Digitale elektronica: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 6 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgavenTerug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Talstelsels

Plaatswaarden
binair 2k, octaal 8k, hex 16k
Naar decimaal
Σ dk·bk
Vanuit decimaal
deel door het grondtal en lees de resten van onder naar boven
Hex ↔ binair
één hexcijfer = 4 bits
Two's complement
inverteer de bits en tel 1 op

Digitale logica: poorten, K-kaarten & flip-flops

Basispoorten
A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
Booleaanse regels
X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
De Morgan
(X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
Volgorde van de Karnaugh-kaart
00, 01, 11, 10 (Gray code)
Groep van 2ᵏ cellen
verliest k variabelen
4-naar-1-multiplexer
F = A′B′I0 + A′BI1 + AB′I2 + ABI3
Flip-flops
D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
Tellers
n-bits: 2ⁿ toestanden; mod-N: kleinste n met 2ⁿ ≥ N; fuit = fklok/N
Ripple-teller
fmax = 1/(n·tpd)
Ring- en Johnson-tellers
n en 2n toestanden

Methode

  1. Werk bij een schakeling van de ingangen naar de uitgang, één poort tegelijk, en schrijf de waarde op elke draad, of schrijf de uitdrukking op en vul de waarheidstabel in.
  2. Zet voor vereenvoudiging de enen (en de don’t-cares als X) in een Karnaugh-kaart met rijen en kolommen in Gray-code: 00, 01, 11, 10.
  3. Dek de enen met zo weinig en zo grote groepen van 1, 2, 4, 8 of 16 cellen als mogelijk, met terugloop om de randen; elke groep is één productterm van de variabelen die constant blijven. Groepeer de nullen voor de POS-vorm.
  4. Lees bij flip-flops en tellers de ingangen af op elke actieve klokflank, schrijf de toestand na elke flank op, en onthoud dat een n-bits teller na 2ⁿ toestanden terugloopt.

Data-acquisitie en bemonstering

Nyquistcriterium
fs > 2·fmax, fN = fs/2
Aliasfrequentie
fa = |f − k·fs|, k = round(f/fs)
Stapgrootte
1 LSB = VFSR/2ᴺ
Kwantisatiefout (afronding)
±½ LSB
Afkappende ADC-code
D = ⌊Vin/LSB⌋
Bits voor een resolutie r
2ᴺ ≥ span/r
Ideale SQNR, volle-schaal sinus
SQNR = 6,02·N + 1,76 dB
Datasnelheid
kanalen × fs × N bit/s
Gemultiplexte ADC
fs = 1/(n·(tc + tset))
UART
Tb = 1/baud; 8N1 = 10 bits per byte; bytes/s = baud/bits per frame
Baudrate-deler
baud = fclk/(16·D)

Methode

  1. Schrijf op wat gegeven is: bemonsteringsfrequentie, signaalfrequenties, aantal bits, ingangsbereik, baudrate.
  2. Vergelijk bij bemonsteringsvragen elke frequentie met fs/2; een hogere frequentie verschijnt bij fa = |f − k·fs| met het dichtstbijzijnde veelvoud van fs.
  3. Bepaal bij resolutievragen 1 LSB = VFSR/2ᴺ, of de kleinste N met 2ᴺ ≥ bereik/resolutie.
  4. Tel bij datasnelheden en UART-verbindingen alles wat wordt verzonden: kanalen, samples per seconde, bits of hele bytes per sample, en de start-, pariteits- en stopbits van elk frame.

2Oefenopgaven

1.TalstelselsGemiddeld
8-bits two's complement0−12806403201608040201

Stel de bits zo in dat ze −2 opslaan in 8-bits tweecomplement. Wat is de waarde U van het patroon, gelezen als getal zonder teken?

N = −28 bit
U =
2.TalstelselsMoeilijk
klik op de bits om ze in te stellen012806403201608040201

Stel de bits in op het 8-bits resultaat van 1010 0001 AND 0110 0111. Wat is de waarde R van het resultaat in decimaal?

