Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 20 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.
Een bestuurster die met 36 km/h rijdt, ziet een obstakel. Haar reactietijd is 0,6 s, waarna de auto remt met een constante vertraging van 4 m/s². Vind de totale stopafstand d vanaf het moment dat ze het obstakel ziet.
Een bal wordt met 8 m/s recht omhoog gegooid vanaf de rand van een dak 40 m boven de grond. Verwaarloos de luchtweerstand en gebruik g = 9,81 m/s². Hoelang na de worp raakt de bal de grond? Bereken t.
Een doos van 10 kg wordt met constante snelheid een helling onder 40° met de horizontaal op geduwd, door een kracht evenwijdig aan de helling. De kinetische wrijvingscoëfficiënt is 0,1. Gebruik g = 9,81 m/s². Vind de duwkracht F.
Een blok van 1,5 kg op een helling onder 30° is via een licht touw over een wrijvingsloze katrol boven aan de helling verbonden met een hangende massa van 9 kg. De hangende massa beweegt omlaag. De kinetische wrijvingscoëfficiënt tussen blok en helling is 0,25. Gebruik g = 9,81 m/s². Bereken de versnelling a van het systeem.
Een bal wordt vanaf vlakke grond gelanceerd met 30 m/s en moet 65 m verderop landen. Verwaarloos de luchtweerstand en gebruik g = 9,81 m/s². Vind de kleinste van de twee mogelijke elevatiehoeken θ.
Een bal wordt onder 55° boven de horizontaal vanaf de top van een 15 m hoge klif weggeschoten. Verwaarloos luchtweerstand. Vind de vliegtijd t tot de bal de grond raakt.
Een auto van 1500 kg rijdt met 10 m/s over de top van een bult in de weg. De top van de bult is een cirkelboog met straal 20 m. Gebruik g = 9,81 m/s². Vind de normaalkracht N van de weg op de auto bovenaan.
Een bal van 1,6 kg aan een licht touw van 0,8 m lang wordt in een verticale cirkel rondgeslingerd. In het laagste punt is zijn snelheid 11,5 m/s. Verwaarloos de luchtweerstand en gebruik g = 9,81 m/s². Vind de spankracht Ttop in het touw in het hoogste punt.
Een auto die met 100 km/h over een horizontale weg rijdt, remt hard en slipt met geblokkeerde wielen tot stilstand. De kinetische wrijvingscoëfficiënt tussen banden en weg is 0,6. Vind de remweg d.
Een blok van 4 kg wordt vanuit rust losgelaten op hoogte 3,5 m op een gladde helling. Onderaan steekt het een ruwe horizontale strook van 4 m over (μ = 0,3) en loopt daarna tegen een veer (k = 1500 N/m) op een glad oppervlak. Vind de snelheid v van het blok als het de veer bereikt.
Een projectiel van 5 kg dat horizontaal met 36 m/s beweegt, explodeert in twee brokstukken die langs dezelfde lijn bewegen. Het brokstuk van 4 kg gaat met 75 m/s vooruit. Vind de snelheid v′2 van het brokstuk van 1 kg (positief in de oorspronkelijke richting).
Een bal van 0,1 kg raakt een muur met 30 m/s en kaatst recht terug met 6 m/s. Het contact duurt 5 ms. Bereken de grootte van de stoot J die de muur aan de bal geeft.
Een homogene slanke staaf met massa 2,5 kg en lengte 0,7 m is aan één uiteinde scharnierend bevestigd en wordt horizontaal vastgehouden. Hij wordt vanuit rust losgelaten. Gebruik g = 9,81 m/s². Bepaal de versnelling atip van het vrije uiteinde vlak na het loslaten.
Een persoon staat op een wrijvingsloze draaitafel en houdt in elke hand een halter van 5 kg, 0,6 m van de as. De persoon en de draaitafel hebben samen een traagheidsmoment van 1,5 kg·m² om de as. Ze draaien met 20 rpm en trekken dan de halters in tot 0,3 m van de as. Beschouw de halters als puntmassa’s. Bepaal het nieuwe toerental n2 in rpm.
Een motor van 4 kW die met 960 rpm draait, drijft een rondsel met 50 tanden aan, dat ingrijpt in een tandwiel met 80 tanden. Verwaarloos verliezen. Bereken het uitgaande koppel T2 op de as van het tandwiel.
In een meertraps tandwieloverbrenging drijft tandwiel A (45 tanden) op de ingaande as, die met 1500 rpm draait, tandwiel B (72 tanden) aan. Tandwiel C (12 tanden) zit vast op dezelfde as als B en drijft tandwiel D (24 tanden) op de uitgaande as aan. Bereken het uitgaande toerental nout.
Een astronaut op een andere planeet merkt dat een mathematische slinger van 1,3 m lang bij kleine uitslagen een trillingstijd van 2,41 s heeft. Vind de valversnelling g op die planeet.
