Talstelsels
- Plaatswaarden
- binair 2k, octaal 8k, hex 16k
- Naar decimaal
- Σ dk·bk
- Vanuit decimaal
- deel door het grondtal en lees de resten van onder naar boven
- Hex ↔ binair
- één hexcijfer = 4 bits
- Two's complement
- inverteer de bits en tel 1 op
Digitale elektronica: samenvattingspakket
Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 6 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.
1Formules en methoden
Digitale logica: poorten, K-kaarten & flip-flops
- Basispoorten
- A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
- Booleaanse regels
- X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
- De Morgan
- (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
- Volgorde van de Karnaugh-kaart
- 00, 01, 11, 10 (Gray code)
- Groep van 2ᵏ cellen
- verliest k variabelen
- 4-naar-1-multiplexer
- F = A′B′I0 + A′BI1 + AB′I2 + ABI3
- Flip-flops
- D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
- Tellers
- n-bits: 2ⁿ toestanden; mod-N: kleinste n met 2ⁿ ≥ N; fuit = fklok/N
- Ripple-teller
- fmax = 1/(n·tpd)
- Ring- en Johnson-tellers
- n en 2n toestanden
Methode
- Werk bij een schakeling van de ingangen naar de uitgang, één poort tegelijk, en schrijf de waarde op elke draad, of schrijf de uitdrukking op en vul de waarheidstabel in.
- Zet voor vereenvoudiging de enen (en de don’t-cares als X) in een Karnaugh-kaart met rijen en kolommen in Gray-code: 00, 01, 11, 10.
- Dek de enen met zo weinig en zo grote groepen van 1, 2, 4, 8 of 16 cellen als mogelijk, met terugloop om de randen; elke groep is één productterm van de variabelen die constant blijven. Groepeer de nullen voor de POS-vorm.
- Lees bij flip-flops en tellers de ingangen af op elke actieve klokflank, schrijf de toestand na elke flank op, en onthoud dat een n-bits teller na 2ⁿ toestanden terugloopt.
Data-acquisitie en bemonstering
- Nyquistcriterium
- fs > 2·fmax, fN = fs/2
- Aliasfrequentie
- fa = |f − k·fs|, k = round(f/fs)
- Stapgrootte
- 1 LSB = VFSR/2ᴺ
- Kwantisatiefout (afronding)
- ±½ LSB
- Afkappende ADC-code
- D = ⌊Vin/LSB⌋
- Bits voor een resolutie r
- 2ᴺ ≥ span/r
- Ideale SQNR, volle-schaal sinus
- SQNR = 6,02·N + 1,76 dB
- Datasnelheid
- kanalen × fs × N bit/s
- Gemultiplexte ADC
- fs = 1/(n·(tc + tset))
- UART
- Tb = 1/baud; 8N1 = 10 bits per byte; bytes/s = baud/bits per frame
- Baudrate-deler
- baud = fclk/(16·D)
Methode
- Schrijf op wat gegeven is: bemonsteringsfrequentie, signaalfrequenties, aantal bits, ingangsbereik, baudrate.
- Vergelijk bij bemonsteringsvragen elke frequentie met fs/2; een hogere frequentie verschijnt bij fa = |f − k·fs| met het dichtstbijzijnde veelvoud van fs.
- Bepaal bij resolutievragen 1 LSB = VFSR/2ᴺ, of de kleinste N met 2ᴺ ≥ bereik/resolutie.
- Tel bij datasnelheden en UART-verbindingen alles wat wordt verzonden: kanalen, samples per seconde, bits of hele bytes per sample, en de start-, pariteits- en stopbits van elk frame.
2Oefenopgaven
1.TalstelselsGemiddeld
Schrijf −34 als 8-bits patroon in two's complement. Lees het patroon als binair getal zonder teken: wat is de waarde U in decimaal?
N = −348 bit
U =
2.TalstelselsMoeilijk
Een ongecomprimeerde afbeelding is 1920 × 1080 pixels met 32 bits per pixel. Hoeveel geheugen M kost die, in KiB (1 KiB = 1024 bytes)?
1920 × 1080 px32 bit/px1 KiB = 1024 B
M = KiB
3.Digitale logica: poorten, K-kaarten & flip-flopsGemiddeld
Vereenvoudig F = A′BC′ + AB′ + BC + B′C tot zijn minimale som-van-productenvorm. Hoeveel literals L bevat de vereenvoudigde uitdrukking?
F = A′BC′ + AB′ + BC + B′C
L =
4.Digitale logica: poorten, K-kaarten & flip-flopsMoeilijk
Een D-flip-flop, getriggerd op de stijgende flank, begint met Q = 0 en krijgt bij 8 stijgende klokflanken de getoonde ingangen. Hoe vaak N verandert Q van toestand?
Q₀ = 0D
N =
5.Data-acquisitie en bemonsteringGemiddeld
Een recorder bemonstert 8 kanalen met elk 50 kHz en een 10-bits ADC. Elke sample wordt in hele bytes opgeslagen. Bepaal het geheugen M dat nodig is voor een opname van 5 min, in MB (1 MB = 10⁶ bytes).
n = 8fs = 50 kHzN = 10t = 5 min
M = MB
6.Data-acquisitie en bemonsteringMoeilijk
Een blokgolf van 1,44 kHz wordt zonder anti-aliasingfilter bemonsterd met 8 kHz. Een blokgolf bevat de oneven harmonischen 3f₁, 5f₁, 7f₁, … Bij welke frequentie fa verschijnt zijn harmonische 3f₁ in de bemonsterde data? Geef het antwoord in Hz.
f₁ = 1,44 kHzfs = 8 kHzharmonische: 3f₁
fa = Hz
3Oplossingen
1.Talstelsels
Antwoord: U = 222
Positionele talstelsels: elk cijfer is zijn waarde maal een macht van het grondtal waard. Binair zijn de posities 1, 2, 4, 8, 16, … waard, hexadecimaal 1, 16, 256, …, met A–F voor 10–15. In 8-bits two's complement is het meest linkse bit −128 waard in plaats van +128; zo worden negatieve getallen opgeslagen.