1010 0001AND0110 0111
R =
3.Digitale logica: poorten, K-kaarten & flip-flopsGemiddeld
ABCD000111100001111011111

In deze Karnaugh-kaart heeft precies één 1 geen naburige 1, dus hij blijft een groep van één cel (een volledige minterm van vier literals) in de minimale SOP-vorm. Buren over de randen van de kaart tellen mee. Klik op die cel.

F = Σm(4, 10, 12, 13, 15)
  1. 1AB = 00, CD = 00
  2. 2AB = 00, CD = 01
  3. 3AB = 00, CD = 11
  4. 4AB = 00, CD = 10
  5. 5AB = 01, CD = 00
  6. 6AB = 01, CD = 01
  7. 7AB = 01, CD = 11
  8. 8AB = 01, CD = 10
  9. 9AB = 11, CD = 00
  10. 10AB = 11, CD = 01
  11. 11AB = 11, CD = 11
  12. 12AB = 11, CD = 10
  13. 13AB = 10, CD = 00
  14. 14AB = 10, CD = 01
  15. 15AB = 10, CD = 11
  16. 16AB = 10, CD = 10
4.Digitale logica: poorten, K-kaarten & flip-flopsMoeilijk
ABCD0001111000011110X00113X204050716012013015X140809111110

Bepaal de minimale SOP-vorm van F(A, B, C, D) = Σm(3, 6, 10, 11) + d(0, 2, 14), waarbij d de don’t-care-condities aangeeft. Hoeveel literals L bevat die?

F(A, B, C, D) = Σm(3, 6, 10, 11) + d(0, 2, 14)
L =
5.Data-acquisitie en bemonsteringGemiddeld
Vin​N = 123,3 V2ᴺ − 101 LSB1,705 V?

Een 12-bits ADC met een ingangsbereik van 0 tot 3,3 V kapt af: zijn uitgangscode is ⌊Vin/LSB⌋ met 1 LSB = VFSR/2ᴺ. Bepaal de decimale uitgangscode D voor een ingang van 1,705 V.

N = 12VFSR = 3,3 VVin = 1,705 V
D =
6.Data-acquisitie en bemonsteringMoeilijk
f0fs​/2fs​1,5 kHz5f₁?

Een blokgolf van 1,5 kHz wordt zonder anti-aliasingfilter bemonsterd met 10 kHz. Een blokgolf bevat de oneven harmonischen 3f₁, 5f₁, 7f₁, … Bij welke frequentie fa verschijnt zijn harmonische 5f₁ in de bemonsterde data? Geef het antwoord in kHz.

f₁ = 1,5 kHzfs = 10 kHzharmonische: 5f₁
fa = kHz

3Oplossingen

1.Talstelsels

Antwoord: U = 254

Bits instellen: elke bit is een macht van twee waard (128, 64, …, 1). Eén hexadecimaal cijfer is precies vier bits, en in 8-bits tweecomplement is de meest linkse bit −128 waard. Bitsgewijze bewerkingen werken op elke bitpositie apart.

Omkeren en één optellen

2 = 0000 0010
omgekeerd: 1111 1101
+1 → 1111 1110

Lezen zonder teken

1111 1110₂ = 256 − 2 = 254

Antwoord

U = 254
2.Talstelsels

Antwoord: R = 33

Bits instellen: elke bit is een macht van twee waard (128, 64, …, 1). Eén hexadecimaal cijfer is precies vier bits, en in 8-bits tweecomplement is de meest linkse bit −128 waard. Bitsgewijze bewerkingen werken op elke bitpositie apart.

Bit voor bit

AND geeft alleen 1 waar beide bits 1 zijn.

1010 0001
AND 0110 0111
= 0010 0001

Waarde van het resultaat

0010 0001₂ = 33

Antwoord

R = 33
3.Digitale logica: poorten, K-kaarten & flip-flops

Antwoord: AB = 10, CD = 10

Karnaugh-kaarten: de cellen staan in Gray-code (00, 01, 11, 10), dus naburige cellen, ook die over de randen heen, verschillen in precies één variabele. Groepeer de enen in rechthoeken van 1, 2, 4, 8 of 16 cellen, zo groot en zo weinig mogelijk, totdat elke 1 gedekt is. Elke groep is één productterm: de variabelen die erin constant blijven. Een groep van 2ᵏ cellen verliest k variabelen. Don’t-cares (X) mogen worden gebruikt om groepen groter te maken maar hoeven nooit gedekt te worden. Groepeer je in plaats daarvan de nullen, dan krijg je de minimale POS-vorm.