Een massa aan een veer met k = 140 N/m trilt op een wrijvingsloos oppervlak met een amplitude van 4 cm. Vind de energie U die in de veer is opgeslagen als de massa 3 cm van de evenwichtsstand is.
Een massa van 40 kg aan een veer met een stijfheid van 150 kN/m heeft een viskeuze demper die een dempingsverhouding van 0,7 geeft. Vind de gedempte eigenfrequentie fd van de vrije trilling in Hz.
Een massa van 100 kg hangt aan veer k₃ = 100 kN/m. De bovenkant van k₃ zit vast aan een starre balk die aan twee veren naast elkaar hangt, k₁ = 10 kN/m en k₂ = 80 kN/m; de balk blijft horizontaal. Verwaarloos demping en de massa’s van de veren en de balk. Vind de eigenfrequentie fn van de verticale trilling in Hz.
Antwoord: d = 18,5 m
Beweging met constante versnelling: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² en v² = v₀² + 2·a·s. Kies de formule die de drie bekende grootheden en de gezochte grootheid bevat, en houd de tekens consequent bij één positieve richting.
Antwoord: t = 3,785 s
Beweging met constante versnelling: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² en v² = v₀² + 2·a·s. Kies de formule die de drie bekende grootheden en de gezochte grootheid bevat, en houd de tekens consequent bij één positieve richting.
Omhoog is positief en de grond ligt h₀ onder het beginpunt.
Alleen de positieve wortel is fysisch zinvol.
Antwoord: F = 70,57 N
Tweede wet van Newton: de resulterende kracht op een lichaam is gelijk aan de massa maal de versnelling, ΣF = m·a. Teken een vrijlichaamsschema, kies een positieve richting langs de beweging en tel alle krachten in die richting op: uitgeoefende krachten, de wrijving μ·N tegen de beweging in, en de componenten van de zwaartekracht.
Constante snelheid: de krachten zijn in evenwicht.
Antwoord: a = 7,404 m/s²
Tweede wet van Newton: de resulterende kracht op een lichaam is gelijk aan de massa maal de versnelling, ΣF = m·a. Teken een vrijlichaamsschema, kies een positieve richting langs de beweging en tel alle krachten in die richting op: uitgeoefende krachten, de wrijving μ·N tegen de beweging in, en de componenten van de zwaartekracht.
Antwoord: θ = 22,56 °
Kogelbaan: zonder luchtweerstand geldt x = vxt en y = h + vyt − ½gt². De twee richtingen zijn onafhankelijk, behalve dat ze dezelfde tijd delen.
De andere oplossing is 90° − θ = 67,44°.
Antwoord: t = 4,373 s
Kogelbaan: zonder luchtweerstand geldt x = vxt en y = h + vyt − ½gt². De twee richtingen zijn onafhankelijk, behalve dat ze dezelfde tijd delen.
De horizontale snelheid blijft constant; de verticale beweging heeft een constante versnelling g = 9,81 m/s² omlaag.
Los y(t) = h + vy·t − ½gt² = 0 op voor de positieve wortel.
Antwoord: N = 7215 N
Eenparige cirkelbeweging: een voorwerp dat met snelheid v over een cirkel met straal r beweegt, versnelt naar het middelpunt met a = v²/r, dus het heeft een resulterende kracht naar binnen nodig: F = m·v²/r. Die kracht wordt geleverd door iets echts: wrijving, spankracht, zwaartekracht of een normaalkracht.
Naar het middelpunt (omlaag) is positief.
De auto voelt lichter: de weg duwt minder hard omhoog dan zijn gewicht.
Antwoord: Ttop = 186 N
Eenparige cirkelbeweging: een voorwerp dat met snelheid v over een cirkel met straal r beweegt, versnelt naar het middelpunt met a = v²/r, dus het heeft een resulterende kracht naar binnen nodig: F = m·v²/r. Die kracht wordt geleverd door iets echts: wrijving, spankracht, zwaartekracht of een normaalkracht.
Kinetische energie wordt over een hoogte 2r omgezet in potentiële energie.
Spankracht en zwaartekracht wijzen allebei omlaag, naar het middelpunt.
Antwoord: d = 65,55 m
Arbeid-energiestelling: de verandering van kinetische energie is gelijk aan de arbeid van alle krachten. Door zwaartekracht en veren als potentiële energie te schrijven (mgh en ½kx²) wordt dit een balans: beginenergie = eindenergie + energie verloren aan wrijving (μN·d).
Een twee keer zo hoge snelheid maakt de remweg vier keer zo lang.
Antwoord: v = 6,718 m/s
Arbeid-energiestelling: de verandering van kinetische energie is gelijk aan de arbeid van alle krachten. Door zwaartekracht en veren als potentiële energie te schrijven (mgh en ½kx²) wordt dit een balans: beginenergie = eindenergie + energie verloren aan wrijving (μN·d).
De helling is glad, dus alleen de strook neemt energie weg.
