Digitale elektronica: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 6 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Talstelsels

Plaatswaarden: binair 2^k, octaal 8^k, hex 16^k
Naar decimaal: Σ d_k·b^k
Vanuit decimaal: deel door het grondtal en lees de resten van onder naar boven
Hex ↔ binair: één hexcijfer = 4 bits
Two's complement: inverteer de bits en tel 1 op

Digitale logica: poorten, K-kaarten & flip-flops

Basispoorten: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
Booleaanse regels: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
De Morgan: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
Volgorde van de Karnaugh-kaart: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
Groep van 2ᵏ cellen: verliest k variabelen
4-naar-1-multiplexer: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
Flip-flops: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
Tellers: n-bits: 2ⁿ toestanden; mod-N: kleinste n met 2ⁿ ≥ N; f_uit = f_klok/N
Ripple-teller: f_max = 1/(n·t_pd)
Ring- en Johnson-tellers: n en 2n toestanden

Methode

Werk bij een schakeling van de ingangen naar de uitgang, één poort tegelijk, en schrijf de waarde op elke draad, of schrijf de uitdrukking op en vul de waarheidstabel in.
Zet voor vereenvoudiging de enen (en de don’t-cares als X) in een Karnaugh-kaart met rijen en kolommen in Gray-code: 00, 01, 11, 10.
Dek de enen met zo weinig en zo grote groepen van 1, 2, 4, 8 of 16 cellen als mogelijk, met terugloop om de randen; elke groep is één productterm van de variabelen die constant blijven. Groepeer de nullen voor de POS-vorm.
Lees bij flip-flops en tellers de ingangen af op elke actieve klokflank, schrijf de toestand na elke flank op, en onthoud dat een n-bits teller na 2ⁿ toestanden terugloopt.

Data-acquisitie en bemonstering

Nyquistcriterium: f_s > 2·f_max, f_N = f_s/2
Aliasfrequentie: f_a = |f − k·f_s|, k = round(f/f_s)
Stapgrootte: 1 LSB = V_FSR/2ᴺ
Kwantisatiefout (afronding): ±½ LSB
Afkappende ADC-code: D = ⌊V_in/LSB⌋
Bits voor een resolutie r: 2ᴺ ≥ span/r
Ideale SQNR, volle-schaal sinus: SQNR = 6,02·N + 1,76 dB
Datasnelheid: kanalen × f_s × N bit/s
Gemultiplexte ADC: f_s = 1/(n·(t_c + t_set))
UART: T_b = 1/baud; 8N1 = 10 bits per byte; bytes/s = baud/bits per frame
Baudrate-deler: baud = f_clk/(16·D)

Methode

Schrijf op wat gegeven is: bemonsteringsfrequentie, signaalfrequenties, aantal bits, ingangsbereik, baudrate.
Vergelijk bij bemonsteringsvragen elke frequentie met f_s/2; een hogere frequentie verschijnt bij f_a = |f − k·f_s| met het dichtstbijzijnde veelvoud van f_s.
Bepaal bij resolutievragen 1 LSB = V_FSR/2ᴺ, of de kleinste N met 2ᴺ ≥ bereik/resolutie.
Tel bij datasnelheden en UART-verbindingen alles wat wordt verzonden: kanalen, samples per seconde, bits of hele bytes per sample, en de start-, pariteits- en stopbits van elk frame.

2Oefenopgaven

1.TalstelselsGemiddeld

Het 8-bits patroon 1011 0000 slaat een geheel getal met teken op in two's complement. Wat is de waarde N in decimaal?

1011 00008 bit

N =

2.TalstelselsMoeilijk

Stel de bits in op het 8-bits resultaat van 1110 1110 OR 1011 0011. Wat is de waarde R van het resultaat in decimaal?

1110 1110OR1011 0011

R =

3.Digitale logica: poorten, K-kaarten & flip-flopsGemiddeld

Een 4-naar-1-multiplexer heeft selectie-ingangen S₁ = A en S₀ = B, en data-ingangen gekoppeld aan I₀ = C′, I₁ = C, I₂ = C, I₃ = C′. Voor hoeveel van de 8 combinaties van A, B en C is de uitgang F = 1? Bepaal N.

I₀ = C′I₁ = CI₂ = CI₃ = C′

N =

4.Digitale logica: poorten, K-kaarten & flip-flopsMoeilijk

Bepaal voor F(A, B, C, D) = Σm(0, 4, 6, 8, 11, 13) + d(2, 7), waarbij d de don’t-care-condities aangeeft, het aantal N essentiële priemimplicanten.

F(A, B, C, D) = Σm(0, 4, 6, 8, 11, 13) + d(2, 7)

N =

5.Data-acquisitie en bemonsteringGemiddeld

Een UART verstuurt bytes met 2400 baud in het formaat 8N1: 8 databits, geen pariteit en 1 stopbit(s), plus de startbit. Bepaal het grootste aantal databytes per seconde dat hij kan overdragen.

baud = 2400 Bd8N1

R_B = B/s

6.Data-acquisitie en bemonsteringMoeilijk

Een temperatuursensor geeft 20 mV/°C (0 V bij 0 °C). Zijn signaal wordt 4 keer versterkt en naar een 12-bits ADC met een bereik van 0 tot 2,5 V gevoerd (1 LSB = V_FSR/2ᴺ). Bepaal de temperatuurverandering ΔT_LSB die overeenkomt met één LSB.