Buren van elke 1

Een 1 met een naburige 1 kan deel uitmaken van een groep van twee of meer.

m10: m11, m8, m14, m2 → 0
ABCD000111100001111011111

De geïsoleerde 1

m10 = AB′CD′ → AB = 10, CD = 10

Antwoord

AB = 10, CD = 10
4.Digitale logica: poorten, K-kaarten & flip-flops

Antwoord: L = 4

Karnaugh-kaarten: de cellen staan in Gray-code (00, 01, 11, 10), dus naburige cellen, ook die over de randen heen, verschillen in precies één variabele. Groepeer de enen in rechthoeken van 1, 2, 4, 8 of 16 cellen, zo groot en zo weinig mogelijk, totdat elke 1 gedekt is. Elke groep is één productterm: de variabelen die erin constant blijven. Een groep van 2ᵏ cellen verliest k variabelen. Don’t-cares (X) mogen worden gebruikt om groepen groter te maken maar hoeven nooit gedekt te worden. Groepeer je in plaats daarvan de nullen, dan krijg je de minimale POS-vorm.

Priemimplicanten

De grootste groepen die uit enen en X’en gevormd kunnen worden.

CD′, B′C
ABCD0001111000011110X00113X204050716012013015X140809111110

Minimale dekking

F = CD′ + B′C
L = 4

Antwoord

L = 4
5.Data-acquisitie en bemonstering

Antwoord: D = 2116

ADC-resolutie: een N-bits omzetter verdeelt zijn volle-schaalbereik VFSR in 2ᴺ codes, van 0 tot 2ᴺ − 1. Eén stap is 1 LSB = VFSR/2ᴺ: de kleinste verandering die de omzetter kan tonen. Een afkappende ADC geeft de code ⌊Vin/LSB⌋; een afrondende ADC zit nooit meer dan ½ LSB van de ware waarde af, zijn kwantisatiefout. Elke extra bit halveert de LSB en voegt ongeveer 6 dB toe aan de ideale signaal-kwantisatieruisverhouding SQNR = 6,02·N + 1,76 dB voor een sinus met volle uitsturing. Om een resolutie r over een bereik te halen, kies je de kleinste N met 2ᴺ ≥ bereik/r.

Stapgrootte

1 LSB = 3,3/212 = 0,8057 mV

Code

Vin/LSB = 1705/0,8057 = 2116
code = ⌊2116⌋ = 2116

Antwoord

D = 2116

In binair is dat 100001000100.

6.Data-acquisitie en bemonstering

Antwoord: fa = 2,5 kHz

Bemonstering: een ADC meet het signaal fs keer per seconde. Volgens het Nyquist–Shannon-theorema wordt een frequentie f alleen correct vastgelegd zolang f < fs/2, de Nyquistfrequentie (vouwfrequentie), dus de bemonsteringsfrequentie moet groter zijn dan twee keer de hoogste signaalfrequentie. Een hogere frequentie gaat niet verloren: ze verschijnt als alias bij fa = |f − k·fs|, met het hele getal k dat het resultaat tussen 0 en fs/2 brengt. De samples kunnen de twee niet uit elkaar houden, dus een analoog anti-aliasingfilter moet alles boven fs/2 verwijderen vóór de ADC.

Frequentie van de harmonische

5f₁ = 5·1,5 kHz = 7,5 kHz

Dichtstbijzijnde veelvoud van de bemonsteringsfrequentie

m = round(0,75) = 1

Aliasfrequentie

fa = |7,5 − 1·10| = 2,5 kHz

Antwoord

fa = 2,5 kHz

De alias komt binnen de signaalband terecht, waar geen digitaal filter hem kan verwijderen. Alleen een analoog filter vóór de ADC helpt.

ExamProblems · examproblems.com/courses/digital-electronics