Digitale elektronica: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 6 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Talstelsels

Plaatswaarden: binair 2^k, octaal 8^k, hex 16^k
Naar decimaal: Σ d_k·b^k
Vanuit decimaal: deel door het grondtal en lees de resten van onder naar boven
Hex ↔ binair: één hexcijfer = 4 bits
Two's complement: inverteer de bits en tel 1 op

Digitale logica: poorten, K-kaarten & flip-flops

Basispoorten: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
Booleaanse regels: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
De Morgan: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
Volgorde van de Karnaugh-kaart: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
Groep van 2ᵏ cellen: verliest k variabelen
4-naar-1-multiplexer: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
Flip-flops: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
Tellers: n-bits: 2ⁿ toestanden; mod-N: kleinste n met 2ⁿ ≥ N; f_uit = f_klok/N
Ripple-teller: f_max = 1/(n·t_pd)
Ring- en Johnson-tellers: n en 2n toestanden

Methode

Werk bij een schakeling van de ingangen naar de uitgang, één poort tegelijk, en schrijf de waarde op elke draad, of schrijf de uitdrukking op en vul de waarheidstabel in.
Zet voor vereenvoudiging de enen (en de don’t-cares als X) in een Karnaugh-kaart met rijen en kolommen in Gray-code: 00, 01, 11, 10.
Dek de enen met zo weinig en zo grote groepen van 1, 2, 4, 8 of 16 cellen als mogelijk, met terugloop om de randen; elke groep is één productterm van de variabelen die constant blijven. Groepeer de nullen voor de POS-vorm.
Lees bij flip-flops en tellers de ingangen af op elke actieve klokflank, schrijf de toestand na elke flank op, en onthoud dat een n-bits teller na 2ⁿ toestanden terugloopt.

Data-acquisitie en bemonstering

Nyquistcriterium: f_s > 2·f_max, f_N = f_s/2
Aliasfrequentie: f_a = |f − k·f_s|, k = round(f/f_s)
Stapgrootte: 1 LSB = V_FSR/2ᴺ
Kwantisatiefout (afronding): ±½ LSB
Afkappende ADC-code: D = ⌊V_in/LSB⌋
Bits voor een resolutie r: 2ᴺ ≥ span/r
Ideale SQNR, volle-schaal sinus: SQNR = 6,02·N + 1,76 dB
Datasnelheid: kanalen × f_s × N bit/s
Gemultiplexte ADC: f_s = 1/(n·(t_c + t_set))
UART: T_b = 1/baud; 8N1 = 10 bits per byte; bytes/s = baud/bits per frame
Baudrate-deler: baud = f_clk/(16·D)

Methode

Schrijf op wat gegeven is: bemonsteringsfrequentie, signaalfrequenties, aantal bits, ingangsbereik, baudrate.
Vergelijk bij bemonsteringsvragen elke frequentie met f_s/2; een hogere frequentie verschijnt bij f_a = |f − k·f_s| met het dichtstbijzijnde veelvoud van f_s.
Bepaal bij resolutievragen 1 LSB = V_FSR/2ᴺ, of de kleinste N met 2ᴺ ≥ bereik/resolutie.
Tel bij datasnelheden en UART-verbindingen alles wat wordt verzonden: kanalen, samples per seconde, bits of hele bytes per sample, en de start-, pariteits- en stopbits van elk frame.

2Oefenopgaven

1.TalstelselsGemiddeld

Het 8-bits patroon 1000 1100 slaat een geheel getal met teken op in two's complement. Wat is de waarde N in decimaal?

1000 11008 bit

N =

2.TalstelselsMoeilijk

Wat is het grootste gehele getal zonder teken N dat in 24 bits past?

24 bit

N =

3.Digitale logica: poorten, K-kaarten & flip-flopsGemiddeld

Gebruik de Karnaugh-kaart om de minimale product-van-sommenvorm (POS) van F(A, B, C, D) = Σm(0, 2, 7, 9, 10, 12, 13) te vinden. Hoeveel somtermen (factoren) N heeft die?

F(A, B, C, D) = Σm(0, 2, 7, 9, 10, 12, 13)

N =

4.Digitale logica: poorten, K-kaarten & flip-flopsMoeilijk

Een T-flip-flop, getriggerd op de stijgende flank, begint met Q = 0 en krijgt bij 6 stijgende klokflanken de getoonde ingangen. Hoe vaak N verandert Q van toestand?

Q₀ = 0T

N =

5.Data-acquisitie en bemonsteringGemiddeld

Een ADC met een ingangsbereik van 0 tot 5 V moet stappen van 1 mV of kleiner kunnen onderscheiden. Bepaal het kleinste aantal bits N.

V_FSR = 5 Vresolutie = 1 mV

N =

6.Data-acquisitie en bemonsteringMoeilijk

Een audiometing vraagt een ideale signaal-kwantisatieruisverhouding van minstens 85 dB voor een sinus met volle uitsturing. Bepaal het kleinste aantal ADC-bits N.

