Digitale elektronica: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 6 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Talstelsels

Plaatswaarden: binair 2^k, octaal 8^k, hex 16^k
Naar decimaal: Σ d_k·b^k
Vanuit decimaal: deel door het grondtal en lees de resten van onder naar boven
Hex ↔ binair: één hexcijfer = 4 bits
Two's complement: inverteer de bits en tel 1 op

Digitale logica: poorten, K-kaarten & flip-flops

Basispoorten: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
Booleaanse regels: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
De Morgan: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
Volgorde van de Karnaugh-kaart: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
Groep van 2ᵏ cellen: verliest k variabelen
4-naar-1-multiplexer: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
Flip-flops: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
Tellers: n-bits: 2ⁿ toestanden; mod-N: kleinste n met 2ⁿ ≥ N; f_uit = f_klok/N
Ripple-teller: f_max = 1/(n·t_pd)
Ring- en Johnson-tellers: n en 2n toestanden

Methode

Werk bij een schakeling van de ingangen naar de uitgang, één poort tegelijk, en schrijf de waarde op elke draad, of schrijf de uitdrukking op en vul de waarheidstabel in.
Zet voor vereenvoudiging de enen (en de don’t-cares als X) in een Karnaugh-kaart met rijen en kolommen in Gray-code: 00, 01, 11, 10.
Dek de enen met zo weinig en zo grote groepen van 1, 2, 4, 8 of 16 cellen als mogelijk, met terugloop om de randen; elke groep is één productterm van de variabelen die constant blijven. Groepeer de nullen voor de POS-vorm.
Lees bij flip-flops en tellers de ingangen af op elke actieve klokflank, schrijf de toestand na elke flank op, en onthoud dat een n-bits teller na 2ⁿ toestanden terugloopt.

Data-acquisitie en bemonstering

Nyquistcriterium: f_s > 2·f_max, f_N = f_s/2
Aliasfrequentie: f_a = |f − k·f_s|, k = round(f/f_s)
Stapgrootte: 1 LSB = V_FSR/2ᴺ
Kwantisatiefout (afronding): ±½ LSB
Afkappende ADC-code: D = ⌊V_in/LSB⌋
Bits voor een resolutie r: 2ᴺ ≥ span/r
Ideale SQNR, volle-schaal sinus: SQNR = 6,02·N + 1,76 dB
Datasnelheid: kanalen × f_s × N bit/s
Gemultiplexte ADC: f_s = 1/(n·(t_c + t_set))
UART: T_b = 1/baud; 8N1 = 10 bits per byte; bytes/s = baud/bits per frame
Baudrate-deler: baud = f_clk/(16·D)

Methode

Schrijf op wat gegeven is: bemonsteringsfrequentie, signaalfrequenties, aantal bits, ingangsbereik, baudrate.
Vergelijk bij bemonsteringsvragen elke frequentie met f_s/2; een hogere frequentie verschijnt bij f_a = |f − k·f_s| met het dichtstbijzijnde veelvoud van f_s.
Bepaal bij resolutievragen 1 LSB = V_FSR/2ᴺ, of de kleinste N met 2ᴺ ≥ bereik/resolutie.
Tel bij datasnelheden en UART-verbindingen alles wat wordt verzonden: kanalen, samples per seconde, bits of hele bytes per sample, en de start-, pariteits- en stopbits van elk frame.

2Oefenopgaven

1.TalstelselsGemiddeld

Schrijf −47 als 8-bits patroon in two's complement. Lees het patroon als binair getal zonder teken: wat is de waarde U in decimaal?

N = −478 bit

U =

2.TalstelselsMoeilijk

Een systeem moet elk van 1599 items een eigen binaire code van gelijke lengte geven. Wat is het kleinste aantal bits b dat nodig is?

1599

b = bit

3.Digitale logica: poorten, K-kaarten & flip-flopsGemiddeld

Een 4-naar-1-multiplexer heeft selectie-ingangen S₁ = A en S₀ = B, en data-ingangen gekoppeld aan I₀ = 1, I₁ = 1, I₂ = 0, I₃ = 0. Voor hoeveel van de 8 combinaties van A, B en C is de uitgang F = 1? Bepaal N.

I₀ = 1I₁ = 1I₂ = 0I₃ = 0

N =

4.Digitale logica: poorten, K-kaarten & flip-flopsMoeilijk

Bepaal de minimale SOP-vorm van F(A, B, C, D) = Σm(5, 8, 9, 11, 12, 14) + d(2, 4, 13), waarbij d de don’t-care-condities aangeeft. Hoeveel productermen N heeft die?

