Digitale elektronica: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 6 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Talstelsels

Plaatswaarden: binair 2^k, octaal 8^k, hex 16^k
Naar decimaal: Σ d_k·b^k
Vanuit decimaal: deel door het grondtal en lees de resten van onder naar boven
Hex ↔ binair: één hexcijfer = 4 bits
Two's complement: inverteer de bits en tel 1 op

Digitale logica: poorten, K-kaarten & flip-flops

Basispoorten: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
Booleaanse regels: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
De Morgan: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
Volgorde van de Karnaugh-kaart: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
Groep van 2ᵏ cellen: verliest k variabelen
4-naar-1-multiplexer: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
Flip-flops: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
Tellers: n-bits: 2ⁿ toestanden; mod-N: kleinste n met 2ⁿ ≥ N; f_uit = f_klok/N
Ripple-teller: f_max = 1/(n·t_pd)
Ring- en Johnson-tellers: n en 2n toestanden

Methode

Werk bij een schakeling van de ingangen naar de uitgang, één poort tegelijk, en schrijf de waarde op elke draad, of schrijf de uitdrukking op en vul de waarheidstabel in.
Zet voor vereenvoudiging de enen (en de don’t-cares als X) in een Karnaugh-kaart met rijen en kolommen in Gray-code: 00, 01, 11, 10.
Dek de enen met zo weinig en zo grote groepen van 1, 2, 4, 8 of 16 cellen als mogelijk, met terugloop om de randen; elke groep is één productterm van de variabelen die constant blijven. Groepeer de nullen voor de POS-vorm.
Lees bij flip-flops en tellers de ingangen af op elke actieve klokflank, schrijf de toestand na elke flank op, en onthoud dat een n-bits teller na 2ⁿ toestanden terugloopt.

Data-acquisitie en bemonstering

Nyquistcriterium: f_s > 2·f_max, f_N = f_s/2
Aliasfrequentie: f_a = |f − k·f_s|, k = round(f/f_s)
Stapgrootte: 1 LSB = V_FSR/2ᴺ
Kwantisatiefout (afronding): ±½ LSB
Afkappende ADC-code: D = ⌊V_in/LSB⌋
Bits voor een resolutie r: 2ᴺ ≥ span/r
Ideale SQNR, volle-schaal sinus: SQNR = 6,02·N + 1,76 dB
Datasnelheid: kanalen × f_s × N bit/s
Gemultiplexte ADC: f_s = 1/(n·(t_c + t_set))
UART: T_b = 1/baud; 8N1 = 10 bits per byte; bytes/s = baud/bits per frame
Baudrate-deler: baud = f_clk/(16·D)

Methode

Schrijf op wat gegeven is: bemonsteringsfrequentie, signaalfrequenties, aantal bits, ingangsbereik, baudrate.
Vergelijk bij bemonsteringsvragen elke frequentie met f_s/2; een hogere frequentie verschijnt bij f_a = |f − k·f_s| met het dichtstbijzijnde veelvoud van f_s.
Bepaal bij resolutievragen 1 LSB = V_FSR/2ᴺ, of de kleinste N met 2ᴺ ≥ bereik/resolutie.
Tel bij datasnelheden en UART-verbindingen alles wat wordt verzonden: kanalen, samples per seconde, bits of hele bytes per sample, en de start-, pariteits- en stopbits van elk frame.

2Oefenopgaven

1.TalstelselsGemiddeld

Het 8-bits patroon 1111 1011 slaat een geheel getal met teken op in two's complement. Wat is de waarde N in decimaal?

1111 10118 bit

N =

2.TalstelselsMoeilijk

Een systeem moet elk van 2641 items een eigen binaire code van gelijke lengte geven. Wat is het kleinste aantal bits b dat nodig is?

2641

b = bit

3.Digitale logica: poorten, K-kaarten & flip-flopsGemiddeld

Gebruik de Karnaugh-kaart om de minimale som-van-productenvorm (SOP) van F(A, B, C) = Σm(1, 3, 4) te vinden. Hoeveel literals L bevat die in totaal (een variabele met accent telt als één literal)?

F(A, B, C) = Σm(1, 3, 4)

L =

4.Digitale logica: poorten, K-kaarten & flip-flopsMoeilijk

Een 4-bits ringteller Q₃Q₂Q₁Q₀ begint bij 1100. Bij elke klokflank schuiven de bits één plaats naar rechts (Q₃ → Q₂ → Q₁ → Q₀) en krijgt Q₃ de waarde van Q₀. Geef de toestand Q = Q₃Q₂Q₁Q₀ als decimaal getal na 6 klokflanken.

Q₃Q₂Q₁Q₀ = 11006

Q =

5.Data-acquisitie en bemonsteringGemiddeld

Een 10-bits ADC met een ingangsbereik van 0 tot 3,3 V kapt af: zijn uitgangscode is ⌊V_in/LSB⌋ met 1 LSB = V_FSR/2ᴺ. Bepaal de decimale uitgangscode D voor een ingang van 1,862 V.

