Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 20 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.
Een auto die met 100 km/h rijdt, remt met een constante vertraging van 4 m/s² tot hij stilstaat. Bereken de remweg s.
Een steen wordt vanuit rust in een put losgelaten. De plons is 2,1 s na het loslaten te horen. De geluidssnelheid is 343 m/s; verwaarloos de luchtweerstand en gebruik g = 9,81 m/s². Vind de diepte d van de put.
Massa’s van 9,5 kg en 2,5 kg hangen aan weerszijden van een lichte, wrijvingsloze katrol, verbonden door een licht touw. Het systeem wordt vanuit rust losgelaten. Gebruik g = 9,81 m/s². Vind de versnelling a van de massa’s.
Een blok van 3 kg op een horizontale tafel is via een licht touw over een wrijvingsloze katrol verbonden met een hangende massa van 4,5 kg. De kinetische wrijvingscoëfficiënt tussen blok en tafel is 0,1. Gebruik g = 9,81 m/s². Bereken de spankracht T in het touw.
Een bal wordt vanaf vlakke grond gelanceerd met 34 m/s en moet 45 m verderop landen. Verwaarloos de luchtweerstand en gebruik g = 9,81 m/s². Vind de kleinste van de twee mogelijke elevatiehoeken θ.
Een bal wordt gelanceerd met 33 m/s onder 45° boven de horizontaal vanaf de top van een klif van 55 m. Verwaarloos de luchtweerstand en gebruik g = 9,81 m/s². Vind de grootste hoogte H boven de grond aan de voet van de klif.
Een klein balletje aan een touwtje met lengte 1,4 m beweegt in een horizontale cirkel, zodat het touwtje een constante hoek van 15° met de verticaal maakt (een kegelslinger). Gebruik g = 9,81 m/s². Vind de tijd T voor één omwenteling.
Een bal van 0,2 kg aan een licht touw van 1,2 m lang wordt in een verticale cirkel rondgeslingerd. In het laagste punt is zijn snelheid 11 m/s. Verwaarloos de luchtweerstand en gebruik g = 9,81 m/s². Vind de spankracht Ttop in het touw in het hoogste punt.
Een blok glijdt vanuit rust een helling af onder 45° met de horizontaal. De kinetische wrijvingscoëfficiënt is 0,3. Vind de snelheid v nadat het 18 m langs de helling is gegleden.
Een blok van 4 kg ligt op een ruwe horizontale tafel (μ = 0,3). Een licht touw loopt ervan over een gladde katrol aan de rand van de tafel naar een hangend blok van 6 kg. Het systeem wordt vanuit rust losgelaten. Vind de snelheid v van de blokken nadat het hangende blok 2,5 m is gezakt.
Een karretje van 4 kg dat met 10 m/s rijdt, botst volkomen elastisch en frontaal op een stilstaand karretje van 0,5 kg op een wrijvingsloze baan. Bereken de snelheid v′1 van het eerste karretje na de botsing (positief in de oorspronkelijke richting).
Een bal van 0,45 kg raakt een muur met 24 m/s en kaatst recht terug met 19 m/s. Het contact duurt 5 ms. Bereken de grootte van de stoot J die de muur aan de bal geeft.
Een homogene slanke staaf met massa 12,5 kg en lengte 1,6 m is aan één uiteinde scharnierend bevestigd en wordt horizontaal vastgehouden. Hij wordt vanuit rust losgelaten. Gebruik g = 9,81 m/s². Bepaal de verticale kracht R die het scharnier vlak na het loslaten op de staaf uitoefent.
Een holle bol begint vanuit rust en rolt zonder slip van een helling die 10° met het horizontale vlak maakt. Gebruik g = 9,81 m/s². Bepaal zijn snelheid v nadat hij 3 m langs de helling is gerold.
Een motor van 5,5 kW die met 960 rpm draait, drijft een rondsel met 30 tanden aan, dat ingrijpt in een tandwiel met 80 tanden. Verwaarloos verliezen. Bereken het koppel T1 op de motoras.
In een meertraps tandwieloverbrenging drijft tandwiel A (15 tanden) op de ingaande as, die met 960 rpm draait, tandwiel B (72 tanden) aan. Tandwiel C (24 tanden) zit vast op dezelfde as als B en drijft tandwiel D (30 tanden) op de uitgaande as aan. Bereken het uitgaande toerental nout.
Een astronaut op een andere planeet merkt dat een mathematische slinger van 1,2 m lang bij kleine uitslagen een trillingstijd van 3,57 s heeft. Vind de valversnelling g op die planeet.
