Talstelsels
- Plaatswaarden
- binair 2k, octaal 8k, hex 16k
- Naar decimaal
- Σ dk·bk
- Vanuit decimaal
- deel door het grondtal en lees de resten van onder naar boven
- Hex ↔ binair
- één hexcijfer = 4 bits
- Two's complement
- inverteer de bits en tel 1 op
Digitale elektronica: samenvattingspakket
Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 6 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.
1Formules en methoden
Digitale logica: poorten, K-kaarten & flip-flops
- Basispoorten
- A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
- Booleaanse regels
- X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
- De Morgan
- (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
- Volgorde van de Karnaugh-kaart
- 00, 01, 11, 10 (Gray code)
- Groep van 2ᵏ cellen
- verliest k variabelen
- 4-naar-1-multiplexer
- F = A′B′I0 + A′BI1 + AB′I2 + ABI3
- Flip-flops
- D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
- Tellers
- n-bits: 2ⁿ toestanden; mod-N: kleinste n met 2ⁿ ≥ N; fuit = fklok/N
- Ripple-teller
- fmax = 1/(n·tpd)
- Ring- en Johnson-tellers
- n en 2n toestanden
Methode
- Werk bij een schakeling van de ingangen naar de uitgang, één poort tegelijk, en schrijf de waarde op elke draad, of schrijf de uitdrukking op en vul de waarheidstabel in.
- Zet voor vereenvoudiging de enen (en de don’t-cares als X) in een Karnaugh-kaart met rijen en kolommen in Gray-code: 00, 01, 11, 10.
- Dek de enen met zo weinig en zo grote groepen van 1, 2, 4, 8 of 16 cellen als mogelijk, met terugloop om de randen; elke groep is één productterm van de variabelen die constant blijven. Groepeer de nullen voor de POS-vorm.
- Lees bij flip-flops en tellers de ingangen af op elke actieve klokflank, schrijf de toestand na elke flank op, en onthoud dat een n-bits teller na 2ⁿ toestanden terugloopt.
Data-acquisitie en bemonstering
- Nyquistcriterium
- fs > 2·fmax, fN = fs/2
- Aliasfrequentie
- fa = |f − k·fs|, k = round(f/fs)
- Stapgrootte
- 1 LSB = VFSR/2ᴺ
- Kwantisatiefout (afronding)
- ±½ LSB
- Afkappende ADC-code
- D = ⌊Vin/LSB⌋
- Bits voor een resolutie r
- 2ᴺ ≥ span/r
- Ideale SQNR, volle-schaal sinus
- SQNR = 6,02·N + 1,76 dB
- Datasnelheid
- kanalen × fs × N bit/s
- Gemultiplexte ADC
- fs = 1/(n·(tc + tset))
- UART
- Tb = 1/baud; 8N1 = 10 bits per byte; bytes/s = baud/bits per frame
- Baudrate-deler
- baud = fclk/(16·D)
Methode
- Schrijf op wat gegeven is: bemonsteringsfrequentie, signaalfrequenties, aantal bits, ingangsbereik, baudrate.
- Vergelijk bij bemonsteringsvragen elke frequentie met fs/2; een hogere frequentie verschijnt bij fa = |f − k·fs| met het dichtstbijzijnde veelvoud van fs.
- Bepaal bij resolutievragen 1 LSB = VFSR/2ᴺ, of de kleinste N met 2ᴺ ≥ bereik/resolutie.
- Tel bij datasnelheden en UART-verbindingen alles wat wordt verzonden: kanalen, samples per seconde, bits of hele bytes per sample, en de start-, pariteits- en stopbits van elk frame.
2Oefenopgaven
1.TalstelselsGemiddeld
Stel de bits zo in dat ze −18 opslaan in 8-bits tweecomplement. Wat is de waarde U van het patroon, gelezen als getal zonder teken?
N = −188 bit
U =
2.TalstelselsMoeilijk
Stel de bits in op het 8-bits resultaat van 1000 1100 >> 2. Wat is de waarde R van het resultaat in decimaal?
