Digitale elektronica: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 6 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Talstelsels

Plaatswaarden: binair 2^k, octaal 8^k, hex 16^k
Naar decimaal: Σ d_k·b^k
Vanuit decimaal: deel door het grondtal en lees de resten van onder naar boven
Hex ↔ binair: één hexcijfer = 4 bits
Two's complement: inverteer de bits en tel 1 op

Digitale logica: poorten, K-kaarten & flip-flops

Basispoorten: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
Booleaanse regels: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
De Morgan: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
Volgorde van de Karnaugh-kaart: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
Groep van 2ᵏ cellen: verliest k variabelen
4-naar-1-multiplexer: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
Flip-flops: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
Tellers: n-bits: 2ⁿ toestanden; mod-N: kleinste n met 2ⁿ ≥ N; f_uit = f_klok/N
Ripple-teller: f_max = 1/(n·t_pd)
Ring- en Johnson-tellers: n en 2n toestanden

Methode

Werk bij een schakeling van de ingangen naar de uitgang, één poort tegelijk, en schrijf de waarde op elke draad, of schrijf de uitdrukking op en vul de waarheidstabel in.
Zet voor vereenvoudiging de enen (en de don’t-cares als X) in een Karnaugh-kaart met rijen en kolommen in Gray-code: 00, 01, 11, 10.
Dek de enen met zo weinig en zo grote groepen van 1, 2, 4, 8 of 16 cellen als mogelijk, met terugloop om de randen; elke groep is één productterm van de variabelen die constant blijven. Groepeer de nullen voor de POS-vorm.
Lees bij flip-flops en tellers de ingangen af op elke actieve klokflank, schrijf de toestand na elke flank op, en onthoud dat een n-bits teller na 2ⁿ toestanden terugloopt.

Data-acquisitie en bemonstering

Nyquistcriterium: f_s > 2·f_max, f_N = f_s/2
Aliasfrequentie: f_a = |f − k·f_s|, k = round(f/f_s)
Stapgrootte: 1 LSB = V_FSR/2ᴺ
Kwantisatiefout (afronding): ±½ LSB
Afkappende ADC-code: D = ⌊V_in/LSB⌋
Bits voor een resolutie r: 2ᴺ ≥ span/r
Ideale SQNR, volle-schaal sinus: SQNR = 6,02·N + 1,76 dB
Datasnelheid: kanalen × f_s × N bit/s
Gemultiplexte ADC: f_s = 1/(n·(t_c + t_set))
UART: T_b = 1/baud; 8N1 = 10 bits per byte; bytes/s = baud/bits per frame
Baudrate-deler: baud = f_clk/(16·D)

Methode

Schrijf op wat gegeven is: bemonsteringsfrequentie, signaalfrequenties, aantal bits, ingangsbereik, baudrate.
Vergelijk bij bemonsteringsvragen elke frequentie met f_s/2; een hogere frequentie verschijnt bij f_a = |f − k·f_s| met het dichtstbijzijnde veelvoud van f_s.
Bepaal bij resolutievragen 1 LSB = V_FSR/2ᴺ, of de kleinste N met 2ᴺ ≥ bereik/resolutie.
Tel bij datasnelheden en UART-verbindingen alles wat wordt verzonden: kanalen, samples per seconde, bits of hele bytes per sample, en de start-, pariteits- en stopbits van elk frame.

2Oefenopgaven

1.TalstelselsGemiddeld

Schrijf −102 als 8-bits patroon in two's complement. Lees het patroon als binair getal zonder teken: wat is de waarde U in decimaal?

N = −1028 bit

U =

2.TalstelselsMoeilijk

Stel de bits in op het 8-bits resultaat van 1011 0000 << 2. Wat is de waarde R van het resultaat in decimaal?

1011 0000<< 2

R =

3.Digitale logica: poorten, K-kaarten & flip-flopsGemiddeld

Een 4-naar-1-multiplexer heeft selectie-ingangen S₁ = A en S₀ = B, en data-ingangen gekoppeld aan I₀ = 1, I₁ = 1, I₂ = C, I₃ = 1. Voor hoeveel van de 8 combinaties van A, B en C is de uitgang F = 1? Bepaal N.

I₀ = 1I₁ = 1I₂ = CI₃ = 1

N =

4.Digitale logica: poorten, K-kaarten & flip-flopsMoeilijk

Bepaal de minimale SOP-vorm van F(A, B, C, D) = Σm(4, 6, 7, 9, 10, 11, 13) + d(0, 2, 5), waarbij d de don’t-care-condities aangeeft. Hoeveel productermen N heeft die?

