Talstelsels
- Plaatswaarden
- binair 2k, octaal 8k, hex 16k
- Naar decimaal
- Σ dk·bk
- Vanuit decimaal
- deel door het grondtal en lees de resten van onder naar boven
- Hex ↔ binair
- één hexcijfer = 4 bits
- Two's complement
- inverteer de bits en tel 1 op
Digitale elektronica: samenvattingspakket
Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 6 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.
1Formules en methoden
Digitale logica: poorten, K-kaarten & flip-flops
- Basispoorten
- A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
- Booleaanse regels
- X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
- De Morgan
- (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
- Volgorde van de Karnaugh-kaart
- 00, 01, 11, 10 (Gray code)
- Groep van 2ᵏ cellen
- verliest k variabelen
- 4-naar-1-multiplexer
- F = A′B′I0 + A′BI1 + AB′I2 + ABI3
- Flip-flops
- D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
- Tellers
- n-bits: 2ⁿ toestanden; mod-N: kleinste n met 2ⁿ ≥ N; fuit = fklok/N
- Ripple-teller
- fmax = 1/(n·tpd)
- Ring- en Johnson-tellers
- n en 2n toestanden
Methode
- Werk bij een schakeling van de ingangen naar de uitgang, één poort tegelijk, en schrijf de waarde op elke draad, of schrijf de uitdrukking op en vul de waarheidstabel in.
- Zet voor vereenvoudiging de enen (en de don’t-cares als X) in een Karnaugh-kaart met rijen en kolommen in Gray-code: 00, 01, 11, 10.
- Dek de enen met zo weinig en zo grote groepen van 1, 2, 4, 8 of 16 cellen als mogelijk, met terugloop om de randen; elke groep is één productterm van de variabelen die constant blijven. Groepeer de nullen voor de POS-vorm.
- Lees bij flip-flops en tellers de ingangen af op elke actieve klokflank, schrijf de toestand na elke flank op, en onthoud dat een n-bits teller na 2ⁿ toestanden terugloopt.
Data-acquisitie en bemonstering
- Nyquistcriterium
- fs > 2·fmax, fN = fs/2
- Aliasfrequentie
- fa = |f − k·fs|, k = round(f/fs)
- Stapgrootte
- 1 LSB = VFSR/2ᴺ
- Kwantisatiefout (afronding)
- ±½ LSB
- Afkappende ADC-code
- D = ⌊Vin/LSB⌋
- Bits voor een resolutie r
- 2ᴺ ≥ span/r
- Ideale SQNR, volle-schaal sinus
- SQNR = 6,02·N + 1,76 dB
- Datasnelheid
- kanalen × fs × N bit/s
- Gemultiplexte ADC
- fs = 1/(n·(tc + tset))
- UART
- Tb = 1/baud; 8N1 = 10 bits per byte; bytes/s = baud/bits per frame
- Baudrate-deler
- baud = fclk/(16·D)
Methode
- Schrijf op wat gegeven is: bemonsteringsfrequentie, signaalfrequenties, aantal bits, ingangsbereik, baudrate.
- Vergelijk bij bemonsteringsvragen elke frequentie met fs/2; een hogere frequentie verschijnt bij fa = |f − k·fs| met het dichtstbijzijnde veelvoud van fs.
- Bepaal bij resolutievragen 1 LSB = VFSR/2ᴺ, of de kleinste N met 2ᴺ ≥ bereik/resolutie.
- Tel bij datasnelheden en UART-verbindingen alles wat wordt verzonden: kanalen, samples per seconde, bits of hele bytes per sample, en de start-, pariteits- en stopbits van elk frame.
2Oefenopgaven
1.TalstelselsGemiddeld
Het 8-bits patroon 0101 0000 slaat een geheel getal met teken op in two's complement. Wat is de waarde N in decimaal?
0101 00008 bit
N =
2.TalstelselsMoeilijk
Stel de bits in op het 8-bits resultaat van 1110 0110 OR 0111 0100. Wat is de waarde R van het resultaat in decimaal?
1110 0110OR0111 0100
R =
3.Digitale logica: poorten, K-kaarten & flip-flopsGemiddeld
Gebruik de Karnaugh-kaart om de minimale som-van-productenvorm (SOP) van F(A, B, C) = Σm(3, 5, 6, 7) te vinden. Hoeveel productermen N heeft die?
F(A, B, C) = Σm(3, 5, 6, 7)
N =
4.Digitale logica: poorten, K-kaarten & flip-flopsMoeilijk
Bepaal voor F(A, B, C, D) = Σm(1, 10, 14, 15) + d(0, 3, 6, 8), waarbij d de don’t-care-condities aangeeft, het aantal N essentiële priemimplicanten.
F(A, B, C, D) = Σm(1, 10, 14, 15) + d(0, 3, 6, 8)
N =
5.Data-acquisitie en bemonsteringGemiddeld
Bepaal de ideale signaal-kwantisatieruisverhouding SQNR van een 14-bits ADC voor een sinus met volle uitsturing.
N = 14
SQNR = dB
6.Data-acquisitie en bemonsteringMoeilijk
Een audiometing vraagt een ideale signaal-kwantisatieruisverhouding van minstens 100 dB voor een sinus met volle uitsturing. Bepaal het kleinste aantal ADC-bits N.
