Differentiaalvergelijkingen: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 8 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Differentiaalvergelijkingen

Exponentiële groei/afname: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Halveringstijd: k = ln 2 / t_½
Afkoelingswet van Newton: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Integrerende factor: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Mengtank: dm/dt = r·c − (r/V)·m

Integralen

Machtsregel: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Bepaalde integraal: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Standaardintegralen: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Oppervlakte tussen grafieken: ∫_a^b (f − g) dx

Methode

Schrijf de integrand waar mogelijk als een som van eenvoudige termen.
Pas de machtsregel toe: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), en de standaardintegralen voor e^x, 1/x, sin en cos.
Gebruik substitutie als je een functie en haar afgeleide samen ziet.
Bereken bij een bepaalde integraal F(b) − F(a).

Afgeleiden

Machtsregel: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Productregel: (uv)′ = u′v + uv′
Quotiëntregel: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Kettingregel: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Standaardafgeleiden: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Methode

Herken de structuur: som, product, quotiënt of samenstelling.
Pas de machtsregel toe op elke macht van x.
Gebruik waar nodig de product-, quotiënt- of kettingregel.
Vereenvoudig, en vul het punt in als daarom wordt gevraagd.

Numerieke methoden

Bisectie: c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
Newton–Raphson: x_n+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
Lineaire interpolatie: y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
Trapeziumregel: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2f_n−1 + fₙ], h = (b − a)/n
Regel van Simpson (n even): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4f_n−1 + fₙ]
Foutgrens trapeziumregel: |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
Euler: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
Heun: y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

Methode

Controleer voor een nulpunt de tekenwisseling bij bisectie, of bereken f en f′ voor Newton, en houd zes of meer cijfers aan in een tabel van iteraties.
Interpoleer voor een tabelwaarde lineair tussen de twee naburige punten.
Bepaal voor een integraal h = (b − a)/n, noteer f in elk knooppunt, pas de gewichten toe (1, 2, …, 2, 1 voor trapezium; 1, 4, 2, …, 4, 1 voor Simpson met even n) en vermenigvuldig met h/2 of h/3.
Zet voor een DV stappen vanaf t₀ met yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Euler) of met de gemiddelde helling (Heun), één rij per stap, tot je de gevraagde t bereikt.

2Oefenopgaven

1.DifferentiaalvergelijkingenGemiddeld

Een gesmeed stalen onderdeel van 420 °C koelt af in een werkplaats van 23 °C. Na 33 min is de temperatuur 129 °C. Het volgt de afkoelingswet van Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Hoe lang na de start, t, duurt het om 76 °C te bereiken?

T₀ = 420 °CT_a = 23 °CT(33) = 129 °CT = 76 °C

t = min

2.DifferentiaalvergelijkingenMoeilijk

Los het beginwaardeprobleem y′ + 2y/x = 4x op voor x > 0, met y(1) = 4. Bereken y(3).

y′ + 2y/x = 4xy(1) = 4

y(3) =

3.IntegralenGemiddeld

Bereken I = ∫₁^1,5 x·ln x dx.

∫₁^1,5 x ln x dx

I =

4.IntegralenMoeilijk

Bereken de oppervlakte A van het gebied tussen de parabool y = 1 − x² en de x-as.

y = 1 − x²

A =

5.AfgeleidenGemiddeld

Gegeven f(x) = ln(2x² + 1). Bereken f′(−2).

f(x) = ln(2x² + 1)x = −2

f′(−2) =

6.AfgeleidenMoeilijk

De raaklijn aan f(x) = −x² − x − 6 in x = −1 snijdt de y-as in y = b. Bereken b.

f(x) = −x² − x − 6x = −1

b =

7.Numerieke methodenGemiddeld

Benader ∫₀² 1/√(1 + x⁴) dx met de trapeziumregel met n = 2 stroken. Geef T.

f(x) = 1/√(1 + x⁴)[a, b] = [0, 2]n = 2

T =

8.Numerieke methodenMoeilijk

Gebruik de methode van Euler met h = 0,5 voor y′ = e^−ty, y(0) = 0 om y₃ ≈ y(1,5) te schatten.

y′ = e^−tyy(0) = 0h = 0,5

y₃ =

3Oplossingen

1.Differentiaalvergelijkingen

Antwoord: t = 50,32 min

Eerste-orde differentiaalvergelijkingen: dy/dt = k·y heeft de oplossing y = y₀·e^kt (groei voor k > 0, afname voor k < 0); een halveringstijd T geeft k = ln 2/T. De afkoelingswet van Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), geeft T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt. Een lineaire vergelijking y′ + p(x)·y = q(x) los je op met de integrerende factor μ = e^{∫p dx}: (μy)′ = μq, dus μy = ∫μq dx + C.

