Talstelsels
- Plaatswaarden
- binair 2k, octaal 8k, hex 16k
- Naar decimaal
- Σ dk·bk
- Vanuit decimaal
- deel door het grondtal en lees de resten van onder naar boven
- Hex ↔ binair
- één hexcijfer = 4 bits
- Two's complement
- inverteer de bits en tel 1 op
Digitale elektronica: samenvattingspakket
Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 6 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.
1Formules en methoden
Digitale logica: poorten, K-kaarten & flip-flops
- Basispoorten
- A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
- Booleaanse regels
- X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
- De Morgan
- (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
- Volgorde van de Karnaugh-kaart
- 00, 01, 11, 10 (Gray code)
- Groep van 2ᵏ cellen
- verliest k variabelen
- 4-naar-1-multiplexer
- F = A′B′I0 + A′BI1 + AB′I2 + ABI3
- Flip-flops
- D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
- Tellers
- n-bits: 2ⁿ toestanden; mod-N: kleinste n met 2ⁿ ≥ N; fuit = fklok/N
- Ripple-teller
- fmax = 1/(n·tpd)
- Ring- en Johnson-tellers
- n en 2n toestanden
Methode
- Werk bij een schakeling van de ingangen naar de uitgang, één poort tegelijk, en schrijf de waarde op elke draad, of schrijf de uitdrukking op en vul de waarheidstabel in.
- Zet voor vereenvoudiging de enen (en de don’t-cares als X) in een Karnaugh-kaart met rijen en kolommen in Gray-code: 00, 01, 11, 10.
- Dek de enen met zo weinig en zo grote groepen van 1, 2, 4, 8 of 16 cellen als mogelijk, met terugloop om de randen; elke groep is één productterm van de variabelen die constant blijven. Groepeer de nullen voor de POS-vorm.
- Lees bij flip-flops en tellers de ingangen af op elke actieve klokflank, schrijf de toestand na elke flank op, en onthoud dat een n-bits teller na 2ⁿ toestanden terugloopt.
Data-acquisitie en bemonstering
- Nyquistcriterium
- fs > 2·fmax, fN = fs/2
- Aliasfrequentie
- fa = |f − k·fs|, k = round(f/fs)
- Stapgrootte
- 1 LSB = VFSR/2ᴺ
- Kwantisatiefout (afronding)
- ±½ LSB
- Afkappende ADC-code
- D = ⌊Vin/LSB⌋
- Bits voor een resolutie r
- 2ᴺ ≥ span/r
- Ideale SQNR, volle-schaal sinus
- SQNR = 6,02·N + 1,76 dB
- Datasnelheid
- kanalen × fs × N bit/s
- Gemultiplexte ADC
- fs = 1/(n·(tc + tset))
- UART
- Tb = 1/baud; 8N1 = 10 bits per byte; bytes/s = baud/bits per frame
- Baudrate-deler
- baud = fclk/(16·D)
Methode
- Schrijf op wat gegeven is: bemonsteringsfrequentie, signaalfrequenties, aantal bits, ingangsbereik, baudrate.
- Vergelijk bij bemonsteringsvragen elke frequentie met fs/2; een hogere frequentie verschijnt bij fa = |f − k·fs| met het dichtstbijzijnde veelvoud van fs.
- Bepaal bij resolutievragen 1 LSB = VFSR/2ᴺ, of de kleinste N met 2ᴺ ≥ bereik/resolutie.
- Tel bij datasnelheden en UART-verbindingen alles wat wordt verzonden: kanalen, samples per seconde, bits of hele bytes per sample, en de start-, pariteits- en stopbits van elk frame.
2Oefenopgaven
1.TalstelselsGemiddeld
Stel de bits zo in dat ze −74 opslaan in 8-bits tweecomplement. Wat is de waarde U van het patroon, gelezen als getal zonder teken?
N = −748 bit
U =
2.TalstelselsMoeilijk
Wat is het meest negatieve gehele getal N dat in 16-bits two's complement past?
16 bit
N =
3.Digitale logica: poorten, K-kaarten & flip-flopsGemiddeld
Vereenvoudig F = AB′C′ + ABC + A′C′ + A′B′ tot zijn minimale som-van-productenvorm. Hoeveel literals L bevat de vereenvoudigde uitdrukking?
F = AB′C′ + ABC + A′C′ + A′B′
L =
4.Digitale logica: poorten, K-kaarten & flip-flopsMoeilijk
Bepaal voor F(A, B, C, D) = Σm(4, 5, 11, 14, 15) + d(7, 12), waarbij d de don’t-care-condities aangeeft, het aantal N essentiële priemimplicanten.
F(A, B, C, D) = Σm(4, 5, 11, 14, 15) + d(7, 12)
N =
5.Data-acquisitie en bemonsteringGemiddeld
Een sinus van 3,2 kHz wordt zonder anti-aliasingfilter bemonsterd met 4 kHz. Bij welke frequentie fa verschijnt hij in de samples? Geef het antwoord in Hz.
f = 3,2 kHzfs = 4 kHz
fa = Hz
6.Data-acquisitie en bemonsteringMoeilijk
Een audiometing vraagt een ideale signaal-kwantisatieruisverhouding van minstens 96 dB voor een sinus met volle uitsturing. Bepaal het kleinste aantal ADC-bits N.