1000 1100>> 2
R =
3.Digitale logica: poorten, K-kaarten & flip-flopsGemiddeld
In deze Karnaugh-kaart heeft precies één 1 geen naburige 1, dus hij blijft een groep van één cel (een volledige minterm van vier literals) in de minimale SOP-vorm. Buren over de randen van de kaart tellen mee. Klik op die cel.
F = Σm(0, 1, 3, 6, 8, 13, 15)
- 1AB = 00, CD = 00
- 2AB = 00, CD = 01
- 3AB = 00, CD = 11
- 4AB = 00, CD = 10
- 5AB = 01, CD = 00
- 6AB = 01, CD = 01
- 7AB = 01, CD = 11
- 8AB = 01, CD = 10
- 9AB = 11, CD = 00
- 10AB = 11, CD = 01
- 11AB = 11, CD = 11
- 12AB = 11, CD = 10
- 13AB = 10, CD = 00
- 14AB = 10, CD = 01
- 15AB = 10, CD = 11
- 16AB = 10, CD = 10
4.Digitale logica: poorten, K-kaarten & flip-flopsMoeilijk
Een 4-bits schuifregister Q₃Q₂Q₁Q₀ bevat 0000. Bij elke klokflank schuiven de bits één plaats naar rechts (Q₃ → Q₂ → Q₁ → Q₀, Q₀ gaat verloren) en komt de seriële ingang in Q₃. De seriële ingang is 0, 0, 0, 1, 0, 0 bij de 6 flanken. Geef de eindtoestand Q = Q₃Q₂Q₁Q₀ als decimaal getal.
Q₃Q₂Q₁Q₀ = 00000, 0, 0, 1, 0, 0
Q =
5.Data-acquisitie en bemonsteringGemiddeld
Een UART verstuurt bytes met 19200 baud in het formaat 8E2: 8 databits, een even pariteitsbit en 2 stopbit(s), plus de startbit. Bepaal het grootste aantal databytes per seconde dat hij kan overdragen.
baud = 19200 Bd8E2
RB = B/s
6.Data-acquisitie en bemonsteringMoeilijk
Een temperatuursensor geeft 10 mV/°C (0 V bij 0 °C). Zijn signaal wordt 5 keer versterkt en naar een 10-bits ADC met een bereik van 0 tot 10 V gevoerd (1 LSB = VFSR/2ᴺ). Bepaal de temperatuurverandering ΔTLSB die overeenkomt met één LSB.
S = 10 mV/°CG = 5N = 10VFSR = 10 V
ΔTLSB = °C
3Oplossingen
1.Talstelsels
Antwoord: U = 238
Bits instellen: elke bit is een macht van twee waard (128, 64, …, 1). Eén hexadecimaal cijfer is precies vier bits, en in 8-bits tweecomplement is de meest linkse bit −128 waard. Bitsgewijze bewerkingen werken op elke bitpositie apart.
Omkeren en één optellen
18 = 0001 0010
omgekeerd: 1110 1101
+1 → 1110 1110
Lezen zonder teken
1110 1110₂ = 256 − 18 = 238
Antwoord
U = 238
2.Talstelsels
Antwoord: R = 35
Bits instellen: elke bit is een macht van twee waard (128, 64, …, 1). Eén hexadecimaal cijfer is precies vier bits, en in 8-bits tweecomplement is de meest linkse bit −128 waard. Bitsgewijze bewerkingen werken op elke bitpositie apart.
Bit voor bit
Naar rechts schuiven met 2 verplaatst elke bit 2 plaatsen naar rechts; bits die rechts uit beeld vallen gaan verloren en links komen nullen binnen.
