Digitale elektronica: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 6 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Talstelsels

Plaatswaarden: binair 2^k, octaal 8^k, hex 16^k
Naar decimaal: Σ d_k·b^k
Vanuit decimaal: deel door het grondtal en lees de resten van onder naar boven
Hex ↔ binair: één hexcijfer = 4 bits
Two's complement: inverteer de bits en tel 1 op

Digitale logica: poorten, K-kaarten & flip-flops

Basispoorten: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
Booleaanse regels: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
De Morgan: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
Volgorde van de Karnaugh-kaart: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
Groep van 2ᵏ cellen: verliest k variabelen
4-naar-1-multiplexer: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
Flip-flops: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
Tellers: n-bits: 2ⁿ toestanden; mod-N: kleinste n met 2ⁿ ≥ N; f_uit = f_klok/N
Ripple-teller: f_max = 1/(n·t_pd)
Ring- en Johnson-tellers: n en 2n toestanden

Methode

Werk bij een schakeling van de ingangen naar de uitgang, één poort tegelijk, en schrijf de waarde op elke draad, of schrijf de uitdrukking op en vul de waarheidstabel in.
Zet voor vereenvoudiging de enen (en de don’t-cares als X) in een Karnaugh-kaart met rijen en kolommen in Gray-code: 00, 01, 11, 10.
Dek de enen met zo weinig en zo grote groepen van 1, 2, 4, 8 of 16 cellen als mogelijk, met terugloop om de randen; elke groep is één productterm van de variabelen die constant blijven. Groepeer de nullen voor de POS-vorm.
Lees bij flip-flops en tellers de ingangen af op elke actieve klokflank, schrijf de toestand na elke flank op, en onthoud dat een n-bits teller na 2ⁿ toestanden terugloopt.

Data-acquisitie en bemonstering

Nyquistcriterium: f_s > 2·f_max, f_N = f_s/2
Aliasfrequentie: f_a = |f − k·f_s|, k = round(f/f_s)
Stapgrootte: 1 LSB = V_FSR/2ᴺ
Kwantisatiefout (afronding): ±½ LSB
Afkappende ADC-code: D = ⌊V_in/LSB⌋
Bits voor een resolutie r: 2ᴺ ≥ span/r
Ideale SQNR, volle-schaal sinus: SQNR = 6,02·N + 1,76 dB
Datasnelheid: kanalen × f_s × N bit/s
Gemultiplexte ADC: f_s = 1/(n·(t_c + t_set))
UART: T_b = 1/baud; 8N1 = 10 bits per byte; bytes/s = baud/bits per frame
Baudrate-deler: baud = f_clk/(16·D)

Methode

Schrijf op wat gegeven is: bemonsteringsfrequentie, signaalfrequenties, aantal bits, ingangsbereik, baudrate.
Vergelijk bij bemonsteringsvragen elke frequentie met f_s/2; een hogere frequentie verschijnt bij f_a = |f − k·f_s| met het dichtstbijzijnde veelvoud van f_s.
Bepaal bij resolutievragen 1 LSB = V_FSR/2ᴺ, of de kleinste N met 2ᴺ ≥ bereik/resolutie.
Tel bij datasnelheden en UART-verbindingen alles wat wordt verzonden: kanalen, samples per seconde, bits of hele bytes per sample, en de start-, pariteits- en stopbits van elk frame.

2Oefenopgaven

1.TalstelselsGemiddeld

Stel de bits zo in dat ze −85 opslaan in 8-bits tweecomplement. Wat is de waarde U van het patroon, gelezen als getal zonder teken?

N = −858 bit

U =

2.TalstelselsMoeilijk

Stel de bits in op het 8-bits resultaat van 0101 1000 OR 1000 0000. Wat is de waarde R van het resultaat in decimaal?

0101 1000OR1000 0000

R =

3.Digitale logica: poorten, K-kaarten & flip-flopsGemiddeld

Vereenvoudig F = B′C + ABC + BC′ tot zijn minimale som-van-productenvorm. Hoeveel literals L bevat de vereenvoudigde uitdrukking?

F = B′C + ABC + BC′

L =

4.Digitale logica: poorten, K-kaarten & flip-flopsMoeilijk

Een klok van 100 kHz stuurt een mod-2-teller aan. Bepaal de frequentie f_out van zijn meest significante uitgang, die één cyclus per telcyclus voltooit.

f_clk = 100 kHzN = 2

f_out = kHz

5.Data-acquisitie en bemonsteringGemiddeld

Een sinus van 1,3 kHz wordt zonder anti-aliasingfilter bemonsterd met 1 kHz. Bij welke frequentie f_a verschijnt hij in de samples? Geef het antwoord in Hz.

f = 1,3 kHzf_s = 1 kHz

f_a = Hz

6.Data-acquisitie en bemonsteringMoeilijk

Een temperatuursensor geeft 10 mV/°C (0 V bij 0 °C). Zijn signaal wordt 20 keer versterkt en naar een 8-bits ADC met een bereik van 0 tot 5 V gevoerd (1 LSB = V_FSR/2ᴺ). Bepaal de temperatuurverandering ΔT_LSB die overeenkomt met één LSB.

