Digitale elektronica: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 6 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgavenTerug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Talstelsels

Plaatswaarden
binair 2k, octaal 8k, hex 16k
Naar decimaal
Σ dk·bk
Vanuit decimaal
deel door het grondtal en lees de resten van onder naar boven
Hex ↔ binair
één hexcijfer = 4 bits
Two's complement
inverteer de bits en tel 1 op

Digitale logica: poorten, K-kaarten & flip-flops

Basispoorten
A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
Booleaanse regels
X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
De Morgan
(X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
Volgorde van de Karnaugh-kaart
00, 01, 11, 10 (Gray code)
Groep van 2ᵏ cellen
verliest k variabelen
4-naar-1-multiplexer
F = A′B′I0 + A′BI1 + AB′I2 + ABI3
Flip-flops
D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
Tellers
n-bits: 2ⁿ toestanden; mod-N: kleinste n met 2ⁿ ≥ N; fuit = fklok/N
Ripple-teller
fmax = 1/(n·tpd)
Ring- en Johnson-tellers
n en 2n toestanden

Methode

  1. Werk bij een schakeling van de ingangen naar de uitgang, één poort tegelijk, en schrijf de waarde op elke draad, of schrijf de uitdrukking op en vul de waarheidstabel in.
  2. Zet voor vereenvoudiging de enen (en de don’t-cares als X) in een Karnaugh-kaart met rijen en kolommen in Gray-code: 00, 01, 11, 10.
  3. Dek de enen met zo weinig en zo grote groepen van 1, 2, 4, 8 of 16 cellen als mogelijk, met terugloop om de randen; elke groep is één productterm van de variabelen die constant blijven. Groepeer de nullen voor de POS-vorm.
  4. Lees bij flip-flops en tellers de ingangen af op elke actieve klokflank, schrijf de toestand na elke flank op, en onthoud dat een n-bits teller na 2ⁿ toestanden terugloopt.

Data-acquisitie en bemonstering

Nyquistcriterium
fs > 2·fmax, fN = fs/2
Aliasfrequentie
fa = |f − k·fs|, k = round(f/fs)
Stapgrootte
1 LSB = VFSR/2ᴺ
Kwantisatiefout (afronding)
±½ LSB
Afkappende ADC-code
D = ⌊Vin/LSB⌋
Bits voor een resolutie r
2ᴺ ≥ span/r
Ideale SQNR, volle-schaal sinus
SQNR = 6,02·N + 1,76 dB
Datasnelheid
kanalen × fs × N bit/s
Gemultiplexte ADC
fs = 1/(n·(tc + tset))
UART
Tb = 1/baud; 8N1 = 10 bits per byte; bytes/s = baud/bits per frame
Baudrate-deler
baud = fclk/(16·D)

Methode

  1. Schrijf op wat gegeven is: bemonsteringsfrequentie, signaalfrequenties, aantal bits, ingangsbereik, baudrate.
  2. Vergelijk bij bemonsteringsvragen elke frequentie met fs/2; een hogere frequentie verschijnt bij fa = |f − k·fs| met het dichtstbijzijnde veelvoud van fs.
  3. Bepaal bij resolutievragen 1 LSB = VFSR/2ᴺ, of de kleinste N met 2ᴺ ≥ bereik/resolutie.
  4. Tel bij datasnelheden en UART-verbindingen alles wat wordt verzonden: kanalen, samples per seconde, bits of hele bytes per sample, en de start-, pariteits- en stopbits van elk frame.

2Oefenopgaven

1.TalstelselsGemiddeld
8-bits two's complement0−12806403201608040201

Stel de bits zo in dat ze −16 opslaan in 8-bits tweecomplement. Wat is de waarde U van het patroon, gelezen als getal zonder teken?

N = −168 bit
U =
2.TalstelselsMoeilijk
8 bit1 px1280 px720 pxM = ? KiB

Een ongecomprimeerde afbeelding is 1280 × 720 pixels met 8 bits per pixel. Hoeveel geheugen M kost die, in KiB (1 KiB = 1024 bytes)?