S = 20 mV/°CG = 4N = 12V_FSR = 2,5 V

ΔT_LSB = °C

3Oplossingen

1.Talstelsels

Antwoord: N = −80

Positionele talstelsels: elk cijfer is zijn waarde maal een macht van het grondtal waard. Binair zijn de posities 1, 2, 4, 8, 16, … waard, hexadecimaal 1, 16, 256, …, met A–F voor 10–15. In 8-bits two's complement is het meest linkse bit −128 waard in plaats van +128; zo worden negatieve getallen opgeslagen.

Plaatswaarden optellen

De andere bits houden hun gewone positieve waarde.

−128 + 32 + 16 = −80

Antwoord

N = −80

2.Talstelsels

Antwoord: R = 255

Bits instellen: elke bit is een macht van twee waard (128, 64, …, 1). Eén hexadecimaal cijfer is precies vier bits, en in 8-bits tweecomplement is de meest linkse bit −128 waard. Bitsgewijze bewerkingen werken op elke bitpositie apart.

Bit voor bit

OR geeft 1 waar minstens één bit 1 is.

1110 1110

OR 1011 0011

= 1111 1111

Waarde van het resultaat

1111 1111₂ = 255

Antwoord

R = 255

3.Digitale logica: poorten, K-kaarten & flip-flops

Antwoord: N = 4

Multiplexer: een 2ⁿ-naar-1-multiplexer geeft één van zijn data-ingangen door aan de uitgang; de selectielijnen, gelezen als binair getal, kiezen welke. Voor een 4-naar-1-MUX met selecties S₁S₀ = AB is F = A′B′·I₀ + A′B·I₁ + AB′·I₂ + AB·I₃. Door de data-ingangen aan 0, 1, C of C′ te koppelen, maakt de MUX elke functie van A, B en C, wat een veelgebruikte manier is om logica met één chip te bouwen.

Uitgangsuitdrukking

F = A′B′C′ + A′BC + AB′C + ABC′

Rijen met F = 1

ABC = 000, 011, 101, 110

N = 4

Antwoord

N = 4

4.Digitale logica: poorten, K-kaarten & flip-flops

Antwoord: N = 4

Karnaugh-kaarten: de cellen staan in Gray-code (00, 01, 11, 10), dus naburige cellen, ook die over de randen heen, verschillen in precies één variabele. Groepeer de enen in rechthoeken van 1, 2, 4, 8 of 16 cellen, zo groot en zo weinig mogelijk, totdat elke 1 gedekt is. Elke groep is één productterm: de variabelen die erin constant blijven. Een groep van 2ᵏ cellen verliest k variabelen. Don’t-cares (X) mogen worden gebruikt om groepen groter te maken maar hoeven nooit gedekt te worden. Groepeer je in plaats daarvan de nullen, dan krijg je de minimale POS-vorm.

Priemimplicanten

De grootste groepen die uit enen en X’en gevormd kunnen worden.

B′C′D′, A′D′, A′BC, AB′CD, ABC′D

Essentiële priemimplicanten

B′C′D′, A′D′, AB′CD, ABC′D

N = 4

Antwoord

N = 4

5.Data-acquisitie en bemonstering

Antwoord: R_B = 240 B/s

UART: een asynchrone seriële verbinding verstuurt elke byte als een frame: één startbit (laag), de databits, een optionele pariteitsbit en een of twee stopbits (hoog). De baudrate is het aantal bits per seconde, dus één bit duurt T_b = 1/baud en een frame van n bits duurt n/baud. Het gangbare 8N1-formaat heeft 10 bits per byte. De baudgenerator deelt de klok: baud = f_clk/(16·D) met een geheel getal D, dus de werkelijke baudrate wijkt iets af van de gewenste; een fout onder ongeveer 2 % is meestal acceptabel.

Bits per frame

1 + 8 + 0 + 1 = 10

Bytesnelheid

2400/10 = 240 B/s

Antwoord

R_B = 240 B/s

6.Data-acquisitie en bemonstering

Antwoord: ΔT_LSB = 0,007629 °C

ADC-resolutie: een N-bits omzetter verdeelt zijn volle-schaalbereik V_FSR in 2ᴺ codes, van 0 tot 2ᴺ − 1. Eén stap is 1 LSB = V_FSR/2ᴺ: de kleinste verandering die de omzetter kan tonen. Een afkappende ADC geeft de code ⌊V_in/LSB⌋; een afrondende ADC zit nooit meer dan ½ LSB van de ware waarde af, zijn kwantisatiefout. Elke extra bit halveert de LSB en voegt ongeveer 6 dB toe aan de ideale signaal-kwantisatieruisverhouding SQNR = 6,02·N + 1,76 dB voor een sinus met volle uitsturing. Om een resolutie r over een bereik te halen, kies je de kleinste N met 2ᴺ ≥ bereik/r.

Stapgrootte

1 LSB = 2500/4096 = 0,6104 mV

Gevoeligheid bij de ADC

20·4 = 80 mV/°C

Temperatuurresolutie

ΔT_LSB = 0,6104/80 = 0,007629 °C

Antwoord

ΔT_LSB = 0,007629 °C

De ADC bereikt volle schaal bij 31,25 °C.

ExamProblems · examproblems.com/courses/digital-electronics