F(A, B, C, D) = Σm(4, 6, 7, 9, 10, 11, 13) + d(0, 2, 5)

N =

5.Data-acquisitie en bemonsteringGemiddeld

Een UART verstuurt bytes met 1200 baud in het formaat 8E1: 8 databits, een even pariteitsbit en 1 stopbit(s), plus de startbit. Bepaal het grootste aantal databytes per seconde dat hij kan overdragen.

baud = 1200 Bd8E1

R_B = B/s

6.Data-acquisitie en bemonsteringMoeilijk

Een microcontroller met een klok van 4 MHz stelt zijn UART-baudrate in als f_clk/(16·D), met D een geheel getal dat op de dichtstbijzijnde waarde is afgerond. De doelwaarde is 115200 baud. Bepaal de procentuele fout van de werkelijke baudrate (positief als hij te snel is).

f_clk = 4 MHzdoel = 115200 Bd

e = %

3Oplossingen

1.Talstelsels

Antwoord: U = 154

Positionele talstelsels: elk cijfer is zijn waarde maal een macht van het grondtal waard. Binair zijn de posities 1, 2, 4, 8, 16, … waard, hexadecimaal 1, 16, 256, …, met A–F voor 10–15. In 8-bits two's complement is het meest linkse bit −128 waard in plaats van +128; zo worden negatieve getallen opgeslagen.

Omkeren en één optellen

102 = 0110 0110

omgekeerd: 1001 1001

+1 → 1001 1010

Lezen zonder teken

1001 1010₂ = 256 − 102 = 154

Antwoord

U = 154

2.Talstelsels

Antwoord: R = 192

Bits instellen: elke bit is een macht van twee waard (128, 64, …, 1). Eén hexadecimaal cijfer is precies vier bits, en in 8-bits tweecomplement is de meest linkse bit −128 waard. Bitsgewijze bewerkingen werken op elke bitpositie apart.

Bit voor bit

Naar links schuiven met 2 verplaatst elke bit 2 plaatsen naar links; bits die links uit beeld vallen gaan verloren en rechts komen nullen binnen.

1011 0000 << 2

= 1100 0000

Waarde van het resultaat

1100 0000₂ = 192

Antwoord

R = 192

3.Digitale logica: poorten, K-kaarten & flip-flops

Antwoord: N = 7

Multiplexer: een 2ⁿ-naar-1-multiplexer geeft één van zijn data-ingangen door aan de uitgang; de selectielijnen, gelezen als binair getal, kiezen welke. Voor een 4-naar-1-MUX met selecties S₁S₀ = AB is F = A′B′·I₀ + A′B·I₁ + AB′·I₂ + AB·I₃. Door de data-ingangen aan 0, 1, C of C′ te koppelen, maakt de MUX elke functie van A, B en C, wat een veelgebruikte manier is om logica met één chip te bouwen.

Uitgangsuitdrukking

F = A′B′ + A′B + AB′C + AB

Rijen met F = 1

ABC = 000, 001, 010, 011, 101, 110, 111

N = 7

Antwoord

N = 7

4.Digitale logica: poorten, K-kaarten & flip-flops

Antwoord: N = 3

Karnaugh-kaarten: de cellen staan in Gray-code (00, 01, 11, 10), dus naburige cellen, ook die over de randen heen, verschillen in precies één variabele. Groepeer de enen in rechthoeken van 1, 2, 4, 8 of 16 cellen, zo groot en zo weinig mogelijk, totdat elke 1 gedekt is. Elke groep is één productterm: de variabelen die erin constant blijven. Een groep van 2ᵏ cellen verliest k variabelen. Don’t-cares (X) mogen worden gebruikt om groepen groter te maken maar hoeven nooit gedekt te worden. Groepeer je in plaats daarvan de nullen, dan krijg je de minimale POS-vorm.

Priemimplicanten

De grootste groepen die uit enen en X’en gevormd kunnen worden.

B′CD′, BC′D, A′D′, AC′D, A′B, AB′D, AB′C

Minimale dekking

F = AC′D + A′B + AB′C

N = 3

Antwoord

N = 3

5.Data-acquisitie en bemonstering

Antwoord: R_B = 109,1 B/s

UART: een asynchrone seriële verbinding verstuurt elke byte als een frame: één startbit (laag), de databits, een optionele pariteitsbit en een of twee stopbits (hoog). De baudrate is het aantal bits per seconde, dus één bit duurt T_b = 1/baud en een frame van n bits duurt n/baud. Het gangbare 8N1-formaat heeft 10 bits per byte. De baudgenerator deelt de klok: baud = f_clk/(16·D) met een geheel getal D, dus de werkelijke baudrate wijkt iets af van de gewenste; een fout onder ongeveer 2 % is meestal acceptabel.

Bits per frame

1 + 8 + 1 + 1 = 11

Bytesnelheid

1200/11 = 109,1 B/s

Antwoord

R_B = 109,1 B/s

6.Data-acquisitie en bemonstering

Antwoord: e = 8,507 %

Deler

D = 4·10⁶/(16·115200) = 2,17 → 2

Werkelijke baudrate

4·10⁶/(16·2) = 125000 Bd

Fout

(125000 − 115200)/115200·100 = 8,507 %

Antwoord

e = 8,507 %

Een fout boven ongeveer 2 % maakt de verbinding onbetrouwbaar: kies een andere klok of baudrate.

ExamProblems · examproblems.com/courses/digital-electronics