SQNR ≥ 85 dB

N =

3Oplossingen

1.Talstelsels

Antwoord: N = −116

Positionele talstelsels: elk cijfer is zijn waarde maal een macht van het grondtal waard. Binair zijn de posities 1, 2, 4, 8, 16, … waard, hexadecimaal 1, 16, 256, …, met A–F voor 10–15. In 8-bits two's complement is het meest linkse bit −128 waard in plaats van +128; zo worden negatieve getallen opgeslagen.

Plaatswaarden optellen

De andere bits houden hun gewone positieve waarde.

−128 + 8 + 4 = −116

Antwoord

N = −116

2.Talstelsels

Antwoord: N = 1,678 × 10⁷

Grootste waarde

2²⁴ − 1 = 16777215

Antwoord

N = 16777215

3.Digitale logica: poorten, K-kaarten & flip-flops

Antwoord: N = 5

Karnaugh-kaarten: de cellen staan in Gray-code (00, 01, 11, 10), dus naburige cellen, ook die over de randen heen, verschillen in precies één variabele. Groepeer de enen in rechthoeken van 1, 2, 4, 8 of 16 cellen, zo groot en zo weinig mogelijk, totdat elke 1 gedekt is. Elke groep is één productterm: de variabelen die erin constant blijven. Een groep van 2ᵏ cellen verliest k variabelen. Don’t-cares (X) mogen worden gebruikt om groepen groter te maken maar hoeven nooit gedekt te worden. Groepeer je in plaats daarvan de nullen, dan krijg je de minimale POS-vorm.

Groepeer de nullen

Elke groep is een rechthoek van 2ᵏ cellen; randcellen zijn buren van de cellen op de tegenoverliggende rand.

(B′ + C′ + D)

(A′ + C′ + D′)

(A + B + D′)

(A + B′ + C)

(A′ + B + C + D)

Minimale POS-vorm

F = (B′ + C′ + D)(A′ + C′ + D′)(A + B + D′)(A + B′ + C)(A′ + B + C + D)

N = 5

Antwoord

N = 5

Er bestaat een andere groepering van dezelfde grootte; die heeft hetzelfde aantal termen en literals.

4.Digitale logica: poorten, K-kaarten & flip-flops

Antwoord: N = 4

Flip-flops en tellers: een flip-flop verandert alleen op de actieve klokflank. D kopieert zijn ingang (Q⁺ = D); T wisselt als T = 1; JK houdt vast bij 00, reset bij 01, zet bij 10 en wisselt bij 11. Een n-bits binaire teller heeft 2ⁿ toestanden en telt modulo 2ⁿ; een mod-N-teller telt 0, 1, …, N − 1 en dan weer 0, en heeft de kleinste n met 2ⁿ ≥ N flip-flops nodig. Elke trap van een ripple-teller halveert de frequentie, dus de laatste uitgang van een mod-N-teller loopt op f_klok/N. Een Johnson-teller van n flip-flops heeft 2n toestanden, een ringteller n.

Q na elke flank

Een T-flip-flop wisselt bij elke stijgende flank met T = 1 en houdt vast met T = 0.

1: T = 0 → Q = 0

2: T = 1 → Q = 1

3: T = 0 → Q = 1

4: T = 1 → Q = 0

5: T = 1 → Q = 1

6: T = 1 → Q = 0

Tel de veranderingen

0 → 0 → 1 → 1 → 0 → 1 → 0

N = 4

Antwoord

N = 4

5.Data-acquisitie en bemonstering

Antwoord: N = 13

ADC-resolutie: een N-bits omzetter verdeelt zijn volle-schaalbereik V_FSR in 2ᴺ codes, van 0 tot 2ᴺ − 1. Eén stap is 1 LSB = V_FSR/2ᴺ: de kleinste verandering die de omzetter kan tonen. Een afkappende ADC geeft de code ⌊V_in/LSB⌋; een afrondende ADC zit nooit meer dan ½ LSB van de ware waarde af, zijn kwantisatiefout. Elke extra bit halveert de LSB en voegt ongeveer 6 dB toe aan de ideale signaal-kwantisatieruisverhouding SQNR = 6,02·N + 1,76 dB voor een sinus met volle uitsturing. Om een resolutie r over een bereik te halen, kies je de kleinste N met 2ᴺ ≥ bereik/r.

Benodigde stappen

5000 mV/1 mV = 5000

Bits

log₂(5000) = 12,29

2¹² = 4096 < 5000 ≤ 2¹³ = 8192

N = 13

Antwoord

N = 13

6.Data-acquisitie en bemonstering

Antwoord: N = 14

Los op voor N

N ≥ (85 − 1,76)/6,02 = 13,83

Naar boven afronden

N = 14

controle: 6,02·14 + 1,76 = 86,04 dB ≥ 85 dB

Antwoord

N = 14

ExamProblems · examproblems.com/courses/digital-electronics