1000 1100 >> 2
= 0010 0011
Waarde van het resultaat
0010 0011₂ = 35
Antwoord
R = 35
3.Digitale logica: poorten, K-kaarten & flip-flops
Antwoord: AB = 01, CD = 10
Karnaugh-kaarten: de cellen staan in Gray-code (00, 01, 11, 10), dus naburige cellen, ook die over de randen heen, verschillen in precies één variabele. Groepeer de enen in rechthoeken van 1, 2, 4, 8 of 16 cellen, zo groot en zo weinig mogelijk, totdat elke 1 gedekt is. Elke groep is één productterm: de variabelen die erin constant blijven. Een groep van 2ᵏ cellen verliest k variabelen. Don’t-cares (X) mogen worden gebruikt om groepen groter te maken maar hoeven nooit gedekt te worden. Groepeer je in plaats daarvan de nullen, dan krijg je de minimale POS-vorm.
Buren van elke 1
Een 1 met een naburige 1 kan deel uitmaken van een groep van twee of meer.
m6: m7, m4, m2, m14 → 0
De geïsoleerde 1
m6 = A′BCD′ → AB = 01, CD = 10
Antwoord
AB = 01, CD = 10
4.Digitale logica: poorten, K-kaarten & flip-flops
Antwoord: Q = 2
Flip-flops en tellers: een flip-flop verandert alleen op de actieve klokflank. D kopieert zijn ingang (Q⁺ = D); T wisselt als T = 1; JK houdt vast bij 00, reset bij 01, zet bij 10 en wisselt bij 11. Een n-bits binaire teller heeft 2ⁿ toestanden en telt modulo 2ⁿ; een mod-N-teller telt 0, 1, …, N − 1 en dan weer 0, en heeft de kleinste n met 2ⁿ ≥ N flip-flops nodig. Elke trap van een ripple-teller halveert de frequentie, dus de laatste uitgang van een mod-N-teller loopt op fklok/N. Een Johnson-teller van n flip-flops heeft 2n toestanden, een ringteller n.
Toestand na elke flank
0000 → 0000 → 0000 → 0000 → 1000 → 0100 → 0010
Decimale waarde
0010₂ = 2
Antwoord
Q = 2
5.Data-acquisitie en bemonstering
Antwoord: RB = 1600 B/s
UART: een asynchrone seriële verbinding verstuurt elke byte als een frame: één startbit (laag), de databits, een optionele pariteitsbit en een of twee stopbits (hoog). De baudrate is het aantal bits per seconde, dus één bit duurt Tb = 1/baud en een frame van n bits duurt n/baud. Het gangbare 8N1-formaat heeft 10 bits per byte. De baudgenerator deelt de klok: baud = fclk/(16·D) met een geheel getal D, dus de werkelijke baudrate wijkt iets af van de gewenste; een fout onder ongeveer 2 % is meestal acceptabel.
Bits per frame
1 + 8 + 1 + 2 = 12
Bytesnelheid
19200/12 = 1600 B/s
Antwoord
RB = 1600 B/s
6.Data-acquisitie en bemonstering
Antwoord: ΔTLSB = 0,1953 °C
ADC-resolutie: een N-bits omzetter verdeelt zijn volle-schaalbereik VFSR in 2ᴺ codes, van 0 tot 2ᴺ − 1. Eén stap is 1 LSB = VFSR/2ᴺ: de kleinste verandering die de omzetter kan tonen. Een afkappende ADC geeft de code ⌊Vin/LSB⌋; een afrondende ADC zit nooit meer dan ½ LSB van de ware waarde af, zijn kwantisatiefout. Elke extra bit halveert de LSB en voegt ongeveer 6 dB toe aan de ideale signaal-kwantisatieruisverhouding SQNR = 6,02·N + 1,76 dB voor een sinus met volle uitsturing. Om een resolutie r over een bereik te halen, kies je de kleinste N met 2ᴺ ≥ bereik/r.
Stapgrootte
1 LSB = 10000/1024 = 9,766 mV
Gevoeligheid bij de ADC
10·5 = 50 mV/°C
Temperatuurresolutie
ΔTLSB = 9,766/50 = 0,1953 °C
Antwoord
ΔTLSB = 0,1953 °C
De ADC bereikt volle schaal bij 200 °C.
ExamProblems · examproblems.com/courses/digital-electronics