Digitale elektronica: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 6 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Talstelsels

Plaatswaarden: binair 2^k, octaal 8^k, hex 16^k
Naar decimaal: Σ d_k·b^k
Vanuit decimaal: deel door het grondtal en lees de resten van onder naar boven
Hex ↔ binair: één hexcijfer = 4 bits
Two's complement: inverteer de bits en tel 1 op

Digitale logica: poorten, K-kaarten & flip-flops

Basispoorten: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
Booleaanse regels: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
De Morgan: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
Volgorde van de Karnaugh-kaart: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
Groep van 2ᵏ cellen: verliest k variabelen
4-naar-1-multiplexer: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
Flip-flops: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
Tellers: n-bits: 2ⁿ toestanden; mod-N: kleinste n met 2ⁿ ≥ N; f_uit = f_klok/N
Ripple-teller: f_max = 1/(n·t_pd)
Ring- en Johnson-tellers: n en 2n toestanden

Methode

Werk bij een schakeling van de ingangen naar de uitgang, één poort tegelijk, en schrijf de waarde op elke draad, of schrijf de uitdrukking op en vul de waarheidstabel in.
Zet voor vereenvoudiging de enen (en de don’t-cares als X) in een Karnaugh-kaart met rijen en kolommen in Gray-code: 00, 01, 11, 10.
Dek de enen met zo weinig en zo grote groepen van 1, 2, 4, 8 of 16 cellen als mogelijk, met terugloop om de randen; elke groep is één productterm van de variabelen die constant blijven. Groepeer de nullen voor de POS-vorm.
Lees bij flip-flops en tellers de ingangen af op elke actieve klokflank, schrijf de toestand na elke flank op, en onthoud dat een n-bits teller na 2ⁿ toestanden terugloopt.

Data-acquisitie en bemonstering

Nyquistcriterium: f_s > 2·f_max, f_N = f_s/2
Aliasfrequentie: f_a = |f − k·f_s|, k = round(f/f_s)
Stapgrootte: 1 LSB = V_FSR/2ᴺ
Kwantisatiefout (afronding): ±½ LSB
Afkappende ADC-code: D = ⌊V_in/LSB⌋
Bits voor een resolutie r: 2ᴺ ≥ span/r
Ideale SQNR, volle-schaal sinus: SQNR = 6,02·N + 1,76 dB
Datasnelheid: kanalen × f_s × N bit/s
Gemultiplexte ADC: f_s = 1/(n·(t_c + t_set))
UART: T_b = 1/baud; 8N1 = 10 bits per byte; bytes/s = baud/bits per frame
Baudrate-deler: baud = f_clk/(16·D)

Methode

Schrijf op wat gegeven is: bemonsteringsfrequentie, signaalfrequenties, aantal bits, ingangsbereik, baudrate.
Vergelijk bij bemonsteringsvragen elke frequentie met f_s/2; een hogere frequentie verschijnt bij f_a = |f − k·f_s| met het dichtstbijzijnde veelvoud van f_s.
Bepaal bij resolutievragen 1 LSB = V_FSR/2ᴺ, of de kleinste N met 2ᴺ ≥ bereik/resolutie.
Tel bij datasnelheden en UART-verbindingen alles wat wordt verzonden: kanalen, samples per seconde, bits of hele bytes per sample, en de start-, pariteits- en stopbits van elk frame.

2Oefenopgaven

1.TalstelselsGemiddeld

Stel de bits zo in dat ze −55 opslaan in 8-bits tweecomplement. Wat is de waarde U van het patroon, gelezen als getal zonder teken?

N = −558 bit

U =

2.TalstelselsMoeilijk

Een systeem moet elk van 4380 items een eigen binaire code van gelijke lengte geven. Wat is het kleinste aantal bits b dat nodig is?

4380

b = bit

3.Digitale logica: poorten, K-kaarten & flip-flopsGemiddeld

Gebruik de Karnaugh-kaart om de minimale product-van-sommenvorm (POS) van F(A, B, C, D) = Σm(0, 1, 5, 8, 9, 11, 14, 15) te vinden. Hoeveel somtermen (factoren) N heeft die?

F(A, B, C, D) = Σm(0, 1, 5, 8, 9, 11, 14, 15)

N =

4.Digitale logica: poorten, K-kaarten & flip-flopsMoeilijk

Een 4-bits binaire oploopteller begint bij 0 (decimaal, Q = 0000). Welke stand Q (decimaal) toont hij na 43 klokpulsen?

Q₀ = 043n = 4

Q =

5.Data-acquisitie en bemonsteringGemiddeld

Een 8-bits ADC met een ingangsbereik van 0 tot 10 V kapt af: zijn uitgangscode is ⌊V_in/LSB⌋ met 1 LSB = V_FSR/2ᴺ. Bepaal de decimale uitgangscode D voor een ingang van 4,307 V.

N = 8V_FSR = 10 VV_in = 4,307 V

D =

6.Data-acquisitie en bemonsteringMoeilijk

Een multiplexer met 6 kanalen voedt één ADC. Elke conversie duurt 5 µs, en na elke kanaalwissel heeft de ingang 0,5 µs nodig om in te stellen. De kanalen worden om de beurt zonder pauze afgetast. Bepaal de bemonsteringsfrequentie f_s van elk kanaal, in kHz.

n = 6t_c = 5 µst_set = 0,5 µs

f_s = kHz

3Oplossingen

1.Talstelsels

Antwoord: U = 201

Bits instellen: elke bit is een macht van twee waard (128, 64, …, 1). Eén hexadecimaal cijfer is precies vier bits, en in 8-bits tweecomplement is de meest linkse bit −128 waard. Bitsgewijze bewerkingen werken op elke bitpositie apart.