Afkoelingsconstante

k = ln(397/106)/33 = 0,04002 min⁻¹

Tijd tot de doeltemperatuur

t = ln(397/53)/0,04002 = 50,32 min

Antwoord

t = 50,32 min

2.Differentiaalvergelijkingen

Antwoord: y(3) = 9,333

Integrerende factor

μ = e^{∫2/x dx} = x²

Integreren

(x²y)′ = 4x³ → x²y = 4x⁴/4 + C

Beginvoorwaarde

4 = 4/4 + C → C = 3

Bereken

y(3) = (4·3⁴/4 + 3)/3² = 9,333

Antwoord

y(3) = 9,333

3.Integralen

Antwoord: I = 0,1436

Partiële integratie: ∫u·dv = u·v − ∫v·du, afgeleid uit de productregel. Kies voor u de factor die eenvoudiger wordt als je hem differentieert (een macht van x, of ln x), en voor dv de factor die je kunt integreren (eˣ, sin x, cos x, of x als u = ln x). Bereken bij een bepaalde integraal u·v op beide grenzen: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. Een factor x² vraagt om twee rondes.

Kies u en dv

u = ln x, du = dx/x; dv = x dx, v = x²/2

Primitieve

∫x ln x dx = (x²/2)ln x − ∫(x/2) dx = (x²/2)ln x − x²/4

Limieten

(1,125·ln 1,5 − 0,5625) − (0 − 0,25) = 0,1436

Antwoord

I = 0,1436

4.Integralen

Antwoord: A = 1,333

Bepaalde integralen: ∫ₐᵇ f(x) dx is de georiënteerde oppervlakte tussen de grafiek en de x-as van a tot b. Zoek een primitieve F (met F′ = f) en bereken F(b) − F(a). Machtsregel: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). De oppervlakte tussen twee krommen is ∫(bovenste − onderste) dx.

Nulpunten

1 − x² = 0 → x = ±1

Integreren

A = [1x − x³/3]₋₁¹ = 0,6667 − (−0,6667) = 1,333

Antwoord

A = 1,333

5.Afgeleiden

Antwoord: f′(−2) = −0,8889

Differentiëren: de afgeleide f′(x) is de helling van de grafiek in x. Machtsregel: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Productregel: (uv)′ = u′v + uv′. Kettingregel: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Waar f′(x) = 0 heeft de grafiek een horizontale raaklijn: een maximum, minimum of zadelpunt.

Kettingregel voor de logaritme

f′(x) = 4x/(2x² + 1)

Invullen

f′(−2) = −8/9 = −0,8889

Antwoord

f′(−2) = −0,8889

6.Afgeleiden

Antwoord: b = −5

Punt en helling

f(−1) = −6

f′(x) = −2x − 1 → f′(−1) = 1

Raaklijn bij x = 0

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = −6 − 1·(−1) = −5

Antwoord

b = −5

7.Numerieke methoden

Antwoord: T = 1,328

Numerieke integratie: verdeel [a, b] in n stroken van breedte h = (b − a)/n met knooppunten x₀ … xₙ. Trapeziumregel: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2f_n−1 + fₙ]. Regel van Simpson (n even): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4f_n−1 + fₙ]. De fout van de trapeziumregel neemt af als h² (grens (b − a)h²·M/12 met M = max|f″|), die van Simpson als h⁴, dus Simpson is voor dezelfde knooppunten meestal veel nauwkeuriger.

Knooppunten en waarden

h = 1

Σ wᵢfᵢ = 1 + 2·0,707107 + 0,242536 = 2,656749

Trapeziumregel

T = (1/2)·2,656749 = 1,328

Antwoord

T = 1,328

Deze integraal heeft geen elementaire primitieve, en juist dan is een numerieke regel nodig.

8.Numerieke methoden

Antwoord: y₃ = 1,095

Numerieke oplossing van y′ = f(t, y): de methode van Euler stapt langs de helling aan het begin van elke stap: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). De methode van Heun (verbeterde Euler) middelt de helling aan het begin en bij een Euler-voorspelling: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). De klassieke Runge–Kutta-methode (RK4) combineert vier hellingen: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). De globale fout van Euler is evenredig met h, die van Heun met h², die van RK4 met h⁴.

Euler-stappen

y₁ = 0 + 0,5·(1) = 0,5

y₂ = 0,5 + 0,5·(0,778801) = 0,8894

y₃ = 0,8894 + 0,5·(0,410902) = 1,094851

Grafiek

y₃ = 1,095

Antwoord

y₃ = 1,095

ExamProblems · examproblems.com/courses/differential-equations