Digitale elektronica: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 6 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Talstelsels

Plaatswaarden: binair 2^k, octaal 8^k, hex 16^k
Naar decimaal: Σ d_k·b^k
Vanuit decimaal: deel door het grondtal en lees de resten van onder naar boven
Hex ↔ binair: één hexcijfer = 4 bits
Two's complement: inverteer de bits en tel 1 op

Digitale logica: poorten, K-kaarten & flip-flops

Basispoorten: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
Booleaanse regels: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
De Morgan: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
Volgorde van de Karnaugh-kaart: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
Groep van 2ᵏ cellen: verliest k variabelen
4-naar-1-multiplexer: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
Flip-flops: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
Tellers: n-bits: 2ⁿ toestanden; mod-N: kleinste n met 2ⁿ ≥ N; f_uit = f_klok/N
Ripple-teller: f_max = 1/(n·t_pd)
Ring- en Johnson-tellers: n en 2n toestanden

Methode

Werk bij een schakeling van de ingangen naar de uitgang, één poort tegelijk, en schrijf de waarde op elke draad, of schrijf de uitdrukking op en vul de waarheidstabel in.
Zet voor vereenvoudiging de enen (en de don’t-cares als X) in een Karnaugh-kaart met rijen en kolommen in Gray-code: 00, 01, 11, 10.
Dek de enen met zo weinig en zo grote groepen van 1, 2, 4, 8 of 16 cellen als mogelijk, met terugloop om de randen; elke groep is één productterm van de variabelen die constant blijven. Groepeer de nullen voor de POS-vorm.
Lees bij flip-flops en tellers de ingangen af op elke actieve klokflank, schrijf de toestand na elke flank op, en onthoud dat een n-bits teller na 2ⁿ toestanden terugloopt.

Data-acquisitie en bemonstering

Nyquistcriterium: f_s > 2·f_max, f_N = f_s/2
Aliasfrequentie: f_a = |f − k·f_s|, k = round(f/f_s)
Stapgrootte: 1 LSB = V_FSR/2ᴺ
Kwantisatiefout (afronding): ±½ LSB
Afkappende ADC-code: D = ⌊V_in/LSB⌋
Bits voor een resolutie r: 2ᴺ ≥ span/r
Ideale SQNR, volle-schaal sinus: SQNR = 6,02·N + 1,76 dB
Datasnelheid: kanalen × f_s × N bit/s
Gemultiplexte ADC: f_s = 1/(n·(t_c + t_set))
UART: T_b = 1/baud; 8N1 = 10 bits per byte; bytes/s = baud/bits per frame
Baudrate-deler: baud = f_clk/(16·D)

Methode

Schrijf op wat gegeven is: bemonsteringsfrequentie, signaalfrequenties, aantal bits, ingangsbereik, baudrate.
Vergelijk bij bemonsteringsvragen elke frequentie met f_s/2; een hogere frequentie verschijnt bij f_a = |f − k·f_s| met het dichtstbijzijnde veelvoud van f_s.
Bepaal bij resolutievragen 1 LSB = V_FSR/2ᴺ, of de kleinste N met 2ᴺ ≥ bereik/resolutie.
Tel bij datasnelheden en UART-verbindingen alles wat wordt verzonden: kanalen, samples per seconde, bits of hele bytes per sample, en de start-, pariteits- en stopbits van elk frame.

2Oefenopgaven

1.TalstelselsGemiddeld

Schrijf −57 als 8-bits patroon in two's complement. Lees het patroon als binair getal zonder teken: wat is de waarde U in decimaal?

N = −578 bit

U =

2.TalstelselsMoeilijk

Een systeem moet elk van 244 items een eigen binaire code van gelijke lengte geven. Wat is het kleinste aantal bits b dat nodig is?

244

b = bit

3.Digitale logica: poorten, K-kaarten & flip-flopsGemiddeld

Vereenvoudig F = ABC′ + AB′C + A′C + B′C tot zijn minimale som-van-productenvorm. Hoeveel literals L bevat de vereenvoudigde uitdrukking?

F = ABC′ + AB′C + A′C + B′C

L =

4.Digitale logica: poorten, K-kaarten & flip-flopsMoeilijk

Een 4-bits binaire oploopteller begint bij 1 (decimaal, Q = 0001). Welke stand Q (decimaal) toont hij na 40 klokpulsen?

Q₀ = 140n = 4

Q =

5.Data-acquisitie en bemonsteringGemiddeld

Een 12-bits ADC met een ingangsbereik van 0 tot 3,3 V kapt af: zijn uitgangscode is ⌊V_in/LSB⌋ met 1 LSB = V_FSR/2ᴺ. Bepaal de decimale uitgangscode D voor een ingang van 1,709 V.

N = 12V_FSR = 3,3 VV_in = 1,709 V

D =

6.Data-acquisitie en bemonsteringMoeilijk

Een blokgolf van 450 Hz wordt zonder anti-aliasingfilter bemonsterd met 1 kHz. Een blokgolf bevat de oneven harmonischen 3f₁, 5f₁, 7f₁, … Bij welke frequentie f_a verschijnt zijn harmonische 7f₁ in de bemonsterde data? Geef het antwoord in Hz.

f₁ = 450 Hzf_s = 1 kHzharmonische: 7f₁

f_a = Hz

3Oplossingen

1.Talstelsels

Antwoord: U = 199

Positionele talstelsels: elk cijfer is zijn waarde maal een macht van het grondtal waard. Binair zijn de posities 1, 2, 4, 8, 16, … waard, hexadecimaal 1, 16, 256, …, met A–F voor 10–15. In 8-bits two's complement is het meest linkse bit −128 waard in plaats van +128; zo worden negatieve getallen opgeslagen.