Omkeren en één optellen

55 = 0011 0111

omgekeerd: 1100 1000

+1 → 1100 1001

Lezen zonder teken

1100 1001₂ = 256 − 55 = 201

Antwoord

U = 201

2.Talstelsels

Antwoord: b = 13 bit

Positionele talstelsels: elk cijfer is zijn waarde maal een macht van het grondtal waard. Binair zijn de posities 1, 2, 4, 8, 16, … waard, hexadecimaal 1, 16, 256, …, met A–F voor 10–15. In 8-bits two's complement is het meest linkse bit −128 waard in plaats van +128; zo worden negatieve getallen opgeslagen.

Machten van twee

2¹² = 4096 < 4380

2¹³ = 8192 ≥ 4380

Antwoord

b = 13

3.Digitale logica: poorten, K-kaarten & flip-flops

Antwoord: N = 4

Karnaugh-kaarten: de cellen staan in Gray-code (00, 01, 11, 10), dus naburige cellen, ook die over de randen heen, verschillen in precies één variabele. Groepeer de enen in rechthoeken van 1, 2, 4, 8 of 16 cellen, zo groot en zo weinig mogelijk, totdat elke 1 gedekt is. Elke groep is één productterm: de variabelen die erin constant blijven. Een groep van 2ᵏ cellen verliest k variabelen. Don’t-cares (X) mogen worden gebruikt om groepen groter te maken maar hoeven nooit gedekt te worden. Groepeer je in plaats daarvan de nullen, dan krijg je de minimale POS-vorm.

Groepeer de nullen

Elke groep is een rechthoek van 2ᵏ cellen; randcellen zijn buren van de cellen op de tegenoverliggende rand.

(B + C′ + D)

(B′ + C + D)

(A + C′)

(A′ + B′ + C)

Minimale POS-vorm

F = (B + C′ + D)(B′ + C + D)(A + C′)(A′ + B′ + C)

N = 4

Antwoord

N = 4

Er bestaat een andere groepering van dezelfde grootte; die heeft hetzelfde aantal termen en literals.

4.Digitale logica: poorten, K-kaarten & flip-flops

Antwoord: Q = 11

Flip-flops en tellers: een flip-flop verandert alleen op de actieve klokflank. D kopieert zijn ingang (Q⁺ = D); T wisselt als T = 1; JK houdt vast bij 00, reset bij 01, zet bij 10 en wisselt bij 11. Een n-bits binaire teller heeft 2ⁿ toestanden en telt modulo 2ⁿ; een mod-N-teller telt 0, 1, …, N − 1 en dan weer 0, en heeft de kleinste n met 2ⁿ ≥ N flip-flops nodig. Elke trap van een ripple-teller halveert de frequentie, dus de laatste uitgang van een mod-N-teller loopt op f_klok/N. Een Johnson-teller van n flip-flops heeft 2n toestanden, een ringteller n.

Volledige cycli

Elke 16 pulsen brengen de teller terug in dezelfde toestand.

43 = 2·16 + 11

Stand na de resterende pulsen

Q = (0 + 11) mod 16 = 11

Q = 1011₂

Antwoord

Q = 11

5.Data-acquisitie en bemonstering

Antwoord: D = 110

ADC-resolutie: een N-bits omzetter verdeelt zijn volle-schaalbereik V_FSR in 2ᴺ codes, van 0 tot 2ᴺ − 1. Eén stap is 1 LSB = V_FSR/2ᴺ: de kleinste verandering die de omzetter kan tonen. Een afkappende ADC geeft de code ⌊V_in/LSB⌋; een afrondende ADC zit nooit meer dan ½ LSB van de ware waarde af, zijn kwantisatiefout. Elke extra bit halveert de LSB en voegt ongeveer 6 dB toe aan de ideale signaal-kwantisatieruisverhouding SQNR = 6,02·N + 1,76 dB voor een sinus met volle uitsturing. Om een resolutie r over een bereik te halen, kies je de kleinste N met 2ᴺ ≥ bereik/r.

Stapgrootte

1 LSB = 10/2⁸ = 39,06 mV

Code

V_in/LSB = 4307/39,06 = 110,3

code = ⌊110,3⌋ = 110

Antwoord

D = 110

In binair is dat 01101110.

6.Data-acquisitie en bemonstering

Antwoord: f_s = 30,3 kHz

Datasnelheden: elk kanaal levert f_s samples per seconde van N bits, dus de ruwe snelheid is kanalen × f_s × N bit/s. In het geheugen neemt een sample hele bytes in beslag (een sample van 12 bits wordt in 2 bytes opgeslagen), dus het geheugen voor een opname is kanalen × f_s × bytes per sample × tijd. Een gemultiplexte ADC zet de kanalen na elkaar om: elke conversie (inclusief insteltijd) duurt t, dus een ronde van n kanalen duurt n·t en elk kanaal wordt bemonsterd met 1/(n·t).

Tijd per kanaal

5 + 0,5 = 5,5 µs

Tijd per scan

6·5,5 = 33 µs

Bemonsteringsfrequentie per kanaal

f_s = 1/33 µs = 30,3 kHz

Antwoord

f_s = 30,3 kHz

ExamProblems · examproblems.com/courses/digital-electronics