N = 10V_FSR = 3,3 VV_in = 1,862 V

D =

6.Data-acquisitie en bemonsteringMoeilijk

Een 10-bits ADC stuurt elke sample via een UART met 115200 baud, formaat 8E1 (startbit, 8 databits, even pariteit, 1 stopbit). Elke sample wordt als 2 hele byte(s) verzonden en de verbinding is voortdurend bezet. Bepaal de hoogste signaalfrequentie f_max die zonder aliasing kan worden bemonsterd, in Hz.

baud = 115200 BdN = 108E1

f_max = Hz

3Oplossingen

1.Talstelsels

Antwoord: N = −5

Positionele talstelsels: elk cijfer is zijn waarde maal een macht van het grondtal waard. Binair zijn de posities 1, 2, 4, 8, 16, … waard, hexadecimaal 1, 16, 256, …, met A–F voor 10–15. In 8-bits two's complement is het meest linkse bit −128 waard in plaats van +128; zo worden negatieve getallen opgeslagen.

Plaatswaarden optellen

De andere bits houden hun gewone positieve waarde.

−128 + 64 + 32 + 16 + 8 + 2 + 1 = −5

Antwoord

N = −5

2.Talstelsels

Antwoord: b = 12 bit

Machten van twee

2¹¹ = 2048 < 2641

2¹² = 4096 ≥ 2641

Antwoord

b = 12

3.Digitale logica: poorten, K-kaarten & flip-flops

Antwoord: L = 5

Karnaugh-kaarten: de cellen staan in Gray-code (00, 01, 11, 10), dus naburige cellen, ook die over de randen heen, verschillen in precies één variabele. Groepeer de enen in rechthoeken van 1, 2, 4, 8 of 16 cellen, zo groot en zo weinig mogelijk, totdat elke 1 gedekt is. Elke groep is één productterm: de variabelen die erin constant blijven. Een groep van 2ᵏ cellen verliest k variabelen. Don’t-cares (X) mogen worden gebruikt om groepen groter te maken maar hoeven nooit gedekt te worden. Groepeer je in plaats daarvan de nullen, dan krijg je de minimale POS-vorm.

Groepeer de enen

Elke groep is een rechthoek van 2ᵏ cellen; randcellen zijn buren van de cellen op de tegenoverliggende rand.

A′C

AB′C′

Minimale SOP-vorm

F = A′C + AB′C′

L = 5

Antwoord

L = 5

4.Digitale logica: poorten, K-kaarten & flip-flops

Antwoord: Q = 3

Flip-flops en tellers: een flip-flop verandert alleen op de actieve klokflank. D kopieert zijn ingang (Q⁺ = D); T wisselt als T = 1; JK houdt vast bij 00, reset bij 01, zet bij 10 en wisselt bij 11. Een n-bits binaire teller heeft 2ⁿ toestanden en telt modulo 2ⁿ; een mod-N-teller telt 0, 1, …, N − 1 en dan weer 0, en heeft de kleinste n met 2ⁿ ≥ N flip-flops nodig. Elke trap van een ripple-teller halveert de frequentie, dus de laatste uitgang van een mod-N-teller loopt op f_klok/N. Een Johnson-teller van n flip-flops heeft 2n toestanden, een ringteller n.

Toestand na elke flank

1100 → 0110 → 0011 → 1001 → 1100 → 0110 → 0011

Decimale waarde

0011₂ = 3

Antwoord

Q = 3

5.Data-acquisitie en bemonstering

Antwoord: D = 577

ADC-resolutie: een N-bits omzetter verdeelt zijn volle-schaalbereik V_FSR in 2ᴺ codes, van 0 tot 2ᴺ − 1. Eén stap is 1 LSB = V_FSR/2ᴺ: de kleinste verandering die de omzetter kan tonen. Een afkappende ADC geeft de code ⌊V_in/LSB⌋; een afrondende ADC zit nooit meer dan ½ LSB van de ware waarde af, zijn kwantisatiefout. Elke extra bit halveert de LSB en voegt ongeveer 6 dB toe aan de ideale signaal-kwantisatieruisverhouding SQNR = 6,02·N + 1,76 dB voor een sinus met volle uitsturing. Om een resolutie r over een bereik te halen, kies je de kleinste N met 2ᴺ ≥ bereik/r.

Stapgrootte

1 LSB = 3,3/2¹⁰ = 3,223 mV

Code

V_in/LSB = 1862/3,223 = 577,8

code = ⌊577,8⌋ = 577

Antwoord

D = 577

In binair is dat 1001000001.

6.Data-acquisitie en bemonstering

Antwoord: f_max = 2618 Hz

UART: een asynchrone seriële verbinding verstuurt elke byte als een frame: één startbit (laag), de databits, een optionele pariteitsbit en een of twee stopbits (hoog). De baudrate is het aantal bits per seconde, dus één bit duurt T_b = 1/baud en een frame van n bits duurt n/baud. Het gangbare 8N1-formaat heeft 10 bits per byte. De baudgenerator deelt de klok: baud = f_clk/(16·D) met een geheel getal D, dus de werkelijke baudrate wijkt iets af van de gewenste; een fout onder ongeveer 2 % is meestal acceptabel.

Bits per sample op de lijn

2·11 = 22 bit

Hoogste bemonsteringsfrequentie

f_s,max = 115200/22 = 5236 Hz

Nyquistgrens

f_max = 5236/2 = 2618 Hz

Antwoord

f_max = 2618 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/digital-electronics