1280 × 720 px8 bit/px1 KiB = 1024 B
M = KiB
3.Digitale logica: poorten, K-kaarten & flip-flopsGemiddeld
ABCD000111100001111011111

In deze Karnaugh-kaart heeft precies één 1 geen naburige 1, dus hij blijft een groep van één cel (een volledige minterm van vier literals) in de minimale SOP-vorm. Buren over de randen van de kaart tellen mee. Klik op die cel.

F = Σm(2, 5, 13, 14, 15)
  1. 1AB = 00, CD = 00
  2. 2AB = 00, CD = 01
  3. 3AB = 00, CD = 11
  4. 4AB = 00, CD = 10
  5. 5AB = 01, CD = 00
  6. 6AB = 01, CD = 01
  7. 7AB = 01, CD = 11
  8. 8AB = 01, CD = 10
  9. 9AB = 11, CD = 00
  10. 10AB = 11, CD = 01
  11. 11AB = 11, CD = 11
  12. 12AB = 11, CD = 10
  13. 13AB = 10, CD = 00
  14. 14AB = 10, CD = 01
  15. 15AB = 10, CD = 11
  16. 16AB = 10, CD = 10
4.Digitale logica: poorten, K-kaarten & flip-flopsMoeilijk
CLKJK12345678

Een JK-flip-flop, getriggerd op de stijgende flank, begint met Q = 0 en krijgt de getoonde ingangen. Klik op de eerste klokflank waarop Q van 1 terugkeert naar 0.

Q₀ = 0JK
  1. 1klokflank 1
  2. 2klokflank 2
  3. 3klokflank 3
  4. 4klokflank 4
  5. 5klokflank 5
  6. 6klokflank 6
  7. 7klokflank 7
  8. 8klokflank 8
5.Data-acquisitie en bemonsteringGemiddeld
tTs​ = 1/fs​f = 10,8 kHzfs​ = 8 kHz

Een sinus van 10,8 kHz wordt zonder anti-aliasingfilter bemonsterd met 8 kHz. Bij welke frequentie fa verschijnt hij in de samples? Geef het antwoord in Hz.

f = 10,8 kHzfs = 8 kHz
fa = Hz
6.Data-acquisitie en bemonsteringMoeilijk
SD0​D1​D2​D3​D4​D5​D6​D7​PTb​11·Tb​57600 Bd, 8E1

Een 16-bits ADC stuurt elke sample via een UART met 57600 baud, formaat 8E1 (startbit, 8 databits, even pariteit, 1 stopbit). Elke sample wordt als 2 hele byte(s) verzonden en de verbinding is voortdurend bezet. Bepaal de hoogste signaalfrequentie fmax die zonder aliasing kan worden bemonsterd, in Hz.

baud = 57600 BdN = 168E1
fmax = Hz

3Oplossingen

1.Talstelsels

Antwoord: U = 240

Bits instellen: elke bit is een macht van twee waard (128, 64, …, 1). Eén hexadecimaal cijfer is precies vier bits, en in 8-bits tweecomplement is de meest linkse bit −128 waard. Bitsgewijze bewerkingen werken op elke bitpositie apart.

Omkeren en één optellen

16 = 0001 0000
omgekeerd: 1110 1111
+1 → 1111 0000

Lezen zonder teken

1111 0000₂ = 256 − 16 = 240

Antwoord

U = 240
2.Talstelsels

Antwoord: M = 900 KiB

Positionele talstelsels: elk cijfer is zijn waarde maal een macht van het grondtal waard. Binair zijn de posities 1, 2, 4, 8, 16, … waard, hexadecimaal 1, 16, 256, …, met A–F voor 10–15. In 8-bits two's complement is het meest linkse bit −128 waard in plaats van +128; zo worden negatieve getallen opgeslagen.

Bits en bytes

1280·720·8 = 7372800 bit = 921600 B

Omrekenen naar KiB

921600/1024 = 900 KiB

Antwoord

M = 900 KiB
3.Digitale logica: poorten, K-kaarten & flip-flops

Antwoord: AB = 00, CD = 10

Karnaugh-kaarten: de cellen staan in Gray-code (00, 01, 11, 10), dus naburige cellen, ook die over de randen heen, verschillen in precies één variabele. Groepeer de enen in rechthoeken van 1, 2, 4, 8 of 16 cellen, zo groot en zo weinig mogelijk, totdat elke 1 gedekt is. Elke groep is één productterm: de variabelen die erin constant blijven. Een groep van 2ᵏ cellen verliest k variabelen. Don’t-cares (X) mogen worden gebruikt om groepen groter te maken maar hoeven nooit gedekt te worden. Groepeer je in plaats daarvan de nullen, dan krijg je de minimale POS-vorm.