Omkeren en één optellen

57 = 0011 1001

omgekeerd: 1100 0110

+1 → 1100 0111

Lezen zonder teken

1100 0111₂ = 256 − 57 = 199

Antwoord

U = 199

2.Talstelsels

Antwoord: b = 8 bit

Machten van twee

2⁷ = 128 < 244

2⁸ = 256 ≥ 244

Antwoord

b = 8

3.Digitale logica: poorten, K-kaarten & flip-flops

Antwoord: L = 7

Booleaanse algebra: de regels die uitdrukkingen vereenvoudigen zijn X + X′ = 1 en X·X′ = 0, X + X = X, absorptie X + X·Y = X, de samenvoegregel X·Y + X·Y′ = X, X + X′Y = X + Y en de consensusstelling XY + X′Z + YZ = XY + X′Z. De wetten van De Morgan veranderen (X·Y)′ in X′ + Y′ en (X + Y)′ in X′·Y′. Een Karnaugh-kaart past deze regels grafisch toe: elke groep van twee naburige cellen is één toepassing van XY + XY′ = X.

Mintermen van de uitdrukking

ABC′ → m(6)

AB′C → m(5)

A′C → m(1, 3)

B′C → m(1, 5)

Groepeer en lees af

F = B′C + A′C + ABC′

Tel de literals

L = 7

Antwoord

L = 7

4.Digitale logica: poorten, K-kaarten & flip-flops

Antwoord: Q = 9

Flip-flops en tellers: een flip-flop verandert alleen op de actieve klokflank. D kopieert zijn ingang (Q⁺ = D); T wisselt als T = 1; JK houdt vast bij 00, reset bij 01, zet bij 10 en wisselt bij 11. Een n-bits binaire teller heeft 2ⁿ toestanden en telt modulo 2ⁿ; een mod-N-teller telt 0, 1, …, N − 1 en dan weer 0, en heeft de kleinste n met 2ⁿ ≥ N flip-flops nodig. Elke trap van een ripple-teller halveert de frequentie, dus de laatste uitgang van een mod-N-teller loopt op f_klok/N. Een Johnson-teller van n flip-flops heeft 2n toestanden, een ringteller n.

Volledige cycli

Elke 16 pulsen brengen de teller terug in dezelfde toestand.

40 = 2·16 + 8

Stand na de resterende pulsen

Q = (1 + 8) mod 16 = 9

Q = 1001₂

Antwoord

Q = 9

5.Data-acquisitie en bemonstering

Antwoord: D = 2121

ADC-resolutie: een N-bits omzetter verdeelt zijn volle-schaalbereik V_FSR in 2ᴺ codes, van 0 tot 2ᴺ − 1. Eén stap is 1 LSB = V_FSR/2ᴺ: de kleinste verandering die de omzetter kan tonen. Een afkappende ADC geeft de code ⌊V_in/LSB⌋; een afrondende ADC zit nooit meer dan ½ LSB van de ware waarde af, zijn kwantisatiefout. Elke extra bit halveert de LSB en voegt ongeveer 6 dB toe aan de ideale signaal-kwantisatieruisverhouding SQNR = 6,02·N + 1,76 dB voor een sinus met volle uitsturing. Om een resolutie r over een bereik te halen, kies je de kleinste N met 2ᴺ ≥ bereik/r.

Stapgrootte

1 LSB = 3,3/2¹² = 0,8057 mV

Code

V_in/LSB = 1709/0,8057 = 2121

code = ⌊2121⌋ = 2121

Antwoord

D = 2121

In binair is dat 100001001001.

6.Data-acquisitie en bemonstering

Antwoord: f_a = 150 Hz

Bemonstering: een ADC meet het signaal f_s keer per seconde. Volgens het Nyquist–Shannon-theorema wordt een frequentie f alleen correct vastgelegd zolang f < f_s/2, de Nyquistfrequentie (vouwfrequentie), dus de bemonsteringsfrequentie moet groter zijn dan twee keer de hoogste signaalfrequentie. Een hogere frequentie gaat niet verloren: ze verschijnt als alias bij f_a = |f − k·f_s|, met het hele getal k dat het resultaat tussen 0 en f_s/2 brengt. De samples kunnen de twee niet uit elkaar houden, dus een analoog anti-aliasingfilter moet alles boven f_s/2 verwijderen vóór de ADC.

Frequentie van de harmonische

7f₁ = 7·450 Hz = 3,15 kHz

Dichtstbijzijnde veelvoud van de bemonsteringsfrequentie

m = round(3,15) = 3

Aliasfrequentie

f_a = |3150 − 3·1000| = 150 Hz

Antwoord

f_a = 150 Hz

De alias komt binnen de signaalband terecht, waar geen digitaal filter hem kan verwijderen. Alleen een analoog filter vóór de ADC helpt.

ExamProblems · examproblems.com/courses/digital-electronics