Digitale elektronica: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 6 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgavenTerug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Talstelsels

Plaatswaarden
binair 2k, octaal 8k, hex 16k
Naar decimaal
Σ dk·bk
Vanuit decimaal
deel door het grondtal en lees de resten van onder naar boven
Hex ↔ binair
één hexcijfer = 4 bits
Two's complement
inverteer de bits en tel 1 op

Digitale logica: poorten, K-kaarten & flip-flops

Basispoorten
A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
Booleaanse regels
X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
De Morgan
(X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
Volgorde van de Karnaugh-kaart
00, 01, 11, 10 (Gray code)
Groep van 2ᵏ cellen
verliest k variabelen
4-naar-1-multiplexer
F = A′B′I0 + A′BI1 + AB′I2 + ABI3
Flip-flops
D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
Tellers
n-bits: 2ⁿ toestanden; mod-N: kleinste n met 2ⁿ ≥ N; fuit = fklok/N
Ripple-teller
fmax = 1/(n·tpd)
Ring- en Johnson-tellers
n en 2n toestanden

Methode

  1. Werk bij een schakeling van de ingangen naar de uitgang, één poort tegelijk, en schrijf de waarde op elke draad, of schrijf de uitdrukking op en vul de waarheidstabel in.
  2. Zet voor vereenvoudiging de enen (en de don’t-cares als X) in een Karnaugh-kaart met rijen en kolommen in Gray-code: 00, 01, 11, 10.
  3. Dek de enen met zo weinig en zo grote groepen van 1, 2, 4, 8 of 16 cellen als mogelijk, met terugloop om de randen; elke groep is één productterm van de variabelen die constant blijven. Groepeer de nullen voor de POS-vorm.
  4. Lees bij flip-flops en tellers de ingangen af op elke actieve klokflank, schrijf de toestand na elke flank op, en onthoud dat een n-bits teller na 2ⁿ toestanden terugloopt.

Data-acquisitie en bemonstering

Nyquistcriterium
fs > 2·fmax, fN = fs/2
Aliasfrequentie
fa = |f − k·fs|, k = round(f/fs)
Stapgrootte
1 LSB = VFSR/2ᴺ
Kwantisatiefout (afronding)
±½ LSB
Afkappende ADC-code
D = ⌊Vin/LSB⌋
Bits voor een resolutie r
2ᴺ ≥ span/r
Ideale SQNR, volle-schaal sinus
SQNR = 6,02·N + 1,76 dB
Datasnelheid
kanalen × fs × N bit/s
Gemultiplexte ADC
fs = 1/(n·(tc + tset))
UART
Tb = 1/baud; 8N1 = 10 bits per byte; bytes/s = baud/bits per frame
Baudrate-deler
baud = fclk/(16·D)

Methode

  1. Schrijf op wat gegeven is: bemonsteringsfrequentie, signaalfrequenties, aantal bits, ingangsbereik, baudrate.
  2. Vergelijk bij bemonsteringsvragen elke frequentie met fs/2; een hogere frequentie verschijnt bij fa = |f − k·fs| met het dichtstbijzijnde veelvoud van fs.
  3. Bepaal bij resolutievragen 1 LSB = VFSR/2ᴺ, of de kleinste N met 2ᴺ ≥ bereik/resolutie.
  4. Tel bij datasnelheden en UART-verbindingen alles wat wordt verzonden: kanalen, samples per seconde, bits of hele bytes per sample, en de start-, pariteits- en stopbits van elk frame.

2Oefenopgaven

1.TalstelselsGemiddeld
8-bits two's complement0−12806403201608040201

Stel de bits zo in dat ze −119 opslaan in 8-bits tweecomplement. Wat is de waarde U van het patroon, gelezen als getal zonder teken?

N = −1198 bit
U =
2.TalstelselsMoeilijk
16-bits tweecomplement, N = ??teken???????????????

Wat is het meest negatieve gehele getal N dat in 16-bits two's complement past?

