Digitale elektronica: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 6 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Talstelsels

Plaatswaarden: binair 2^k, octaal 8^k, hex 16^k
Naar decimaal: Σ d_k·b^k
Vanuit decimaal: deel door het grondtal en lees de resten van onder naar boven
Hex ↔ binair: één hexcijfer = 4 bits
Two's complement: inverteer de bits en tel 1 op

Digitale logica: poorten, K-kaarten & flip-flops

Basispoorten: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
Booleaanse regels: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
De Morgan: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
Volgorde van de Karnaugh-kaart: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
Groep van 2ᵏ cellen: verliest k variabelen
4-naar-1-multiplexer: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
Flip-flops: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
Tellers: n-bits: 2ⁿ toestanden; mod-N: kleinste n met 2ⁿ ≥ N; f_uit = f_klok/N
Ripple-teller: f_max = 1/(n·t_pd)
Ring- en Johnson-tellers: n en 2n toestanden

Methode

Werk bij een schakeling van de ingangen naar de uitgang, één poort tegelijk, en schrijf de waarde op elke draad, of schrijf de uitdrukking op en vul de waarheidstabel in.
Zet voor vereenvoudiging de enen (en de don’t-cares als X) in een Karnaugh-kaart met rijen en kolommen in Gray-code: 00, 01, 11, 10.
Dek de enen met zo weinig en zo grote groepen van 1, 2, 4, 8 of 16 cellen als mogelijk, met terugloop om de randen; elke groep is één productterm van de variabelen die constant blijven. Groepeer de nullen voor de POS-vorm.
Lees bij flip-flops en tellers de ingangen af op elke actieve klokflank, schrijf de toestand na elke flank op, en onthoud dat een n-bits teller na 2ⁿ toestanden terugloopt.

Data-acquisitie en bemonstering

Nyquistcriterium: f_s > 2·f_max, f_N = f_s/2
Aliasfrequentie: f_a = |f − k·f_s|, k = round(f/f_s)
Stapgrootte: 1 LSB = V_FSR/2ᴺ
Kwantisatiefout (afronding): ±½ LSB
Afkappende ADC-code: D = ⌊V_in/LSB⌋
Bits voor een resolutie r: 2ᴺ ≥ span/r
Ideale SQNR, volle-schaal sinus: SQNR = 6,02·N + 1,76 dB
Datasnelheid: kanalen × f_s × N bit/s
Gemultiplexte ADC: f_s = 1/(n·(t_c + t_set))
UART: T_b = 1/baud; 8N1 = 10 bits per byte; bytes/s = baud/bits per frame
Baudrate-deler: baud = f_clk/(16·D)

Methode

Schrijf op wat gegeven is: bemonsteringsfrequentie, signaalfrequenties, aantal bits, ingangsbereik, baudrate.
Vergelijk bij bemonsteringsvragen elke frequentie met f_s/2; een hogere frequentie verschijnt bij f_a = |f − k·f_s| met het dichtstbijzijnde veelvoud van f_s.
Bepaal bij resolutievragen 1 LSB = V_FSR/2ᴺ, of de kleinste N met 2ᴺ ≥ bereik/resolutie.
Tel bij datasnelheden en UART-verbindingen alles wat wordt verzonden: kanalen, samples per seconde, bits of hele bytes per sample, en de start-, pariteits- en stopbits van elk frame.

2Oefenopgaven

1.TalstelselsGemiddeld

Stel de bits zo in dat ze −15 opslaan in 8-bits tweecomplement. Wat is de waarde U van het patroon, gelezen als getal zonder teken?

N = −158 bit

U =

2.TalstelselsMoeilijk

Wat is het meest negatieve gehele getal N dat in 12-bits two's complement past?

12 bit

N =

3.Digitale logica: poorten, K-kaarten & flip-flopsGemiddeld

Gebruik de Karnaugh-kaart om de minimale product-van-sommenvorm (POS) van F(A, B, C, D) = Σm(0, 1, 2, 3, 6, 8, 10, 11, 15) te vinden. Hoeveel somtermen (factoren) N heeft die?

F(A, B, C, D) = Σm(0, 1, 2, 3, 6, 8, 10, 11, 15)

N =

4.Digitale logica: poorten, K-kaarten & flip-flopsMoeilijk

Bepaal voor F(A, B, C, D) = Σm(0, 2, 5, 8, 11, 12, 13) + d(3, 6, 7), waarbij d de don’t-care-condities aangeeft, het aantal N essentiële priemimplicanten.