S = 10 mV/°CG = 20N = 8V_FSR = 5 V

ΔT_LSB = °C

3Oplossingen

1.Talstelsels

Antwoord: U = 171

Bits instellen: elke bit is een macht van twee waard (128, 64, …, 1). Eén hexadecimaal cijfer is precies vier bits, en in 8-bits tweecomplement is de meest linkse bit −128 waard. Bitsgewijze bewerkingen werken op elke bitpositie apart.

Omkeren en één optellen

85 = 0101 0101

omgekeerd: 1010 1010

+1 → 1010 1011

Lezen zonder teken

1010 1011₂ = 256 − 85 = 171

Antwoord

U = 171

2.Talstelsels

Antwoord: R = 216

Bit voor bit

OR geeft 1 waar minstens één bit 1 is.

0101 1000

OR 1000 0000

= 1101 1000

Waarde van het resultaat

1101 1000₂ = 216

Antwoord

R = 216

3.Digitale logica: poorten, K-kaarten & flip-flops

Antwoord: L = 6

Booleaanse algebra: de regels die uitdrukkingen vereenvoudigen zijn X + X′ = 1 en X·X′ = 0, X + X = X, absorptie X + X·Y = X, de samenvoegregel X·Y + X·Y′ = X, X + X′Y = X + Y en de consensusstelling XY + X′Z + YZ = XY + X′Z. De wetten van De Morgan veranderen (X·Y)′ in X′ + Y′ en (X + Y)′ in X′·Y′. Een Karnaugh-kaart past deze regels grafisch toe: elke groep van twee naburige cellen is één toepassing van XY + XY′ = X.

Mintermen van de uitdrukking

B′C → m(1, 5)

ABC → m(7)

BC′ → m(2, 6)

Groepeer en lees af

F = B′C + BC′ + AC

Tel de literals

L = 6

Antwoord

L = 6

Er bestaat een andere groepering van dezelfde grootte; die heeft hetzelfde aantal literals.

4.Digitale logica: poorten, K-kaarten & flip-flops

Antwoord: f_out = 50 kHz

Flip-flops en tellers: een flip-flop verandert alleen op de actieve klokflank. D kopieert zijn ingang (Q⁺ = D); T wisselt als T = 1; JK houdt vast bij 00, reset bij 01, zet bij 10 en wisselt bij 11. Een n-bits binaire teller heeft 2ⁿ toestanden en telt modulo 2ⁿ; een mod-N-teller telt 0, 1, …, N − 1 en dan weer 0, en heeft de kleinste n met 2ⁿ ≥ N flip-flops nodig. Elke trap van een ripple-teller halveert de frequentie, dus de laatste uitgang van een mod-N-teller loopt op f_klok/N. Een Johnson-teller van n flip-flops heeft 2n toestanden, een ringteller n.

Frequentiedeling

f_out = 100 kHz / 2 = 50 kHz

Antwoord

f_out = 50 kHz

5.Data-acquisitie en bemonstering

Antwoord: f_a = 300 Hz

Bemonstering: een ADC meet het signaal f_s keer per seconde. Volgens het Nyquist–Shannon-theorema wordt een frequentie f alleen correct vastgelegd zolang f < f_s/2, de Nyquistfrequentie (vouwfrequentie), dus de bemonsteringsfrequentie moet groter zijn dan twee keer de hoogste signaalfrequentie. Een hogere frequentie gaat niet verloren: ze verschijnt als alias bij f_a = |f − k·f_s|, met het hele getal k dat het resultaat tussen 0 en f_s/2 brengt. De samples kunnen de twee niet uit elkaar houden, dus een analoog anti-aliasingfilter moet alles boven f_s/2 verwijderen vóór de ADC.

Nyquistfrequentie

f_s/2 = 500 Hz < f = 1,3 kHz

Dichtstbijzijnde veelvoud van de bemonsteringsfrequentie

k = round(1300/1000) = 1

Aliasfrequentie

f_a = |1300 − 1·1000| = 300 Hz

Antwoord

f_a = 300 Hz

De gestippelde kromme in de figuur is de alias: ze loopt door precies dezelfde samples.

6.Data-acquisitie en bemonstering

Antwoord: ΔT_LSB = 0,09766 °C

ADC-resolutie: een N-bits omzetter verdeelt zijn volle-schaalbereik V_FSR in 2ᴺ codes, van 0 tot 2ᴺ − 1. Eén stap is 1 LSB = V_FSR/2ᴺ: de kleinste verandering die de omzetter kan tonen. Een afkappende ADC geeft de code ⌊V_in/LSB⌋; een afrondende ADC zit nooit meer dan ½ LSB van de ware waarde af, zijn kwantisatiefout. Elke extra bit halveert de LSB en voegt ongeveer 6 dB toe aan de ideale signaal-kwantisatieruisverhouding SQNR = 6,02·N + 1,76 dB voor een sinus met volle uitsturing. Om een resolutie r over een bereik te halen, kies je de kleinste N met 2ᴺ ≥ bereik/r.

Stapgrootte

1 LSB = 5000/256 = 19,53 mV

Gevoeligheid bij de ADC

10·20 = 200 mV/°C

Temperatuurresolutie

ΔT_LSB = 19,53/200 = 0,09766 °C

Antwoord

ΔT_LSB = 0,09766 °C

De ADC bereikt volle schaal bij 25 °C.

ExamProblems · examproblems.com/courses/digital-electronics