SQNR ≥ 100 dB
N =
3Oplossingen
1.Talstelsels
Antwoord: N = 80
Positionele talstelsels: elk cijfer is zijn waarde maal een macht van het grondtal waard. Binair zijn de posities 1, 2, 4, 8, 16, … waard, hexadecimaal 1, 16, 256, …, met A–F voor 10–15. In 8-bits two's complement is het meest linkse bit −128 waard in plaats van +128; zo worden negatieve getallen opgeslagen.
Plaatswaarden optellen
De andere bits houden hun gewone positieve waarde.
64 + 16 = 80
Antwoord
N = 80
2.Talstelsels
Antwoord: R = 246
Bits instellen: elke bit is een macht van twee waard (128, 64, …, 1). Eén hexadecimaal cijfer is precies vier bits, en in 8-bits tweecomplement is de meest linkse bit −128 waard. Bitsgewijze bewerkingen werken op elke bitpositie apart.
Bit voor bit
OR geeft 1 waar minstens één bit 1 is.
1110 0110
OR 0111 0100
= 1111 0110
Waarde van het resultaat
1111 0110₂ = 246
Antwoord
R = 246
3.Digitale logica: poorten, K-kaarten & flip-flops
Antwoord: N = 3
Karnaugh-kaarten: de cellen staan in Gray-code (00, 01, 11, 10), dus naburige cellen, ook die over de randen heen, verschillen in precies één variabele. Groepeer de enen in rechthoeken van 1, 2, 4, 8 of 16 cellen, zo groot en zo weinig mogelijk, totdat elke 1 gedekt is. Elke groep is één productterm: de variabelen die erin constant blijven. Een groep van 2ᵏ cellen verliest k variabelen. Don’t-cares (X) mogen worden gebruikt om groepen groter te maken maar hoeven nooit gedekt te worden. Groepeer je in plaats daarvan de nullen, dan krijg je de minimale POS-vorm.
Groepeer de enen
Elke groep is een rechthoek van 2ᵏ cellen; randcellen zijn buren van de cellen op de tegenoverliggende rand.
BC
AC
AB
Minimale SOP-vorm
F = BC + AC + AB
N = 3
Antwoord
N = 3
4.Digitale logica: poorten, K-kaarten & flip-flops
Antwoord: N = 1
Karnaugh-kaarten: de cellen staan in Gray-code (00, 01, 11, 10), dus naburige cellen, ook die over de randen heen, verschillen in precies één variabele. Groepeer de enen in rechthoeken van 1, 2, 4, 8 of 16 cellen, zo groot en zo weinig mogelijk, totdat elke 1 gedekt is. Elke groep is één productterm: de variabelen die erin constant blijven. Een groep van 2ᵏ cellen verliest k variabelen. Don’t-cares (X) mogen worden gebruikt om groepen groter te maken maar hoeven nooit gedekt te worden. Groepeer je in plaats daarvan de nullen, dan krijg je de minimale POS-vorm.
Priemimplicanten
De grootste groepen die uit enen en X’en gevormd kunnen worden.
BCD′, ACD′, A′B′D, AB′D′, A′B′C′, ABC
Essentiële priemimplicanten
ABC
N = 1
Antwoord
N = 1
5.Data-acquisitie en bemonstering
Antwoord: SQNR = 86,04 dB
ADC-resolutie: een N-bits omzetter verdeelt zijn volle-schaalbereik VFSR in 2ᴺ codes, van 0 tot 2ᴺ − 1. Eén stap is 1 LSB = VFSR/2ᴺ: de kleinste verandering die de omzetter kan tonen. Een afkappende ADC geeft de code ⌊Vin/LSB⌋; een afrondende ADC zit nooit meer dan ½ LSB van de ware waarde af, zijn kwantisatiefout. Elke extra bit halveert de LSB en voegt ongeveer 6 dB toe aan de ideale signaal-kwantisatieruisverhouding SQNR = 6,02·N + 1,76 dB voor een sinus met volle uitsturing. Om een resolutie r over een bereik te halen, kies je de kleinste N met 2ᴺ ≥ bereik/r.
Ideale SQNR
SQNR = 6,02·14 + 1,76 = 86,04 dB
Antwoord
SQNR = 86,04 dB
6.Data-acquisitie en bemonstering
Antwoord: N = 17
ADC-resolutie: een N-bits omzetter verdeelt zijn volle-schaalbereik VFSR in 2ᴺ codes, van 0 tot 2ᴺ − 1. Eén stap is 1 LSB = VFSR/2ᴺ: de kleinste verandering die de omzetter kan tonen. Een afkappende ADC geeft de code ⌊Vin/LSB⌋; een afrondende ADC zit nooit meer dan ½ LSB van de ware waarde af, zijn kwantisatiefout. Elke extra bit halveert de LSB en voegt ongeveer 6 dB toe aan de ideale signaal-kwantisatieruisverhouding SQNR = 6,02·N + 1,76 dB voor een sinus met volle uitsturing. Om een resolutie r over een bereik te halen, kies je de kleinste N met 2ᴺ ≥ bereik/r.
Los op voor N
N ≥ (100 − 1,76)/6,02 = 16,32
Naar boven afronden
N = 17
controle: 6,02·17 + 1,76 = 104,1 dB ≥ 100 dB
Antwoord
N = 17
ExamProblems · examproblems.com/courses/digital-electronics