16 bit
N =
3.Digitale logica: poorten, K-kaarten & flip-flopsGemiddeld
ABCD00011110000111101111111

In deze Karnaugh-kaart heeft precies één 1 geen naburige 1, dus hij blijft een groep van één cel (een volledige minterm van vier literals) in de minimale SOP-vorm. Buren over de randen van de kaart tellen mee. Klik op die cel.

F = Σm(4, 6, 7, 8, 11, 13, 15)
  1. 1AB = 00, CD = 00
  2. 2AB = 00, CD = 01
  3. 3AB = 00, CD = 11
  4. 4AB = 00, CD = 10
  5. 5AB = 01, CD = 00
  6. 6AB = 01, CD = 01
  7. 7AB = 01, CD = 11
  8. 8AB = 01, CD = 10
  9. 9AB = 11, CD = 00
  10. 10AB = 11, CD = 01
  11. 11AB = 11, CD = 11
  12. 12AB = 11, CD = 10
  13. 13AB = 10, CD = 00
  14. 14AB = 10, CD = 01
  15. 15AB = 10, CD = 11
  16. 16AB = 10, CD = 10
4.Digitale logica: poorten, K-kaarten & flip-flopsMoeilijk
ABCD000111100001111000X11312040517X6X120131150140819011110

Bepaal de minimale SOP-vorm van F(A, B, C, D) = Σm(2, 3, 7, 9, 10, 15) + d(1, 6, 12), waarbij d de don’t-care-condities aangeeft. Hoeveel productermen N heeft die?

F(A, B, C, D) = Σm(2, 3, 7, 9, 10, 15) + d(1, 6, 12)
N =
5.Data-acquisitie en bemonsteringGemiddeld
124⋮4 ch∿01N = 241 kHz? MB

Een recorder bemonstert 4 kanalen met elk 1 kHz en een 24-bits ADC. Elke sample wordt in hele bytes opgeslagen. Bepaal het geheugen M dat nodig is voor een opname van 60 min, in MB (1 MB = 10⁶ bytes).

n = 4fs = 1 kHzN = 24t = 60 min
M = MB
6.Data-acquisitie en bemonsteringMoeilijk
T10 mV/°C×1∿01N = 10, 5 V? °C/LSB

Een temperatuursensor geeft 10 mV/°C (0 V bij 0 °C). Zijn signaal wordt 1 keer versterkt en naar een 10-bits ADC met een bereik van 0 tot 5 V gevoerd (1 LSB = VFSR/2ᴺ). Bepaal de temperatuurverandering ΔTLSB die overeenkomt met één LSB.

S = 10 mV/°CG = 1N = 10VFSR = 5 V
ΔTLSB = °C

3Oplossingen

1.Talstelsels

Antwoord: U = 137

Bits instellen: elke bit is een macht van twee waard (128, 64, …, 1). Eén hexadecimaal cijfer is precies vier bits, en in 8-bits tweecomplement is de meest linkse bit −128 waard. Bitsgewijze bewerkingen werken op elke bitpositie apart.

Omkeren en één optellen

119 = 0111 0111
omgekeerd: 1000 1000
+1 → 1000 1001

Lezen zonder teken

1000 1001₂ = 256 − 119 = 137

Antwoord

U = 137
2.Talstelsels

Antwoord: N = −32768

Positionele talstelsels: elk cijfer is zijn waarde maal een macht van het grondtal waard. Binair zijn de posities 1, 2, 4, 8, 16, … waard, hexadecimaal 1, 16, 256, …, met A–F voor 10–15. In 8-bits two's complement is het meest linkse bit −128 waard in plaats van +128; zo worden negatieve getallen opgeslagen.

Meest negatieve waarde

−215 = −32768

Antwoord

N = −32768
3.Digitale logica: poorten, K-kaarten & flip-flops

Antwoord: AB = 10, CD = 00

Karnaugh-kaarten: de cellen staan in Gray-code (00, 01, 11, 10), dus naburige cellen, ook die over de randen heen, verschillen in precies één variabele. Groepeer de enen in rechthoeken van 1, 2, 4, 8 of 16 cellen, zo groot en zo weinig mogelijk, totdat elke 1 gedekt is. Elke groep is één productterm: de variabelen die erin constant blijven. Een groep van 2ᵏ cellen verliest k variabelen. Don’t-cares (X) mogen worden gebruikt om groepen groter te maken maar hoeven nooit gedekt te worden. Groepeer je in plaats daarvan de nullen, dan krijg je de minimale POS-vorm.

