Digitale elektronica: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 6 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgavenTerug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Talstelsels

Plaatswaarden
binair 2k, octaal 8k, hex 16k
Naar decimaal
Σ dk·bk
Vanuit decimaal
deel door het grondtal en lees de resten van onder naar boven
Hex ↔ binair
één hexcijfer = 4 bits
Two's complement
inverteer de bits en tel 1 op

Digitale logica: poorten, K-kaarten & flip-flops

Basispoorten
A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
Booleaanse regels
X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
De Morgan
(X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
Volgorde van de Karnaugh-kaart
00, 01, 11, 10 (Gray code)
Groep van 2ᵏ cellen
verliest k variabelen
4-naar-1-multiplexer
F = A′B′I0 + A′BI1 + AB′I2 + ABI3
Flip-flops
D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
Tellers
n-bits: 2ⁿ toestanden; mod-N: kleinste n met 2ⁿ ≥ N; fuit = fklok/N
Ripple-teller
fmax = 1/(n·tpd)
Ring- en Johnson-tellers
n en 2n toestanden

Methode

  1. Werk bij een schakeling van de ingangen naar de uitgang, één poort tegelijk, en schrijf de waarde op elke draad, of schrijf de uitdrukking op en vul de waarheidstabel in.
  2. Zet voor vereenvoudiging de enen (en de don’t-cares als X) in een Karnaugh-kaart met rijen en kolommen in Gray-code: 00, 01, 11, 10.
  3. Dek de enen met zo weinig en zo grote groepen van 1, 2, 4, 8 of 16 cellen als mogelijk, met terugloop om de randen; elke groep is één productterm van de variabelen die constant blijven. Groepeer de nullen voor de POS-vorm.
  4. Lees bij flip-flops en tellers de ingangen af op elke actieve klokflank, schrijf de toestand na elke flank op, en onthoud dat een n-bits teller na 2ⁿ toestanden terugloopt.

Data-acquisitie en bemonstering

Nyquistcriterium
fs > 2·fmax, fN = fs/2
Aliasfrequentie
fa = |f − k·fs|, k = round(f/fs)
Stapgrootte
1 LSB = VFSR/2ᴺ
Kwantisatiefout (afronding)
±½ LSB
Afkappende ADC-code
D = ⌊Vin/LSB⌋
Bits voor een resolutie r
2ᴺ ≥ span/r
Ideale SQNR, volle-schaal sinus
SQNR = 6,02·N + 1,76 dB
Datasnelheid
kanalen × fs × N bit/s
Gemultiplexte ADC
fs = 1/(n·(tc + tset))
UART
Tb = 1/baud; 8N1 = 10 bits per byte; bytes/s = baud/bits per frame
Baudrate-deler
baud = fclk/(16·D)

Methode

  1. Schrijf op wat gegeven is: bemonsteringsfrequentie, signaalfrequenties, aantal bits, ingangsbereik, baudrate.
  2. Vergelijk bij bemonsteringsvragen elke frequentie met fs/2; een hogere frequentie verschijnt bij fa = |f − k·fs| met het dichtstbijzijnde veelvoud van fs.
  3. Bepaal bij resolutievragen 1 LSB = VFSR/2ᴺ, of de kleinste N met 2ᴺ ≥ bereik/resolutie.
  4. Tel bij datasnelheden en UART-verbindingen alles wat wordt verzonden: kanalen, samples per seconde, bits of hele bytes per sample, en de start-, pariteits- en stopbits van elk frame.

2Oefenopgaven

1.TalstelselsGemiddeld
8-bits two's complement?−128?64?32?16?8?4?2?1

Schrijf −69 als 8-bits patroon in two's complement. Lees het patroon als binair getal zonder teken: wat is de waarde U in decimaal?

N = −698 bit
U =
2.TalstelselsMoeilijk
32-bits tweecomplement, N = ??teken???????????????????????????????

Wat is het meest negatieve gehele getal N dat in 32-bits two's complement past?

32 bit
N =
3.Digitale logica: poorten, K-kaarten & flip-flopsGemiddeld
ABC000111100101324576

Vereenvoudig F = A′B′C + ABC′ + A′B′C′ tot zijn minimale som-van-productenvorm. Hoeveel literals L bevat de vereenvoudigde uitdrukking?

F = A′B′C + ABC′ + A′B′C′
L =
4.Digitale logica: poorten, K-kaarten & flip-flopsMoeilijk
ABCD00011110000111101011031214X507160121130150141819X11X10

Bepaal de minimale SOP-vorm van F(A, B, C, D) = Σm(0, 1, 2, 4, 6, 8, 9, 13) + d(5, 10, 11), waarbij d de don’t-care-condities aangeeft. Hoeveel productermen N heeft die?

F(A, B, C, D) = Σm(0, 1, 2, 4, 6, 8, 9, 13) + d(5, 10, 11)
N =
5.Data-acquisitie en bemonsteringGemiddeld
Vin​N = 82,5 V2ᴺ − 101 LSB1,521 V?

Een 8-bits ADC met een ingangsbereik van 0 tot 2,5 V kapt af: zijn uitgangscode is ⌊Vin/LSB⌋ met 1 LSB = VFSR/2ᴺ. Bepaal de decimale uitgangscode D voor een ingang van 1,521 V.