Omkeren en één optellen
34 = 0010 0010
omgekeerd: 1101 1101
+1 → 1101 1110
Lezen zonder teken
1101 1110₂ = 256 − 34 = 222
Antwoord
U = 222
2.Talstelsels
Antwoord: M = 8100 KiB
Positionele talstelsels: elk cijfer is zijn waarde maal een macht van het grondtal waard. Binair zijn de posities 1, 2, 4, 8, 16, … waard, hexadecimaal 1, 16, 256, …, met A–F voor 10–15. In 8-bits two's complement is het meest linkse bit −128 waard in plaats van +128; zo worden negatieve getallen opgeslagen.
Bits en bytes
1920·1080·32 = 66355200 bit = 8294400 B
Omrekenen naar KiB
8294400/1024 = 8100 KiB
Antwoord
M = 8100 KiB
3.Digitale logica: poorten, K-kaarten & flip-flops
Antwoord: L = 5
Booleaanse algebra: de regels die uitdrukkingen vereenvoudigen zijn X + X′ = 1 en X·X′ = 0, X + X = X, absorptie X + X·Y = X, de samenvoegregel X·Y + X·Y′ = X, X + X′Y = X + Y en de consensusstelling XY + X′Z + YZ = XY + X′Z. De wetten van De Morgan veranderen (X·Y)′ in X′ + Y′ en (X + Y)′ in X′·Y′. Een Karnaugh-kaart past deze regels grafisch toe: elke groep van twee naburige cellen is één toepassing van XY + XY′ = X.
Mintermen van de uitdrukking
A′BC′ → m(2)
AB′ → m(4, 5)
BC → m(3, 7)
B′C → m(1, 5)
Groepeer en lees af
F = C + A′B + AB′
Tel de literals
L = 5
Antwoord
L = 5
4.Digitale logica: poorten, K-kaarten & flip-flops
Antwoord: N = 6
Flip-flops en tellers: een flip-flop verandert alleen op de actieve klokflank. D kopieert zijn ingang (Q⁺ = D); T wisselt als T = 1; JK houdt vast bij 00, reset bij 01, zet bij 10 en wisselt bij 11. Een n-bits binaire teller heeft 2ⁿ toestanden en telt modulo 2ⁿ; een mod-N-teller telt 0, 1, …, N − 1 en dan weer 0, en heeft de kleinste n met 2ⁿ ≥ N flip-flops nodig. Elke trap van een ripple-teller halveert de frequentie, dus de laatste uitgang van een mod-N-teller loopt op fklok/N. Een Johnson-teller van n flip-flops heeft 2n toestanden, een ringteller n.
Q na elke flank
Een D-flip-flop kopieert D bij elke stijgende flank: Q⁺ = D.
1: D = 1 → Q = 1
2: D = 0 → Q = 0
3: D = 0 → Q = 0
4: D = 1 → Q = 1
5: D = 0 → Q = 0
6: D = 1 → Q = 1
7: D = 1 → Q = 1
8: D = 0 → Q = 0
Tel de veranderingen
0 → 1 → 0 → 0 → 1 → 0 → 1 → 1 → 0
N = 6
Antwoord
N = 6
5.Data-acquisitie en bemonstering
Antwoord: M = 240 MB
Datasnelheden: elk kanaal levert fs samples per seconde van N bits, dus de ruwe snelheid is kanalen × fs × N bit/s. In het geheugen neemt een sample hele bytes in beslag (een sample van 12 bits wordt in 2 bytes opgeslagen), dus het geheugen voor een opname is kanalen × fs × bytes per sample × tijd. Een gemultiplexte ADC zet de kanalen na elkaar om: elke conversie (inclusief insteltijd) duurt t, dus een ronde van n kanalen duurt n·t en elk kanaal wordt bemonsterd met 1/(n·t).
Bytes per sample
⌈10/8⌉ = 2 B
Bytesnelheid
8·50000·2 = 800000 B/s
Geheugen
M = 800000·300 = 2,4 × 10⁸ B = 240 MB
Antwoord
M = 240 MB
6.Data-acquisitie en bemonstering
Antwoord: fa = 3680 Hz
Bemonstering: een ADC meet het signaal fs keer per seconde. Volgens het Nyquist–Shannon-theorema wordt een frequentie f alleen correct vastgelegd zolang f < fs/2, de Nyquistfrequentie (vouwfrequentie), dus de bemonsteringsfrequentie moet groter zijn dan twee keer de hoogste signaalfrequentie. Een hogere frequentie gaat niet verloren: ze verschijnt als alias bij fa = |f − k·fs|, met het hele getal k dat het resultaat tussen 0 en fs/2 brengt. De samples kunnen de twee niet uit elkaar houden, dus een analoog anti-aliasingfilter moet alles boven fs/2 verwijderen vóór de ADC.
Frequentie van de harmonische
3f₁ = 3·1,44 kHz = 4,32 kHz
Dichtstbijzijnde veelvoud van de bemonsteringsfrequentie
m = round(0,54) = 1
Aliasfrequentie
fa = |4320 − 1·8000| = 3680 Hz
Antwoord
fa = 3680 Hz
De alias komt binnen de signaalband terecht, waar geen digitaal filter hem kan verwijderen. Alleen een analoog filter vóór de ADC helpt.
ExamProblems · examproblems.com/courses/digital-electronics