SQNR ≥ 96 dB
N =
3Oplossingen
1.Talstelsels
Antwoord: U = 182
Bits instellen: elke bit is een macht van twee waard (128, 64, …, 1). Eén hexadecimaal cijfer is precies vier bits, en in 8-bits tweecomplement is de meest linkse bit −128 waard. Bitsgewijze bewerkingen werken op elke bitpositie apart.
Omkeren en één optellen
74 = 0100 1010
omgekeerd: 1011 0101
+1 → 1011 0110
Lezen zonder teken
1011 0110₂ = 256 − 74 = 182
Antwoord
U = 182
2.Talstelsels
Antwoord: N = −32768
Positionele talstelsels: elk cijfer is zijn waarde maal een macht van het grondtal waard. Binair zijn de posities 1, 2, 4, 8, 16, … waard, hexadecimaal 1, 16, 256, …, met A–F voor 10–15. In 8-bits two's complement is het meest linkse bit −128 waard in plaats van +128; zo worden negatieve getallen opgeslagen.
Meest negatieve waarde
−215 = −32768
Antwoord
N = −32768
3.Digitale logica: poorten, K-kaarten & flip-flops
Antwoord: L = 9
Booleaanse algebra: de regels die uitdrukkingen vereenvoudigen zijn X + X′ = 1 en X·X′ = 0, X + X = X, absorptie X + X·Y = X, de samenvoegregel X·Y + X·Y′ = X, X + X′Y = X + Y en de consensusstelling XY + X′Z + YZ = XY + X′Z. De wetten van De Morgan veranderen (X·Y)′ in X′ + Y′ en (X + Y)′ in X′·Y′. Een Karnaugh-kaart past deze regels grafisch toe: elke groep van twee naburige cellen is één toepassing van XY + XY′ = X.
Mintermen van de uitdrukking
AB′C′ → m(4)
ABC → m(7)
A′C′ → m(0, 2)
A′B′ → m(0, 1)
Groepeer en lees af
F = B′C′ + A′C′ + A′B′ + ABC
Tel de literals
L = 9
Antwoord
L = 9
4.Digitale logica: poorten, K-kaarten & flip-flops
Antwoord: N = 1
Karnaugh-kaarten: de cellen staan in Gray-code (00, 01, 11, 10), dus naburige cellen, ook die over de randen heen, verschillen in precies één variabele. Groepeer de enen in rechthoeken van 1, 2, 4, 8 of 16 cellen, zo groot en zo weinig mogelijk, totdat elke 1 gedekt is. Elke groep is één productterm: de variabelen die erin constant blijven. Een groep van 2ᵏ cellen verliest k variabelen. Don’t-cares (X) mogen worden gebruikt om groepen groter te maken maar hoeven nooit gedekt te worden. Groepeer je in plaats daarvan de nullen, dan krijg je de minimale POS-vorm.
Priemimplicanten
De grootste groepen die uit enen en X’en gevormd kunnen worden.
BC′D′, BCD, ACD, A′BD, ABD′, A′BC′, ABC
Essentiële priemimplicanten
ACD
N = 1
Antwoord
N = 1
5.Data-acquisitie en bemonstering
Antwoord: fa = 800 Hz
Bemonstering: een ADC meet het signaal fs keer per seconde. Volgens het Nyquist–Shannon-theorema wordt een frequentie f alleen correct vastgelegd zolang f < fs/2, de Nyquistfrequentie (vouwfrequentie), dus de bemonsteringsfrequentie moet groter zijn dan twee keer de hoogste signaalfrequentie. Een hogere frequentie gaat niet verloren: ze verschijnt als alias bij fa = |f − k·fs|, met het hele getal k dat het resultaat tussen 0 en fs/2 brengt. De samples kunnen de twee niet uit elkaar houden, dus een analoog anti-aliasingfilter moet alles boven fs/2 verwijderen vóór de ADC.
Nyquistfrequentie
fs/2 = 2 kHz < f = 3,2 kHz
Dichtstbijzijnde veelvoud van de bemonsteringsfrequentie
k = round(3200/4000) = 1
Aliasfrequentie
fa = |3200 − 1·4000| = 800 Hz
Antwoord
fa = 800 Hz
De gestippelde kromme in de figuur is de alias: ze loopt door precies dezelfde samples.
6.Data-acquisitie en bemonstering
Antwoord: N = 16
ADC-resolutie: een N-bits omzetter verdeelt zijn volle-schaalbereik VFSR in 2ᴺ codes, van 0 tot 2ᴺ − 1. Eén stap is 1 LSB = VFSR/2ᴺ: de kleinste verandering die de omzetter kan tonen. Een afkappende ADC geeft de code ⌊Vin/LSB⌋; een afrondende ADC zit nooit meer dan ½ LSB van de ware waarde af, zijn kwantisatiefout. Elke extra bit halveert de LSB en voegt ongeveer 6 dB toe aan de ideale signaal-kwantisatieruisverhouding SQNR = 6,02·N + 1,76 dB voor een sinus met volle uitsturing. Om een resolutie r over een bereik te halen, kies je de kleinste N met 2ᴺ ≥ bereik/r.
Los op voor N
N ≥ (96 − 1,76)/6,02 = 15,65
Naar boven afronden
N = 16
controle: 6,02·16 + 1,76 = 98,08 dB ≥ 96 dB
Antwoord
N = 16
ExamProblems · examproblems.com/courses/digital-electronics