F(A, B, C, D) = Σm(0, 2, 5, 8, 11, 12, 13) + d(3, 6, 7)

N =

5.Data-acquisitie en bemonsteringGemiddeld

Een sinus van 2,7 kHz wordt zonder anti-aliasingfilter bemonsterd met 2 kHz. Bij welke frequentie f_a verschijnt hij in de samples? Geef het antwoord in Hz.

f = 2,7 kHzf_s = 2 kHz

f_a = Hz

6.Data-acquisitie en bemonsteringMoeilijk

Een 12-bits ADC stuurt elke sample via een UART met 460800 baud, formaat 8E1 (startbit, 8 databits, even pariteit, 1 stopbit). Elke sample wordt als 2 hele byte(s) verzonden en de verbinding is voortdurend bezet. Bepaal de hoogste signaalfrequentie f_max die zonder aliasing kan worden bemonsterd, in Hz.

baud = 460800 BdN = 128E1

f_max = Hz

3Oplossingen

1.Talstelsels

Antwoord: U = 241

Bits instellen: elke bit is een macht van twee waard (128, 64, …, 1). Eén hexadecimaal cijfer is precies vier bits, en in 8-bits tweecomplement is de meest linkse bit −128 waard. Bitsgewijze bewerkingen werken op elke bitpositie apart.

Omkeren en één optellen

15 = 0000 1111

omgekeerd: 1111 0000

+1 → 1111 0001

Lezen zonder teken

1111 0001₂ = 256 − 15 = 241

Antwoord

U = 241

2.Talstelsels

Antwoord: N = −2048

Positionele talstelsels: elk cijfer is zijn waarde maal een macht van het grondtal waard. Binair zijn de posities 1, 2, 4, 8, 16, … waard, hexadecimaal 1, 16, 256, …, met A–F voor 10–15. In 8-bits two's complement is het meest linkse bit −128 waard in plaats van +128; zo worden negatieve getallen opgeslagen.

Meest negatieve waarde

−2¹¹ = −2048

Antwoord

N = −2048

3.Digitale logica: poorten, K-kaarten & flip-flops

Antwoord: N = 4

Karnaugh-kaarten: de cellen staan in Gray-code (00, 01, 11, 10), dus naburige cellen, ook die over de randen heen, verschillen in precies één variabele. Groepeer de enen in rechthoeken van 1, 2, 4, 8 of 16 cellen, zo groot en zo weinig mogelijk, totdat elke 1 gedekt is. Elke groep is één productterm: de variabelen die erin constant blijven. Een groep van 2ᵏ cellen verliest k variabelen. Don’t-cares (X) mogen worden gebruikt om groepen groter te maken maar hoeven nooit gedekt te worden. Groepeer je in plaats daarvan de nullen, dan krijg je de minimale POS-vorm.

Groepeer de nullen

Elke groep is een rechthoek van 2ᵏ cellen; randcellen zijn buren van de cellen op de tegenoverliggende rand.

(B′ + C)

(A′ + C + D′)

(A + B′ + D′)

(A′ + B′ + D)

Minimale POS-vorm

F = (B′ + C)(A′ + C + D′)(A + B′ + D′)(A′ + B′ + D)

N = 4

Antwoord

N = 4

4.Digitale logica: poorten, K-kaarten & flip-flops

Antwoord: N = 1

Priemimplicanten

De grootste groepen die uit enen en X’en gevormd kunnen worden.

B′C′D′, B′CD, BC′D, A′C, AC′D′, A′B′D′, A′BD, ABC′

Essentiële priemimplicanten

B′CD

N = 1

Antwoord

N = 1

5.Data-acquisitie en bemonstering

Antwoord: f_a = 700 Hz

Bemonstering: een ADC meet het signaal f_s keer per seconde. Volgens het Nyquist–Shannon-theorema wordt een frequentie f alleen correct vastgelegd zolang f < f_s/2, de Nyquistfrequentie (vouwfrequentie), dus de bemonsteringsfrequentie moet groter zijn dan twee keer de hoogste signaalfrequentie. Een hogere frequentie gaat niet verloren: ze verschijnt als alias bij f_a = |f − k·f_s|, met het hele getal k dat het resultaat tussen 0 en f_s/2 brengt. De samples kunnen de twee niet uit elkaar houden, dus een analoog anti-aliasingfilter moet alles boven f_s/2 verwijderen vóór de ADC.

Nyquistfrequentie

f_s/2 = 1 kHz < f = 2,7 kHz

Dichtstbijzijnde veelvoud van de bemonsteringsfrequentie

k = round(2700/2000) = 1

Aliasfrequentie

f_a = |2700 − 1·2000| = 700 Hz

Antwoord

f_a = 700 Hz

De gestippelde kromme in de figuur is de alias: ze loopt door precies dezelfde samples.

6.Data-acquisitie en bemonstering

Antwoord: f_max = 10473 Hz

UART: een asynchrone seriële verbinding verstuurt elke byte als een frame: één startbit (laag), de databits, een optionele pariteitsbit en een of twee stopbits (hoog). De baudrate is het aantal bits per seconde, dus één bit duurt T_b = 1/baud en een frame van n bits duurt n/baud. Het gangbare 8N1-formaat heeft 10 bits per byte. De baudgenerator deelt de klok: baud = f_clk/(16·D) met een geheel getal D, dus de werkelijke baudrate wijkt iets af van de gewenste; een fout onder ongeveer 2 % is meestal acceptabel.

Bits per sample op de lijn

2·11 = 22 bit

Hoogste bemonsteringsfrequentie

f_s,max = 460800/22 = 20945 Hz

Nyquistgrens

f_max = 20945/2 = 10473 Hz

Antwoord

f_max = 10473 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/digital-electronics