N = 8VFSR = 2,5 VVin = 1,521 V
D =
6.Data-acquisitie en bemonsteringMoeilijk
SD0​D1​D2​D3​D4​D5​D6​D7​1/fbaud​8 MHz / (16·D)

Een microcontroller met een klok van 8 MHz stelt zijn UART-baudrate in als fclk/(16·D), met D een geheel getal dat op de dichtstbijzijnde waarde is afgerond. De doelwaarde is 57600 baud. Bepaal de procentuele fout van de werkelijke baudrate (positief als hij te snel is).

fclk = 8 MHzdoel = 57600 Bd
e = %

3Oplossingen

1.Talstelsels

Antwoord: U = 187

Positionele talstelsels: elk cijfer is zijn waarde maal een macht van het grondtal waard. Binair zijn de posities 1, 2, 4, 8, 16, … waard, hexadecimaal 1, 16, 256, …, met A–F voor 10–15. In 8-bits two's complement is het meest linkse bit −128 waard in plaats van +128; zo worden negatieve getallen opgeslagen.

Omkeren en één optellen

69 = 0100 0101
omgekeerd: 1011 1010
+1 → 1011 1011

Lezen zonder teken

1011 1011₂ = 256 − 69 = 187

Antwoord

U = 187
2.Talstelsels

Antwoord: N = −2,147 × 10⁹

Positionele talstelsels: elk cijfer is zijn waarde maal een macht van het grondtal waard. Binair zijn de posities 1, 2, 4, 8, 16, … waard, hexadecimaal 1, 16, 256, …, met A–F voor 10–15. In 8-bits two's complement is het meest linkse bit −128 waard in plaats van +128; zo worden negatieve getallen opgeslagen.

Meest negatieve waarde

−231 = −2147483648

Antwoord

N = −2147483648
3.Digitale logica: poorten, K-kaarten & flip-flops

Antwoord: L = 5

Booleaanse algebra: de regels die uitdrukkingen vereenvoudigen zijn X + X′ = 1 en X·X′ = 0, X + X = X, absorptie X + X·Y = X, de samenvoegregel X·Y + X·Y′ = X, X + X′Y = X + Y en de consensusstelling XY + X′Z + YZ = XY + X′Z. De wetten van De Morgan veranderen (X·Y)′ in X′ + Y′ en (X + Y)′ in X′·Y′. Een Karnaugh-kaart past deze regels grafisch toe: elke groep van twee naburige cellen is één toepassing van XY + XY′ = X.

Mintermen van de uitdrukking

A′B′C → m(1)
ABC′ → m(6)
A′B′C′ → m(0)
ABC00011110011011030204050716

Groepeer en lees af

F = A′B′ + ABC′

Tel de literals

L = 5

Antwoord

L = 5
4.Digitale logica: poorten, K-kaarten & flip-flops

Antwoord: N = 3

Karnaugh-kaarten: de cellen staan in Gray-code (00, 01, 11, 10), dus naburige cellen, ook die over de randen heen, verschillen in precies één variabele. Groepeer de enen in rechthoeken van 1, 2, 4, 8 of 16 cellen, zo groot en zo weinig mogelijk, totdat elke 1 gedekt is. Elke groep is één productterm: de variabelen die erin constant blijven. Een groep van 2ᵏ cellen verliest k variabelen. Don’t-cares (X) mogen worden gebruikt om groepen groter te maken maar hoeven nooit gedekt te worden. Groepeer je in plaats daarvan de nullen, dan krijg je de minimale POS-vorm.

Priemimplicanten

De grootste groepen die uit enen en X’en gevormd kunnen worden.

C′D, B′D′, B′C′, A′D′, A′C′, AB′
ABCD00011110000111101011031214X507160121130150141819X11X10

Minimale dekking

F = C′D + B′D′ + A′D′
N = 3

Antwoord

N = 3

Er bestaat een andere groepering van dezelfde grootte; die heeft hetzelfde aantal termen en literals.

5.Data-acquisitie en bemonstering

Antwoord: D = 155

ADC-resolutie: een N-bits omzetter verdeelt zijn volle-schaalbereik VFSR in 2ᴺ codes, van 0 tot 2ᴺ − 1. Eén stap is 1 LSB = VFSR/2ᴺ: de kleinste verandering die de omzetter kan tonen. Een afkappende ADC geeft de code ⌊Vin/LSB⌋; een afrondende ADC zit nooit meer dan ½ LSB van de ware waarde af, zijn kwantisatiefout. Elke extra bit halveert de LSB en voegt ongeveer 6 dB toe aan de ideale signaal-kwantisatieruisverhouding SQNR = 6,02·N + 1,76 dB voor een sinus met volle uitsturing. Om een resolutie r over een bereik te halen, kies je de kleinste N met 2ᴺ ≥ bereik/r.

Stapgrootte

1 LSB = 2,5/28 = 9,766 mV

Code

Vin/LSB = 1521/9,766 = 155,8
code = ⌊155,8⌋ = 155

Antwoord

D = 155

In binair is dat 10011011.

6.Data-acquisitie en bemonstering

Antwoord: e = −3,549 %

UART: een asynchrone seriële verbinding verstuurt elke byte als een frame: één startbit (laag), de databits, een optionele pariteitsbit en een of twee stopbits (hoog). De baudrate is het aantal bits per seconde, dus één bit duurt Tb = 1/baud en een frame van n bits duurt n/baud. Het gangbare 8N1-formaat heeft 10 bits per byte. De baudgenerator deelt de klok: baud = fclk/(16·D) met een geheel getal D, dus de werkelijke baudrate wijkt iets af van de gewenste; een fout onder ongeveer 2 % is meestal acceptabel.

Deler

D = 8·10⁶/(16·57600) = 8,681 → 9

Werkelijke baudrate

8·10⁶/(16·9) = 55556 Bd

Fout

(55556 − 57600)/57600·100 = −3,549 %

Antwoord

e = −3,549 %

Een fout boven ongeveer 2 % maakt de verbinding onbetrouwbaar: kies een andere klok of baudrate.

ExamProblems · examproblems.com/courses/digital-electronics