Buren van elke 1

Een 1 met een naburige 1 kan deel uitmaken van een groep van twee of meer.

m8: m9, m10, m12, m0 → 0
ABCD00011110000111101111111

De geïsoleerde 1

m8 = AB′C′D′ → AB = 10, CD = 00

Antwoord

AB = 10, CD = 00
4.Digitale logica: poorten, K-kaarten & flip-flops

Antwoord: N = 4

Karnaugh-kaarten: de cellen staan in Gray-code (00, 01, 11, 10), dus naburige cellen, ook die over de randen heen, verschillen in precies één variabele. Groepeer de enen in rechthoeken van 1, 2, 4, 8 of 16 cellen, zo groot en zo weinig mogelijk, totdat elke 1 gedekt is. Elke groep is één productterm: de variabelen die erin constant blijven. Een groep van 2ᵏ cellen verliest k variabelen. Don’t-cares (X) mogen worden gebruikt om groepen groter te maken maar hoeven nooit gedekt te worden. Groepeer je in plaats daarvan de nullen, dan krijg je de minimale POS-vorm.

Priemimplicanten

De grootste groepen die uit enen en X’en gevormd kunnen worden.

B′C′D, B′CD′, BCD, A′C, A′B′D
ABCD000111100001111000X11312040517X6X120131150140819011110

Minimale dekking

F = B′C′D + B′CD′ + BCD + A′C
N = 4

Antwoord

N = 4
5.Data-acquisitie en bemonstering

Antwoord: M = 43,2 MB

Datasnelheden: elk kanaal levert fs samples per seconde van N bits, dus de ruwe snelheid is kanalen × fs × N bit/s. In het geheugen neemt een sample hele bytes in beslag (een sample van 12 bits wordt in 2 bytes opgeslagen), dus het geheugen voor een opname is kanalen × fs × bytes per sample × tijd. Een gemultiplexte ADC zet de kanalen na elkaar om: elke conversie (inclusief insteltijd) duurt t, dus een ronde van n kanalen duurt n·t en elk kanaal wordt bemonsterd met 1/(n·t).

Bytes per sample

⌈24/8⌉ = 3 B

Bytesnelheid

4·1000·3 = 12000 B/s

Geheugen

M = 12000·3600 = 4,32 × 10⁷ B = 43,2 MB

Antwoord

M = 43,2 MB
6.Data-acquisitie en bemonstering

Antwoord: ΔTLSB = 0,4883 °C

ADC-resolutie: een N-bits omzetter verdeelt zijn volle-schaalbereik VFSR in 2ᴺ codes, van 0 tot 2ᴺ − 1. Eén stap is 1 LSB = VFSR/2ᴺ: de kleinste verandering die de omzetter kan tonen. Een afkappende ADC geeft de code ⌊Vin/LSB⌋; een afrondende ADC zit nooit meer dan ½ LSB van de ware waarde af, zijn kwantisatiefout. Elke extra bit halveert de LSB en voegt ongeveer 6 dB toe aan de ideale signaal-kwantisatieruisverhouding SQNR = 6,02·N + 1,76 dB voor een sinus met volle uitsturing. Om een resolutie r over een bereik te halen, kies je de kleinste N met 2ᴺ ≥ bereik/r.

Stapgrootte

1 LSB = 5000/1024 = 4,883 mV

Gevoeligheid bij de ADC

10·1 = 10 mV/°C

Temperatuurresolutie

ΔTLSB = 4,883/10 = 0,4883 °C

Antwoord

ΔTLSB = 0,4883 °C

De ADC bereikt volle schaal bij 500 °C.

ExamProblems · examproblems.com/courses/digital-electronics