F(A, B, C, D) = Σm(5, 8, 9, 11, 12, 14) + d(2, 4, 13)

N =

5.Data-acquisitie en bemonsteringGemiddeld

Een sinus van 18 kHz wordt zonder anti-aliasingfilter bemonsterd met 20 kHz. Bij welke frequentie f_a verschijnt hij in de samples? Geef het antwoord in kHz.

f = 18 kHzf_s = 20 kHz

f_a = kHz

6.Data-acquisitie en bemonsteringMoeilijk

Een blokgolf van 280 Hz wordt zonder anti-aliasingfilter bemonsterd met 1 kHz. Een blokgolf bevat de oneven harmonischen 3f₁, 5f₁, 7f₁, … Bij welke frequentie f_a verschijnt zijn harmonische 5f₁ in de bemonsterde data? Geef het antwoord in Hz.

f₁ = 280 Hzf_s = 1 kHzharmonische: 5f₁

f_a = Hz

3Oplossingen

1.Talstelsels

Antwoord: U = 209

Positionele talstelsels: elk cijfer is zijn waarde maal een macht van het grondtal waard. Binair zijn de posities 1, 2, 4, 8, 16, … waard, hexadecimaal 1, 16, 256, …, met A–F voor 10–15. In 8-bits two's complement is het meest linkse bit −128 waard in plaats van +128; zo worden negatieve getallen opgeslagen.

Omkeren en één optellen

47 = 0010 1111

omgekeerd: 1101 0000

+1 → 1101 0001

Lezen zonder teken

1101 0001₂ = 256 − 47 = 209

Antwoord

U = 209

2.Talstelsels

Antwoord: b = 11 bit

Machten van twee

2¹⁰ = 1024 < 1599

2¹¹ = 2048 ≥ 1599

Antwoord

b = 11

3.Digitale logica: poorten, K-kaarten & flip-flops

Antwoord: N = 4

Multiplexer: een 2ⁿ-naar-1-multiplexer geeft één van zijn data-ingangen door aan de uitgang; de selectielijnen, gelezen als binair getal, kiezen welke. Voor een 4-naar-1-MUX met selecties S₁S₀ = AB is F = A′B′·I₀ + A′B·I₁ + AB′·I₂ + AB·I₃. Door de data-ingangen aan 0, 1, C of C′ te koppelen, maakt de MUX elke functie van A, B en C, wat een veelgebruikte manier is om logica met één chip te bouwen.

Uitgangsuitdrukking

F = A′B′ + A′B

Rijen met F = 1

ABC = 000, 001, 010, 011

N = 4

Antwoord

N = 4

4.Digitale logica: poorten, K-kaarten & flip-flops

Antwoord: N = 4

Karnaugh-kaarten: de cellen staan in Gray-code (00, 01, 11, 10), dus naburige cellen, ook die over de randen heen, verschillen in precies één variabele. Groepeer de enen in rechthoeken van 1, 2, 4, 8 of 16 cellen, zo groot en zo weinig mogelijk, totdat elke 1 gedekt is. Elke groep is één productterm: de variabelen die erin constant blijven. Een groep van 2ᵏ cellen verliest k variabelen. Don’t-cares (X) mogen worden gebruikt om groepen groter te maken maar hoeven nooit gedekt te worden. Groepeer je in plaats daarvan de nullen, dan krijg je de minimale POS-vorm.

Priemimplicanten

De grootste groepen die uit enen en X’en gevormd kunnen worden.

BC′, AC′, AB′D, ABD′

Minimale dekking

F = BC′ + AC′ + AB′D + ABD′

N = 4

Antwoord

N = 4

5.Data-acquisitie en bemonstering

Antwoord: f_a = 2 kHz

Bemonstering: een ADC meet het signaal f_s keer per seconde. Volgens het Nyquist–Shannon-theorema wordt een frequentie f alleen correct vastgelegd zolang f < f_s/2, de Nyquistfrequentie (vouwfrequentie), dus de bemonsteringsfrequentie moet groter zijn dan twee keer de hoogste signaalfrequentie. Een hogere frequentie gaat niet verloren: ze verschijnt als alias bij f_a = |f − k·f_s|, met het hele getal k dat het resultaat tussen 0 en f_s/2 brengt. De samples kunnen de twee niet uit elkaar houden, dus een analoog anti-aliasingfilter moet alles boven f_s/2 verwijderen vóór de ADC.

Nyquistfrequentie

f_s/2 = 10 kHz < f = 18 kHz

Dichtstbijzijnde veelvoud van de bemonsteringsfrequentie

k = round(18/20) = 1

Aliasfrequentie

f_a = |18 − 1·20| = 2 kHz

Antwoord

f_a = 2 kHz

De gestippelde kromme in de figuur is de alias: ze loopt door precies dezelfde samples.

6.Data-acquisitie en bemonstering

Antwoord: f_a = 400 Hz

Frequentie van de harmonische

5f₁ = 5·280 Hz = 1,4 kHz

Dichtstbijzijnde veelvoud van de bemonsteringsfrequentie

m = round(1,4) = 1

Aliasfrequentie

f_a = |1400 − 1·1000| = 400 Hz

Antwoord

f_a = 400 Hz

De alias komt binnen de signaalband terecht, waar geen digitaal filter hem kan verwijderen. Alleen een analoog filter vóór de ADC helpt.

ExamProblems · examproblems.com/courses/digital-electronics