet van Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Bereken met k = 0,01 min⁻¹ de temperatuur T na 58 min.

T₀ = 360 °CT_a = 24 °Ck = 0,01 min⁻¹t = 58 min

T = °C

2.DifferentiaalvergelijkingenMoeilijk

Een tank bevat 500 L zuiver water. Pekel met 0,25 kg zout per liter stroomt in met 2 L/min, en de goed gemengde oplossing stroomt met dezelfde snelheid uit. Hoeveel zout m zit er na 35 min in de tank?

V = 500 Lm₀ = 0 kgc = 0,25 kg/Lr = 2 L/min

m = kg

3.IntegralenGemiddeld

Bereken I = ∫₀^π/2 x·cos x dx (x in radialen).

∫₀^π/2 x·cos x dx

I =

4.IntegralenMoeilijk

Bereken I = ∫₀³ x²·eˣ dx.

∫₀³ x²eˣ dx

I =

5.AfgeleidenGemiddeld

Gegeven f(x) = x·e^−x. Bereken f′(0,5).

f(x) = x·e^−xx = 0,5

f′(0.5) =

6.AfgeleidenMoeilijk

Gegeven f(x) = x³ − 7,5x² + 18x − 1. Bereken de x-coördinaat x van het lokale maximum.

f(x) = x³ − 7,5x² + 18x − 1

x =

7.Numerieke methodenGemiddeld

De trapeziumregel wordt gebruikt voor ∫₀¹ eˣ dx. De fout is hoogstens (b − a)³·M/(12n²) met M = max|f″| op [0, 1]. Bepaal het kleinste aantal stroken n dat een fout kleiner dan 1 × 10⁻⁵ garandeert.

f(x) = eˣ[a, b] = [0, 1]ε = 1 × 10⁻⁵

n =

8.Numerieke methodenMoeilijk

Zet één stap van de klassieke Runge–Kutta-methode (RK4) met h = 0,2 voor y′ = e^−ty, y(0) = 1. Bepaal y₁ ≈ y(0,2).

y′ = e^−tyy(0) = 1h = 0,2

y₁ =

3Oplossingen

1.Differentiaalvergelijkingen

Antwoord: T = 212,1 °C

Eerste-orde differentiaalvergelijkingen: dy/dt = k·y heeft de oplossing y = y₀·e^kt (groei voor k > 0, afname voor k < 0); een halveringstijd T geeft k = ln 2/T. De afkoelingswet van Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), geeft T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt. Een lineaire vergelijking y′ + p(x)·y = q(x) los je op met de integrerende factor μ = e^{∫p dx}: (μy)′ = μq, dus μy = ∫μq dx + C.

Oplossing van de afkoelingswet

T(t) = 24 + 336·e^−0,01t

Vul t in

T(58) = 24 + 336·0,5599 = 212,1 °C

Antwoord

T = 212,1 °C

2.Differentiaalvergelijkingen

Antwoord: m = 16,33 kg

Stel de vergelijking op

dm/dt = 2·0,25 − (2/500)·m = 0,5 − 0,004·m

Oplossen

De integrerende factor is e^rt/V; de oplossing nadert het evenwicht c·V.

m(t) = 125 + (−125)·e^−t/250

Vul t in

m(35) = 125 + (−125)·0,8694 = 16,33 kg

Antwoord

m = 16,33 kg

3.Integralen

Antwoord: I = 0,5708

Partiële integratie: ∫u·dv = u·v − ∫v·du, afgeleid uit de productregel. Kies voor u de factor die eenvoudiger wordt als je hem differentieert (een macht van x, of ln x), en voor dv de factor die je kunt integreren (eˣ, sin x, cos x, of x als u = ln x). Bereken bij een bepaalde integraal u·v op beide grenzen: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. Een factor x² vraagt om twee rondes.

Kies u en dv

u = x, du = dx; dv = cos x dx, v = sin x

Primitieve

∫x cos x dx = x sin x − ∫sin x dx = x sin x + cos x

Limieten

(π/2·sin π/2 + cos π/2) − (0 + 1) = 0,5708

Antwoord

I = 0,5708

4.Integralen

Antwoord: I = 98,43

Eerste ronde

∫x²eˣ dx = x²eˣ − ∫2x eˣ dx

Tweede ronde

∫2x eˣ dx = 2x eˣ − 2eˣ

∫x²eˣ dx = eˣ(x² − 2x + 2)

Limieten

20,09·(5) − 1·2 = 98,43

Antwoord

I = 98,43

5.Afgeleiden

Antwoord: f′(0.5) = 0,3033

Differentiëren: de afgeleide f′(x) is de helling van de grafiek in x. Machtsregel: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Productregel: (uv)′ = u′v + uv′. Kettingregel: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Waar f′(x) = 0 heeft de grafiek een horizontale raaklijn: een maximum, minimum of zadelpunt.

Productregel

f′(x) = u′v + uv′ = e^−x·(1 + (−1)·x)

Invullen

f′(0,5) = 0,6065·(1 + (−0,5)) = 0,3033

Antwoord

f′(0,5) = 0,3033

6.Afgeleiden

Antwoord: x = 2

Afgeleide

f′(x) = 3x² − 15x + 18 = 3·(x² − 5x + 6)

f′(x) = 0 oplossen

x = 2 of x = 3

Welke is welke

f″(x) = 6x − 15: negatief in een maximum, positief in een minimum.

f″(2) = −3, f″(3) = 3

x = 2

Antwoord

x = 2

7.Numerieke methoden

Antwoord: n = 151

Numerieke integratie: verdeel [a, b] in n stroken van breedte h = (b − a)/n met knooppunten x₀ … xₙ. Trapeziumregel: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2f_n−1 + fₙ]. Regel van Simpson (n even): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4f_n−1 + fₙ]. De fout van de trapeziumregel neemt af als h² (grens (b − a)h²·M/12 met M = max|f″|), die van Simpson als h⁴, dus Simpson is voor dezelfde knooppunten meestal veel nauwkeuriger.

Grens op de tweede afgeleide

M = e¹ = 2,718

n oplossen

n² > 1·2,718/(12·1 × 10⁻⁵) = 22652

n > 150,5 → n = 151

Antwoord

n = 151

8.Numerieke methoden

Antwoord: y₁ = 1,179

Numerieke oplossing van y′ = f(t, y): de methode van Euler stapt langs de helling aan het begin van elke stap: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). De methode van Heun (verbeterde Euler) middelt de helling aan het begin en bij een Euler-voorspelling: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). De klassieke Runge–Kutta-methode (RK4) combineert vier hellingen: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). De globale fout van Euler is evenredig met h, die van Heun met h², die van RK4 met h⁴.

Vier hellingen

k₁ = f(0, 1) = 1

k₂ = f(0,1, 1,1) = 0,895834

k₃ = f(0,1, 1,089583) = 0,896768

k₄ = f(0,2, 1,179354) = 0,789883

Combineer

y₁ = 1 + (0,2/6)(1 + 2·0,895834 + 2·0,896768 + 0,789883) = 1,179

Antwoord

y₁ = 1,179

ExamProblems · examproblems.com/courses/differential-equations