Digitale elektronica: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 6 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Talstelsels

Plaatswaarden: binair 2^k, octaal 8^k, hex 16^k
Naar decimaal: Σ d_k·b^k
Vanuit decimaal: deel door het grondtal en lees de resten van onder naar boven
Hex ↔ binair: één hexcijfer = 4 bits
Two's complement: inverteer de bits en tel 1 op

Digitale logica: poorten, K-kaarten & flip-flops

Basispoorten: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
Booleaanse regels: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
De Morgan: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
Volgorde van de Karnaugh-kaart: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
Groep van 2ᵏ cellen: verliest k variabelen
4-naar-1-multiplexer: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
Flip-flops: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
Tellers: n-bits: 2ⁿ toestanden; mod-N: kleinste n met 2ⁿ ≥ N; f_uit = f_klok/N
Ripple-teller: f_max = 1/(n·t_pd)
Ring- en Johnson-tellers: n en 2n toestanden

Methode

Werk bij een schakeling van de ingangen naar de uitgang, één poort tegelijk, en schrijf de waarde op elke draad, of schrijf de uitdrukking op en vul de waarheidstabel in.
Zet voor vereenvoudiging de enen (en de don’t-cares als X) in een Karnaugh-kaart met rijen en kolommen in Gray-code: 00, 01, 11, 10.
Dek de enen met zo weinig en zo grote groepen van 1, 2, 4, 8 of 16 cellen als mogelijk, met terugloop om de randen; elke groep is één productterm van de variabelen die constant blijven. Groepeer de nullen voor de POS-vorm.
Lees bij flip-flops en tellers de ingangen af op elke actieve klokflank, schrijf de toestand na elke flank op, en onthoud dat een n-bits teller na 2ⁿ toestanden terugloopt.

Data-acquisitie en bemonstering

Nyquistcriterium: f_s > 2·f_max, f_N = f_s/2
Aliasfrequentie: f_a = |f − k·f_s|, k = round(f/f_s)
Stapgrootte: 1 LSB = V_FSR/2ᴺ
Kwantisatiefout (afronding): ±½ LSB
Afkappende ADC-code: D = ⌊V_in/LSB⌋
Bits voor een resolutie r: 2ᴺ ≥ span/r
Ideale SQNR, volle-schaal sinus: SQNR = 6,02·N + 1,76 dB
Datasnelheid: kanalen × f_s × N bit/s
Gemultiplexte ADC: f_s = 1/(n·(t_c + t_set))
UART: T_b = 1/baud; 8N1 = 10 bits per byte; bytes/s = baud/bits per frame
Baudrate-deler: baud = f_clk/(16·D)

Methode

Schrijf op wat gegeven is: bemonsteringsfrequentie, signaalfrequenties, aantal bits, ingangsbereik, baudrate.
Vergelijk bij bemonsteringsvragen elke frequentie met f_s/2; een hogere frequentie verschijnt bij f_a = |f − k·f_s| met het dichtstbijzijnde veelvoud van f_s.
Bepaal bij resolutievragen 1 LSB = V_FSR/2ᴺ, of de kleinste N met 2ᴺ ≥ bereik/resolutie.
Tel bij datasnelheden en UART-verbindingen alles wat wordt verzonden: kanalen, samples per seconde, bits of hele bytes per sample, en de start-, pariteits- en stopbits van elk frame.

2Oefenopgaven

1.TalstelselsGemiddeld

Stel de bits zo in dat ze −83 opslaan in 8-bits tweecomplement. Wat is de waarde U van het patroon, gelezen als getal zonder teken?

N = −838 bit

U =

2.TalstelselsMoeilijk

Wat is het meest negatieve gehele getal N dat in 20-bits two's complement past?

20 bit

N =

3.Digitale logica: poorten, K-kaarten & flip-flopsGemiddeld

Vereenvoudig F = A′BC + A′BC′ + A′B′C tot zijn minimale som-van-productenvorm. Hoeveel literals L bevat de vereenvoudigde uitdrukking?

F = A′BC + A′BC′ + A′B′C

L =

4.Digitale logica: poorten, K-kaarten & flip-flopsMoeilijk

Bepaal voor F(A, B, C, D) = Σm(0, 2, 4, 6, 13, 14, 15) + d(3, 5, 10), waarbij d de don’t-care-condities aangeeft, het aantal N essentiële priemimplicanten.

F(A, B, C, D) = Σm(0, 2, 4, 6, 13, 14, 15) + d(3, 5, 10)

N =

5.Data-acquisitie en bemonsteringGemiddeld

Een recorder bemonstert 4 kanalen met elk 5 kHz en een 10-bits ADC. Elke sample wordt in hele bytes opgeslagen. Bepaal het geheugen M dat nodig is voor een opname van 60 min, in MB (1 MB = 10⁶ bytes).

n = 4f_s = 5 kHzN = 10t = 60 min

M = MB

6.Data-acquisitie en bemonsteringMoeilijk

Een blokgolf van 17,5 kHz wordt zonder anti-aliasingfilter bemonsterd met 50 kHz. Een blokgolf bevat de oneven harmonischen 3f₁, 5f₁, 7f₁, … Bij welke frequentie f_a verschijnt zijn harmonische 3f₁ in de bemonsterde data? Geef het antwoord in kHz.

f₁ = 17,5 kHzf_s = 50 kHzharmonische: 3f₁

f_a = kHz

3Oplossingen

1.Talstelsels

Antwoord: U = 173

Bits instellen: elke bit is een macht van twee waard (128, 64, …, 1). Eén hexadecimaal cijfer is precies vier bits, en in 8-bits tweecomplement is de meest linkse bit −128 waard. Bitsgewijze bewerkingen werken op elke bitpositie apart.