Buren van elke 1

Een 1 met een naburige 1 kan deel uitmaken van een groep van twee of meer.

m2: m3, m0, m6, m10 → 0
ABCD000111100001111011111

De geïsoleerde 1

m2 = A′B′CD′ → AB = 00, CD = 10

Antwoord

AB = 00, CD = 10
4.Digitale logica: poorten, K-kaarten & flip-flops

Antwoord: klokflank 5

Flip-flops en tellers: een flip-flop verandert alleen op de actieve klokflank. D kopieert zijn ingang (Q⁺ = D); T wisselt als T = 1; JK houdt vast bij 00, reset bij 01, zet bij 10 en wisselt bij 11. Een n-bits binaire teller heeft 2ⁿ toestanden en telt modulo 2ⁿ; een mod-N-teller telt 0, 1, …, N − 1 en dan weer 0, en heeft de kleinste n met 2ⁿ ≥ N flip-flops nodig. Elke trap van een ripple-teller halveert de frequentie, dus de laatste uitgang van een mod-N-teller loopt op fklok/N. Een Johnson-teller van n flip-flops heeft 2n toestanden, een ringteller n.

Q na elke flank

Een JK-flip-flop: 00 houdt vast, 01 reset (Q = 0), 10 zet (Q = 1), 11 wisselt.

1: J = 0, K = 1 → Q = 0
2: J = 1, K = 1 → Q = 1
3: J = 0, K = 0 → Q = 1
4: J = 0, K = 0 → Q = 1
5: J = 1, K = 1 → Q = 0
6: J = 0, K = 1 → Q = 0
7: J = 1, K = 1 → Q = 1
8: J = 1, K = 1 → Q = 0

Eerste verandering van 1 naar 0

klokflank 5

Antwoord

klokflank 5
5.Data-acquisitie en bemonstering

Antwoord: fa = 2800 Hz

Bemonstering: een ADC meet het signaal fs keer per seconde. Volgens het Nyquist–Shannon-theorema wordt een frequentie f alleen correct vastgelegd zolang f < fs/2, de Nyquistfrequentie (vouwfrequentie), dus de bemonsteringsfrequentie moet groter zijn dan twee keer de hoogste signaalfrequentie. Een hogere frequentie gaat niet verloren: ze verschijnt als alias bij fa = |f − k·fs|, met het hele getal k dat het resultaat tussen 0 en fs/2 brengt. De samples kunnen de twee niet uit elkaar houden, dus een analoog anti-aliasingfilter moet alles boven fs/2 verwijderen vóór de ADC.

Nyquistfrequentie

fs/2 = 4 kHz < f = 10,8 kHz

Dichtstbijzijnde veelvoud van de bemonsteringsfrequentie

k = round(10800/8000) = 1

Aliasfrequentie

fa = |10800 − 1·8000| = 2800 Hz

Antwoord

fa = 2800 Hz

De gestippelde kromme in de figuur is de alias: ze loopt door precies dezelfde samples.

6.Data-acquisitie en bemonstering

Antwoord: fmax = 1309 Hz

UART: een asynchrone seriële verbinding verstuurt elke byte als een frame: één startbit (laag), de databits, een optionele pariteitsbit en een of twee stopbits (hoog). De baudrate is het aantal bits per seconde, dus één bit duurt Tb = 1/baud en een frame van n bits duurt n/baud. Het gangbare 8N1-formaat heeft 10 bits per byte. De baudgenerator deelt de klok: baud = fclk/(16·D) met een geheel getal D, dus de werkelijke baudrate wijkt iets af van de gewenste; een fout onder ongeveer 2 % is meestal acceptabel.

Bits per sample op de lijn

2·11 = 22 bit

Hoogste bemonsteringsfrequentie

fs,max = 57600/22 = 2618 Hz

Nyquistgrens

fmax = 2618/2 = 1309 Hz

Antwoord

fmax = 1309 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/digital-electronics