Antwoord: v′2 = −120 m/s
Behoud van impuls: als er tijdens een botsing geen externe kracht werkt, is de totale impuls Σm·v vóór de botsing gelijk aan die erna. Snelheden hebben een richting, dus kies een positieve richting en geef snelheden in de andere richting een minteken. Bij een elastische botsing blijft ook de kinetische energie behouden; bij een volkomen inelastische botsing blijven de lichamen aan elkaar vast zitten.
Het minteken betekent dat het tweede brokstuk naar achteren vliegt.
Antwoord: J = 3,6 N·s
Behoud van impuls: als er tijdens een botsing geen externe kracht werkt, is de totale impuls Σm·v vóór de botsing gelijk aan die erna. Snelheden hebben een richting, dus kies een positieve richting en geef snelheden in de andere richting een minteken. Bij een elastische botsing blijft ook de kinetische energie behouden; bij een volkomen inelastische botsing blijven de lichamen aan elkaar vast zitten.
Antwoord: atip = 14,71 m/s²
Rotatie om een vaste as: de som van de momenten om de as is gelijk aan I·α (ΣM = I·α), net zoals ΣF = m·a bij translatie. In energievorm verricht een koppel T dat over een hoek θ (in radialen) draait arbeid T·θ, wat de kinetische energie ½·I·ω² verandert; de zwaartekracht voegt m·g·Δh van het zwaartepunt toe of haalt dat weg. Het vermogen is P = T·ω.
Op het moment van loslaten is ω = 0, dus er is geen middelpuntzoekende versnelling en het midden versnelt recht naar beneden.
atip = 1,5·g voor elke lengte: het vrije uiteinde valt sneller dan een losgelaten steen.
Antwoord: n2 = 42,5 rpm
Rollen en impulsmoment: een lichaam dat zonder slip rolt, heeft v = ω·r, dus zijn kinetische energie is ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). Langs een helling geeft dat a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). Als er geen extern moment om een as werkt, blijft het impulsmoment om die as constant, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, ook als er kinetische energie verloren gaat.
De kinetische energie neemt toe: de extra energie komt van de arbeid die de persoon verricht bij het intrekken van de halters.
Antwoord: T2 = 63,66 N·m
Tandwieloverbrengingen: ingrijpende tandwielen hebben dezelfde snelheid bij de tanden, dus n₁·N₁ = n₂·N₂: het tandwiel met minder tanden draait sneller. Tandwielen op één as draaien met hetzelfde toerental. Het vermogen wordt doorgegeven (min verliezen), dus het koppel stijgt als het toerental daalt: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, en P = T·ω met ω = 2π·n/60.
Antwoord: nout = 468,8 rpm
Tandwieloverbrengingen: ingrijpende tandwielen hebben dezelfde snelheid bij de tanden, dus n₁·N₁ = n₂·N₂: het tandwiel met minder tanden draait sneller. Tandwielen op één as draaien met hetzelfde toerental. Het vermogen wordt doorgegeven (min verliezen), dus het koppel stijgt als het toerental daalt: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, en P = T·ω met ω = 2π·n/60.
totale overbrengingsverhouding = 3,2 : 1
Antwoord: g = 8,836 m/s²
Harmonische trilling: een massa m aan een veer met veerconstante k trilt met hoekfrequentie ω = √(k/m) en trillingstijd T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Een mathematische slinger met lengte L heeft T = 2π·√(L/g). Bij amplitude A is de grootste snelheid A·ω, de grootste versnelling A·ω² en de energie ½·k·A².
Antwoord: U = 0,063 J
Harmonische trilling: een massa m aan een veer met veerconstante k trilt met hoekfrequentie ω = √(k/m) en trillingstijd T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Een mathematische slinger met lengte L heeft T = 2π·√(L/g). Bij amplitude A is de grootste snelheid A·ω, de grootste versnelling A·ω² en de energie ½·k·A².
Antwoord: fd = 6,96 Hz
Vrije trilling van een massa-veersysteem: de ongedempte eigenhoekfrequentie is ωn = √(k/m) in rad/s, en fn = ωn/(2π) in Hz. Een viskeuze demper c geeft de dempingsverhouding ζ = c/cc, met kritische demping cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Een ondergedempt systeem (ζ < 1) trilt met ωd = ωn·√(1 − ζ²). Parallelle veren tellen op, k = k₁ + k₂; veren in serie tellen op via hun omgekeerde, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Antwoord: fn = 3,464 Hz
Vrije trilling van een massa-veersysteem: de ongedempte eigenhoekfrequentie is ωn = √(k/m) in rad/s, en fn = ωn/(2π) in Hz. Een viskeuze demper c geeft de dempingsverhouding ζ = c/cc, met kritische demping cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Een ondergedempt systeem (ζ < 1) trilt met ωd = ωn·√(1 − ζ²). Parallelle veren tellen op, k = k₁ + k₂; veren in serie tellen op via hun omgekeerde, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Alleen k1 en k2 staan parallel. Dat paar staat in serie met k3, dus combineer ze via hun omgekeerde.
ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics