Talstelsels
- Plaatswaarden
- binair 2k, octaal 8k, hex 16k
- Naar decimaal
- Σ dk·bk
- Vanuit decimaal
- deel door het grondtal en lees de resten van onder naar boven
- Hex ↔ binair
- één hexcijfer = 4 bits
- Two's complement
- inverteer de bits en tel 1 op
Digitale elektronica: samenvattingspakket
Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 6 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.
1Formules en methoden
Digitale logica: poorten, K-kaarten & flip-flops
- Basispoorten
- A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
- Booleaanse regels
- X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
- De Morgan
- (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
- Volgorde van de Karnaugh-kaart
- 00, 01, 11, 10 (Gray code)
- Groep van 2ᵏ cellen
- verliest k variabelen
- 4-naar-1-multiplexer
- F = A′B′I0 + A′BI1 + AB′I2 + ABI3
- Flip-flops
- D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
- Tellers
- n-bits: 2ⁿ toestanden; mod-N: kleinste n met 2ⁿ ≥ N; fuit = fklok/N
- Ripple-teller
- fmax = 1/(n·tpd)
- Ring- en Johnson-tellers
- n en 2n toestanden
Methode
- Werk bij een schakeling van de ingangen naar de uitgang, één poort tegelijk, en schrijf de waarde op elke draad, of schrijf de uitdrukking op en vul de waarheidstabel in.
- Zet voor vereenvoudiging de enen (en de don’t-cares als X) in een Karnaugh-kaart met rijen en kolommen in Gray-code: 00, 01, 11, 10.
- Dek de enen met zo weinig en zo grote groepen van 1, 2, 4, 8 of 16 cellen als mogelijk, met terugloop om de randen; elke groep is één productterm van de variabelen die constant blijven. Groepeer de nullen voor de POS-vorm.
- Lees bij flip-flops en tellers de ingangen af op elke actieve klokflank, schrijf de toestand na elke flank op, en onthoud dat een n-bits teller na 2ⁿ toestanden terugloopt.
Data-acquisitie en bemonstering
- Nyquistcriterium
- fs > 2·fmax, fN = fs/2
- Aliasfrequentie
- fa = |f − k·fs|, k = round(f/fs)
- Stapgrootte
- 1 LSB = VFSR/2ᴺ
- Kwantisatiefout (afronding)
- ±½ LSB
- Afkappende ADC-code
- D = ⌊Vin/LSB⌋
- Bits voor een resolutie r
- 2ᴺ ≥ span/r
- Ideale SQNR, volle-schaal sinus
- SQNR = 6,02·N + 1,76 dB
- Datasnelheid
- kanalen × fs × N bit/s
- Gemultiplexte ADC
- fs = 1/(n·(tc + tset))
- UART
- Tb = 1/baud; 8N1 = 10 bits per byte; bytes/s = baud/bits per frame
- Baudrate-deler
- baud = fclk/(16·D)
Methode
- Schrijf op wat gegeven is: bemonsteringsfrequentie, signaalfrequenties, aantal bits, ingangsbereik, baudrate.
- Vergelijk bij bemonsteringsvragen elke frequentie met fs/2; een hogere frequentie verschijnt bij fa = |f − k·fs| met het dichtstbijzijnde veelvoud van fs.
- Bepaal bij resolutievragen 1 LSB = VFSR/2ᴺ, of de kleinste N met 2ᴺ ≥ bereik/resolutie.
- Tel bij datasnelheden en UART-verbindingen alles wat wordt verzonden: kanalen, samples per seconde, bits of hele bytes per sample, en de start-, pariteits- en stopbits van elk frame.
2Oefenopgaven
1.TalstelselsGemiddeld
Schrijf −31 als 8-bits patroon in two's complement. Lees het patroon als binair getal zonder teken: wat is de waarde U in decimaal?
N = −318 bit
U =
2.TalstelselsMoeilijk
Wat is het meest negatieve gehele getal N dat in 10-bits two's complement past?
10 bit
N =
3.Digitale logica: poorten, K-kaarten & flip-flopsGemiddeld
Vereenvoudig F = AB′C′ + ABC + A′BC tot zijn minimale som-van-productenvorm. Hoeveel literals L bevat de vereenvoudigde uitdrukking?
F = AB′C′ + ABC + A′BC
L =
4.Digitale logica: poorten, K-kaarten & flip-flopsMoeilijk
Bepaal voor F(A, B, C, D) = Σm(1, 3, 7, 8, 13) + d(5, 6, 11, 12, 14), waarbij d de don’t-care-condities aangeeft, het aantal N essentiële priemimplicanten.
F(A, B, C, D) = Σm(1, 3, 7, 8, 13) + d(5, 6, 11, 12, 14)
N =
5.Data-acquisitie en bemonsteringGemiddeld
Een 10-bits ADC met een ingangsbereik van 0 tot 5 V kapt af: zijn uitgangscode is ⌊Vin/LSB⌋ met 1 LSB = VFSR/2ᴺ. Bepaal de decimale uitgangscode D voor een ingang van 2,546 V.
N = 10VFSR = 5 VVin = 2,546 V
D =
6.Data-acquisitie en bemonsteringMoeilijk
Een 24-bits ADC stuurt elke sample via een UART met 19200 baud, formaat 8N1 (startbit, 8 databits, 1 stopbit). Elke sample wordt als 3 hele byte(s) verzonden en de verbinding is voortdurend bezet. Bepaal de hoogste signaalfrequentie fmax die zonder aliasing kan worden bemonsterd, in Hz.
baud = 19200 BdN = 248N1
fmax = Hz
3Oplossingen
1.Talstelsels
Antwoord: U = 225
Positionele talstelsels: elk cijfer is zijn waarde maal een macht van het grondtal waard. Binair zijn de posities 1, 2, 4, 8, 16, … waard, hexadecimaal 1, 16, 256, …, met A–F voor 10–15. In 8-bits two's complement is het meest linkse bit −128 waard in plaats van +128; zo worden negatieve getallen opgeslagen.
Omkeren en één optellen
31 = 0001 1111
omgekeerd: 1110 0000
+1 → 1110 0001
Lezen zonder teken
1110 0001₂ = 256 − 31 = 225
Antwoord
U = 225
2.Talstelsels
Antwoord: N = −512
Positionele talstelsels: elk cijfer is zijn waarde maal een macht van het grondtal waard. Binair zijn de posities 1, 2, 4, 8, 16, … waard, hexadecimaal 1, 16, 256, …, met A–F voor 10–15. In 8-bits two's complement is het meest linkse bit −128 waard in plaats van +128; zo worden negatieve getallen opgeslagen.
Meest negatieve waarde
−29 = −512
Antwoord
N = −512
3.Digitale logica: poorten, K-kaarten & flip-flops
Antwoord: L = 5
Booleaanse algebra: de regels die uitdrukkingen vereenvoudigen zijn X + X′ = 1 en X·X′ = 0, X + X = X, absorptie X + X·Y = X, de samenvoegregel X·Y + X·Y′ = X, X + X′Y = X + Y en de consensusstelling XY + X′Z + YZ = XY + X′Z. De wetten van De Morgan veranderen (X·Y)′ in X′ + Y′ en (X + Y)′ in X′·Y′. Een Karnaugh-kaart past deze regels grafisch toe: elke groep van twee naburige cellen is één toepassing van XY + XY′ = X.
Mintermen van de uitdrukking
AB′C′ → m(4)
ABC → m(7)
A′BC → m(3)
Groepeer en lees af
F = BC + AB′C′
Tel de literals
L = 5
Antwoord
L = 5
4.Digitale logica: poorten, K-kaarten & flip-flops
Antwoord: N = 2
Karnaugh-kaarten: de cellen staan in Gray-code (00, 01, 11, 10), dus naburige cellen, ook die over de randen heen, verschillen in precies één variabele. Groepeer de enen in rechthoeken van 1, 2, 4, 8 of 16 cellen, zo groot en zo weinig mogelijk, totdat elke 1 gedekt is. Elke groep is één productterm: de variabelen die erin constant blijven. Een groep van 2ᵏ cellen verliest k variabelen. Don’t-cares (X) mogen worden gebruikt om groepen groter te maken maar hoeven nooit gedekt te worden. Groepeer je in plaats daarvan de nullen, dan krijg je de minimale POS-vorm.
Priemimplicanten
De grootste groepen die uit enen en X’en gevormd kunnen worden.
B′CD, BC′D, A′D, AC′D′, A′BC, ABC′
Essentiële priemimplicanten
A′D, AC′D′
N = 2
Antwoord
N = 2
5.Data-acquisitie en bemonstering
Antwoord: D = 521
ADC-resolutie: een N-bits omzetter verdeelt zijn volle-schaalbereik VFSR in 2ᴺ codes, van 0 tot 2ᴺ − 1. Eén stap is 1 LSB = VFSR/2ᴺ: de kleinste verandering die de omzetter kan tonen. Een afkappende ADC geeft de code ⌊Vin/LSB⌋; een afrondende ADC zit nooit meer dan ½ LSB van de ware waarde af, zijn kwantisatiefout. Elke extra bit halveert de LSB en voegt ongeveer 6 dB toe aan de ideale signaal-kwantisatieruisverhouding SQNR = 6,02·N + 1,76 dB voor een sinus met volle uitsturing. Om een resolutie r over een bereik te halen, kies je de kleinste N met 2ᴺ ≥ bereik/r.
Stapgrootte
1 LSB = 5/210 = 4,883 mV
Code
Vin/LSB = 2546/4,883 = 521,4
code = ⌊521,4⌋ = 521
Antwoord
D = 521
In binair is dat 1000001001.
6.Data-acquisitie en bemonstering
Antwoord: fmax = 320 Hz
UART: een asynchrone seriële verbinding verstuurt elke byte als een frame: één startbit (laag), de databits, een optionele pariteitsbit en een of twee stopbits (hoog). De baudrate is het aantal bits per seconde, dus één bit duurt Tb = 1/baud en een frame van n bits duurt n/baud. Het gangbare 8N1-formaat heeft 10 bits per byte. De baudgenerator deelt de klok: baud = fclk/(16·D) met een geheel getal D, dus de werkelijke baudrate wijkt iets af van de gewenste; een fout onder ongeveer 2 % is meestal acceptabel.
Bits per sample op de lijn
3·10 = 30 bit
Hoogste bemonsteringsfrequentie
fs,max = 19200/30 = 640 Hz
Nyquistgrens
fmax = 640/2 = 320 Hz
Antwoord
fmax = 320 Hz
ExamProblems · examproblems.com/courses/digital-electronics