Omkeren en één optellen

83 = 0101 0011

omgekeerd: 1010 1100

+1 → 1010 1101

Lezen zonder teken

1010 1101₂ = 256 − 83 = 173

Antwoord

U = 173

2.Talstelsels

Antwoord: N = −524288

Positionele talstelsels: elk cijfer is zijn waarde maal een macht van het grondtal waard. Binair zijn de posities 1, 2, 4, 8, 16, … waard, hexadecimaal 1, 16, 256, …, met A–F voor 10–15. In 8-bits two's complement is het meest linkse bit −128 waard in plaats van +128; zo worden negatieve getallen opgeslagen.

Meest negatieve waarde

−2¹⁹ = −524288

Antwoord

N = −524288

3.Digitale logica: poorten, K-kaarten & flip-flops

Antwoord: L = 4

Booleaanse algebra: de regels die uitdrukkingen vereenvoudigen zijn X + X′ = 1 en X·X′ = 0, X + X = X, absorptie X + X·Y = X, de samenvoegregel X·Y + X·Y′ = X, X + X′Y = X + Y en de consensusstelling XY + X′Z + YZ = XY + X′Z. De wetten van De Morgan veranderen (X·Y)′ in X′ + Y′ en (X + Y)′ in X′·Y′. Een Karnaugh-kaart past deze regels grafisch toe: elke groep van twee naburige cellen is één toepassing van XY + XY′ = X.

Mintermen van de uitdrukking

A′BC → m(3)

A′BC′ → m(2)

A′B′C → m(1)

Groepeer en lees af

F = A′C + A′B

Tel de literals

L = 4

Antwoord

L = 4

4.Digitale logica: poorten, K-kaarten & flip-flops

Antwoord: N = 1

Karnaugh-kaarten: de cellen staan in Gray-code (00, 01, 11, 10), dus naburige cellen, ook die over de randen heen, verschillen in precies één variabele. Groepeer de enen in rechthoeken van 1, 2, 4, 8 of 16 cellen, zo groot en zo weinig mogelijk, totdat elke 1 gedekt is. Elke groep is één productterm: de variabelen die erin constant blijven. Een groep van 2ᵏ cellen verliest k variabelen. Don’t-cares (X) mogen worden gebruikt om groepen groter te maken maar hoeven nooit gedekt te worden. Groepeer je in plaats daarvan de nullen, dan krijg je de minimale POS-vorm.

Priemimplicanten

De grootste groepen die uit enen en X’en gevormd kunnen worden.

CD′, BC′D, A′D′, ABD, A′B′C, A′BC′, ABC

Essentiële priemimplicanten

A′D′

N = 1

Antwoord

N = 1

5.Data-acquisitie en bemonstering

Antwoord: M = 144 MB

Datasnelheden: elk kanaal levert f_s samples per seconde van N bits, dus de ruwe snelheid is kanalen × f_s × N bit/s. In het geheugen neemt een sample hele bytes in beslag (een sample van 12 bits wordt in 2 bytes opgeslagen), dus het geheugen voor een opname is kanalen × f_s × bytes per sample × tijd. Een gemultiplexte ADC zet de kanalen na elkaar om: elke conversie (inclusief insteltijd) duurt t, dus een ronde van n kanalen duurt n·t en elk kanaal wordt bemonsterd met 1/(n·t).

Bytes per sample

⌈10/8⌉ = 2 B

Bytesnelheid

4·5000·2 = 40000 B/s

Geheugen

M = 40000·3600 = 1,44 × 10⁸ B = 144 MB

Antwoord

M = 144 MB

6.Data-acquisitie en bemonstering

Antwoord: f_a = 2,5 kHz

Bemonstering: een ADC meet het signaal f_s keer per seconde. Volgens het Nyquist–Shannon-theorema wordt een frequentie f alleen correct vastgelegd zolang f < f_s/2, de Nyquistfrequentie (vouwfrequentie), dus de bemonsteringsfrequentie moet groter zijn dan twee keer de hoogste signaalfrequentie. Een hogere frequentie gaat niet verloren: ze verschijnt als alias bij f_a = |f − k·f_s|, met het hele getal k dat het resultaat tussen 0 en f_s/2 brengt. De samples kunnen de twee niet uit elkaar houden, dus een analoog anti-aliasingfilter moet alles boven f_s/2 verwijderen vóór de ADC.

Frequentie van de harmonische

3f₁ = 3·17,5 kHz = 52,5 kHz

Dichtstbijzijnde veelvoud van de bemonsteringsfrequentie

m = round(1,05) = 1

Aliasfrequentie

f_a = |52,5 − 1·50| = 2,5 kHz

Antwoord

f_a = 2,5 kHz

De alias komt binnen de signaalband terecht, waar geen digitaal filter hem kan verwijderen. Alleen een analoog filter vóór de ADC helpt.

ExamProblems · examproblems.com/courses/digital-electronics