Talstelsels
- Plaatswaarden
- binair 2k, octaal 8k, hex 16k
- Naar decimaal
- Σ dk·bk
- Vanuit decimaal
- deel door het grondtal en lees de resten van onder naar boven
- Hex ↔ binair
- één hexcijfer = 4 bits
- Two's complement
- inverteer de bits en tel 1 op
Digitale elektronica: samenvattingspakket
Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 6 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.
1Formules en methoden
Digitale logica: poorten, K-kaarten & flip-flops
- Basispoorten
- A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
- Booleaanse regels
- X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
- De Morgan
- (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
- Volgorde van de Karnaugh-kaart
- 00, 01, 11, 10 (Gray code)
- Groep van 2ᵏ cellen
- verliest k variabelen
- 4-naar-1-multiplexer
- F = A′B′I0 + A′BI1 + AB′I2 + ABI3
- Flip-flops
- D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
- Tellers
- n-bits: 2ⁿ toestanden; mod-N: kleinste n met 2ⁿ ≥ N; fuit = fklok/N
- Ripple-teller
- fmax = 1/(n·tpd)
- Ring- en Johnson-tellers
- n en 2n toestanden
Methode
- Werk bij een schakeling van de ingangen naar de uitgang, één poort tegelijk, en schrijf de waarde op elke draad, of schrijf de uitdrukking op en vul de waarheidstabel in.
- Zet voor vereenvoudiging de enen (en de don’t-cares als X) in een Karnaugh-kaart met rijen en kolommen in Gray-code: 00, 01, 11, 10.
- Dek de enen met zo weinig en zo grote groepen van 1, 2, 4, 8 of 16 cellen als mogelijk, met terugloop om de randen; elke groep is één productterm van de variabelen die constant blijven. Groepeer de nullen voor de POS-vorm.
- Lees bij flip-flops en tellers de ingangen af op elke actieve klokflank, schrijf de toestand na elke flank op, en onthoud dat een n-bits teller na 2ⁿ toestanden terugloopt.
Data-acquisitie en bemonstering
- Nyquistcriterium
- fs > 2·fmax, fN = fs/2
- Aliasfrequentie
- fa = |f − k·fs|, k = round(f/fs)
- Stapgrootte
- 1 LSB = VFSR/2ᴺ
- Kwantisatiefout (afronding)
- ±½ LSB
- Afkappende ADC-code
- D = ⌊Vin/LSB⌋
- Bits voor een resolutie r
- 2ᴺ ≥ span/r
- Ideale SQNR, volle-schaal sinus
- SQNR = 6,02·N + 1,76 dB
- Datasnelheid
- kanalen × fs × N bit/s
- Gemultiplexte ADC
- fs = 1/(n·(tc + tset))
- UART
- Tb = 1/baud; 8N1 = 10 bits per byte; bytes/s = baud/bits per frame
- Baudrate-deler
- baud = fclk/(16·D)
Methode
- Schrijf op wat gegeven is: bemonsteringsfrequentie, signaalfrequenties, aantal bits, ingangsbereik, baudrate.
- Vergelijk bij bemonsteringsvragen elke frequentie met fs/2; een hogere frequentie verschijnt bij fa = |f − k·fs| met het dichtstbijzijnde veelvoud van fs.
- Bepaal bij resolutievragen 1 LSB = VFSR/2ᴺ, of de kleinste N met 2ᴺ ≥ bereik/resolutie.
- Tel bij datasnelheden en UART-verbindingen alles wat wordt verzonden: kanalen, samples per seconde, bits of hele bytes per sample, en de start-, pariteits- en stopbits van elk frame.
2Oefenopgaven
1.TalstelselsGemiddeld
Stel de bits zo in dat ze −79 opslaan in 8-bits tweecomplement. Wat is de waarde U van het patroon, gelezen als getal zonder teken?
N = −798 bit
U =
2.TalstelselsMoeilijk
Stel de bits in op het 8-bits resultaat van 1010 1100 << 1. Wat is de waarde R van het resultaat in decimaal?
1010 1100<< 1
R =
3.Digitale logica: poorten, K-kaarten & flip-flopsGemiddeld
Vereenvoudig F = A′B′C + ABC + A′BC′ + A′C′ tot zijn minimale som-van-productenvorm. Hoeveel literals L bevat de vereenvoudigde uitdrukking?
F = A′B′C + ABC + A′BC′ + A′C′
L =
4.Digitale logica: poorten, K-kaarten & flip-flopsMoeilijk
Een 4-bits Johnson-teller Q₃Q₂Q₁Q₀ begint bij 0000. Bij elke klokflank schuiven de bits één plaats naar rechts (Q₃ → Q₂ → Q₁ → Q₀) en krijgt Q₃ de inverse van Q₀. Geef de toestand Q = Q₃Q₂Q₁Q₀ als decimaal getal na 5 klokflanken.
Q₃Q₂Q₁Q₀ = 00005
Q =
5.Data-acquisitie en bemonsteringGemiddeld
Een sinus van 16 kHz wordt zonder anti-aliasingfilter bemonsterd met 10 kHz. Bij welke frequentie fa verschijnt hij in de samples? Geef het antwoord in kHz.
f = 16 kHzfs = 10 kHz
fa = kHz
6.Data-acquisitie en bemonsteringMoeilijk
Een blokgolf van 300 Hz wordt zonder anti-aliasingfilter bemonsterd met 2 kHz. Een blokgolf bevat de oneven harmonischen 3f₁, 5f₁, 7f₁, … Bij welke frequentie fa verschijnt zijn harmonische 7f₁ in de bemonsterde data? Geef het antwoord in Hz.
f₁ = 300 Hzfs = 2 kHzharmonische: 7f₁
fa = Hz
3Oplossingen
1.Talstelsels
Antwoord: U = 177
Bits instellen: elke bit is een macht van twee waard (128, 64, …, 1). Eén hexadecimaal cijfer is precies vier bits, en in 8-bits tweecomplement is de meest linkse bit −128 waard. Bitsgewijze bewerkingen werken op elke bitpositie apart.
