Discrete wiskunde: samenvattingspakket

Logische equivalentie: twee formules zijn equivalent (≡) als ze in elke rij van de waarheidstabel dezelfde waarde hebben. Een tautologie is in elke rij 1, een contradictie in elke rij 0, en een contingentie is geen van beide. Nuttige wetten: De Morgan, ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b en ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b; a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a (contrapositie); ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b; en de distributieve wetten, a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c).

Kwantoren en redeneringen: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x) en ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x). Schuif een ontkenning naar binnen, verwissel elke kwantor die ze passeert en ontken de binnenste formule met de propositiewetten, zoals ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b. Een redenering is geldig als de conclusie 1 is in elke rij waarin alle premissen 1 zijn. Eén rij met ware premissen en een onware conclusie is een tegenvoorbeeld en toont aan dat de redenering ongeldig is.

Relaties: een relatie R op een verzameling X is een verzameling geordende paren (x, y). R is reflexief als (x, x) ∈ R voor elke x in X; symmetrisch als (x, y) ∈ R altijd samengaat met (y, x) ∈ R; antisymmetrisch als (x, y) en (y, x) alleen beide in R zitten als x = y; en transitief als (x, y) en (y, z) in R (x, z) ∈ R afdwingen. Een equivalentierelatie is reflexief, symmetrisch en transitief, en verdeelt X in disjuncte klassen.

Functies en tellen: een functie f: A → B geeft elk element van A precies één beeld in B. f is injectief (één-op-één) als verschillende elementen verschillende beelden hebben, surjectief (op) als elk element van B een beeld is, en bijectief als beide gelden. Met |A| = m en |B| = n zijn er nᵐ functies, n!/(n − m)! injectieve (m ≤ n), en met inclusie–exclusie Σ (−1)ᵏ·C(n, k)·(n − k)ᵐ surjectieve. |𝒫(A)| = 2ᵐ en |A × B| = m·n.

Euler, Hamilton en bomen: een samenhangende graaf heeft een Eulercircuit (elke kant één keer, terug naar het begin) als elk hoekpunt even graad heeft, en een Eulerpad dat geen circuit is als precies twee hoekpunten oneven graad hebben; het pad loopt dan van het ene oneven hoekpunt naar het andere. Een Hamiltoncircuit bezoekt elk hoekpunt één keer; K_n heeft er (n − 1)!/2. Een boom op n hoekpunten heeft n − 1 kanten, en een samenhangende graaf met m kanten houdt een opspannende boom over na het verwijderen van m − n + 1 kanten.

Kortste paden en opspannende bomen: het algoritme van Dijkstra legt per ronde één hoekpunt vast: het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste voorlopige afstand. Zijn afstand is dan definitief, en elke buur v krijgt d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Het algoritme van Kruskal bouwt een minimaal opspannende boom door de kanten van licht naar zwaar te nemen en elke kant over te slaan die een cykel zou sluiten; het algoritme van Prim laat één boom groeien vanuit een beginpunt door steeds de lichtste kant toe te voegen die eruit vertrekt. Een opspannende boom van n hoekpunten heeft n − 1 kanten.

Inversen en congruenties: a heeft een inverse modulo n precies als ggd(a, n) = 1. Het uitgebreide algoritme van Euclides schrijft 1 = s·n + t·a, en dan is a⁻¹ ≡ t (mod n). Een congruentie a·x ≡ b (mod n) met ggd(a, n) = 1 heeft de oplossing x ≡ a⁻¹·b. Twee congruenties x ≡ r₁ (mod m₁) en x ≡ r₂ (mod m₂) met onderling ondeelbare moduli hebben één oplossing modulo m₁·m₂ (Chinese reststelling). Eulers φ(n) telt de getallen van 1 tot n die onderling ondeelbaar zijn met n: φ(n) = n·∏(1 − 1/p).

Modulaire machten en RSA: bereken aᵏ mod n door herhaald kwadrateren: schrijf k binair, kwadrateer, reduceer na elke stap en vermenigvuldig de machten waarvan de bit 1 is. Fermat: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p) voor een priemgetal p dat a niet deelt, dus de exponent kan modulo p − 1 gereduceerd worden. RSA: kies priemgetallen p en q, n = p·q en φ(n) = (p − 1)(q − 1); de publieke exponent e is onderling ondeelbaar met φ(n), en de privé-exponent is d = e⁻¹ mod φ(n). Versleutel met c = mᵉ mod n en ontsleutel met m = cᵈ mod n.