Omkeren en één optellen
79 = 0100 1111
omgekeerd: 1011 0000
+1 → 1011 0001
Lezen zonder teken
1011 0001₂ = 256 − 79 = 177
Antwoord
U = 177
2.Talstelsels
Antwoord: R = 88
Bits instellen: elke bit is een macht van twee waard (128, 64, …, 1). Eén hexadecimaal cijfer is precies vier bits, en in 8-bits tweecomplement is de meest linkse bit −128 waard. Bitsgewijze bewerkingen werken op elke bitpositie apart.
Bit voor bit
Naar links schuiven met 1 verplaatst elke bit 1 plaatsen naar links; bits die links uit beeld vallen gaan verloren en rechts komen nullen binnen.
1010 1100 << 1
= 0101 1000
Waarde van het resultaat
0101 1000₂ = 88
Antwoord
R = 88
3.Digitale logica: poorten, K-kaarten & flip-flops
Antwoord: L = 7
Booleaanse algebra: de regels die uitdrukkingen vereenvoudigen zijn X + X′ = 1 en X·X′ = 0, X + X = X, absorptie X + X·Y = X, de samenvoegregel X·Y + X·Y′ = X, X + X′Y = X + Y en de consensusstelling XY + X′Z + YZ = XY + X′Z. De wetten van De Morgan veranderen (X·Y)′ in X′ + Y′ en (X + Y)′ in X′·Y′. Een Karnaugh-kaart past deze regels grafisch toe: elke groep van twee naburige cellen is één toepassing van XY + XY′ = X.
Mintermen van de uitdrukking
A′B′C → m(1)
ABC → m(7)
A′BC′ → m(2)
A′C′ → m(0, 2)
Groepeer en lees af
F = A′C′ + A′B′ + ABC
Tel de literals
L = 7
Antwoord
L = 7
4.Digitale logica: poorten, K-kaarten & flip-flops
Antwoord: Q = 7
Flip-flops en tellers: een flip-flop verandert alleen op de actieve klokflank. D kopieert zijn ingang (Q⁺ = D); T wisselt als T = 1; JK houdt vast bij 00, reset bij 01, zet bij 10 en wisselt bij 11. Een n-bits binaire teller heeft 2ⁿ toestanden en telt modulo 2ⁿ; een mod-N-teller telt 0, 1, …, N − 1 en dan weer 0, en heeft de kleinste n met 2ⁿ ≥ N flip-flops nodig. Elke trap van een ripple-teller halveert de frequentie, dus de laatste uitgang van een mod-N-teller loopt op fklok/N. Een Johnson-teller van n flip-flops heeft 2n toestanden, een ringteller n.
Toestand na elke flank
0000 → 1000 → 1100 → 1110 → 1111 → 0111
Decimale waarde
0111₂ = 7
Antwoord
Q = 7
5.Data-acquisitie en bemonstering
Antwoord: fa = 4 kHz
Bemonstering: een ADC meet het signaal fs keer per seconde. Volgens het Nyquist–Shannon-theorema wordt een frequentie f alleen correct vastgelegd zolang f < fs/2, de Nyquistfrequentie (vouwfrequentie), dus de bemonsteringsfrequentie moet groter zijn dan twee keer de hoogste signaalfrequentie. Een hogere frequentie gaat niet verloren: ze verschijnt als alias bij fa = |f − k·fs|, met het hele getal k dat het resultaat tussen 0 en fs/2 brengt. De samples kunnen de twee niet uit elkaar houden, dus een analoog anti-aliasingfilter moet alles boven fs/2 verwijderen vóór de ADC.
Nyquistfrequentie
fs/2 = 5 kHz < f = 16 kHz
Dichtstbijzijnde veelvoud van de bemonsteringsfrequentie
k = round(16/10) = 2
Aliasfrequentie
fa = |16 − 2·10| = 4 kHz
Antwoord
fa = 4 kHz
De gestippelde kromme in de figuur is de alias: ze loopt door precies dezelfde samples.
6.Data-acquisitie en bemonstering
Antwoord: fa = 100 Hz
Bemonstering: een ADC meet het signaal fs keer per seconde. Volgens het Nyquist–Shannon-theorema wordt een frequentie f alleen correct vastgelegd zolang f < fs/2, de Nyquistfrequentie (vouwfrequentie), dus de bemonsteringsfrequentie moet groter zijn dan twee keer de hoogste signaalfrequentie. Een hogere frequentie gaat niet verloren: ze verschijnt als alias bij fa = |f − k·fs|, met het hele getal k dat het resultaat tussen 0 en fs/2 brengt. De samples kunnen de twee niet uit elkaar houden, dus een analoog anti-aliasingfilter moet alles boven fs/2 verwijderen vóór de ADC.
Frequentie van de harmonische
7f₁ = 7·300 Hz = 2,1 kHz
Dichtstbijzijnde veelvoud van de bemonsteringsfrequentie
m = round(1,05) = 1
Aliasfrequentie
fa = |2100 − 1·2000| = 100 Hz
Antwoord
fa = 100 Hz
De alias komt binnen de signaalband terecht, waar geen digitaal filter hem kan verwijderen. Alleen een analoog filter vóór de ADC helpt.
ExamProblems · examproblems.com/courses/digital-electronics