Een massa aan een veer met k = 130 N/m trilt op een wrijvingsloos oppervlak met een amplitude van 10 cm. Vind de energie U die in de veer is opgeslagen als de massa 3 cm van de evenwichtsstand is.
Een massa van 100 kg wordt gedragen door een veer met een stijfheid van 25 kN/m en een viskeuze demper met een dempingscoëfficiënt van 950 N·s/m. Vind de dempingsverhouding ζ.
Een massa van 50 kg hangt aan twee veren die achter elkaar zitten (in serie): de bovenste veer heeft k₁ = 80 kN/m en de onderste k₂ = 60 kN/m. Verwaarloos demping en de massa’s van de veren. Vind de eigenfrequentie fn van de verticale trilling in Hz.
Antwoord: s = 96,45 m
Beweging met constante versnelling: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² en v² = v₀² + 2·a·s. Kies de formule die de drie bekende grootheden en de gezochte grootheid bevat, en houd de tekens consequent bij één positieve richting.
Antwoord: d = 20,42 m
Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.
Alleen de positieve wortel is fysisch zinvol.
Antwoord: a = 5,723 m/s²
Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.
De netto aandrijvende kracht is het verschil van de gewichten; die beweegt de totale massa.
Antwoord: T = 19,42 N
Tweede wet van Newton: de resulterende kracht op een lichaam is gelijk aan de massa maal de versnelling, ΣF = m·a. Teken een vrijlichaamsschema, kies een positieve richting langs de beweging en tel alle krachten in die richting op: uitgeoefende krachten, de wrijving μ·N tegen de beweging in, en de componenten van de zwaartekracht.
Antwoord: θ = 11,23 °
Projectile motion: with no air resistance, x = vxt and y = h + vyt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.
De andere oplossing is 90° − θ = 78,77°.
Antwoord: H = 82,75 m
Projectile motion: with no air resistance, x = vxt and y = h + vyt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.
Antwoord: T = 2,333 s
Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.
Spankracht en zwaartekracht geven samen de kracht naar binnen: tan θ = v²/(r·g).
Antwoord: Ttop = 10,36 N
Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.
Kinetische energie wordt over een hoogte 2r omgezet in potentiële energie.
Spankracht en zwaartekracht wijzen allebei omlaag, naar het middelpunt.
Antwoord: v = 13,22 m/s
Arbeid-energiestelling: de verandering van kinetische energie is gelijk aan de arbeid van alle krachten. Door zwaartekracht en veren als potentiële energie te schrijven (mgh en ½kx²) wordt dit een balans: beginenergie = eindenergie + energie verloren aan wrijving (μN·d).
Het blok zakt een hoogte d·sin θ terwijl de wrijving μmg·cos θ·d wegneemt. De massa valt weg.
Antwoord: v = 4,852 m/s
Arbeid-energiestelling: de verandering van kinetische energie is gelijk aan de arbeid van alle krachten. Door zwaartekracht en veren als potentiële energie te schrijven (mgh en ½kx²) wordt dit een balans: beginenergie = eindenergie + energie verloren aan wrijving (μN·d).
Antwoord: v′1 = 7,778 m/s
Behoud van impuls: als er tijdens een botsing geen externe kracht werkt, is de totale impuls Σm·v vóór de botsing gelijk aan die erna. Snelheden hebben een richting, dus kies een positieve richting en geef snelheden in de andere richting een minteken. Bij een elastische botsing blijft ook de kinetische energie behouden; bij een volkomen inelastische botsing blijven de lichamen aan elkaar vast zitten.
Behoud van impuls en energie samen oplossen geeft deze twee resultaten.
Antwoord: J = 19,35 N·s
Behoud van impuls: als er tijdens een botsing geen externe kracht werkt, is de totale impuls Σm·v vóór de botsing gelijk aan die erna. Snelheden hebben een richting, dus kies een positieve richting en geef snelheden in de andere richting een minteken. Bij een elastische botsing blijft ook de kinetische energie behouden; bij een volkomen inelastische botsing blijven de lichamen aan elkaar vast zitten.
Antwoord: R = 30,66 N
Rotation about a fixed axis: the sum of the moments about the axis equals I·α (ΣM = I·α), just as ΣF = m·a for translation. In energy form, a torque T turning through an angle θ (in radians) does work T·θ, which changes the kinetic energy ½·I·ω²; gravity adds or removes m·g·Δh of the centre of mass. Power is P = T·ω.
Op het moment van loslaten is ω = 0, dus er is geen middelpuntzoekende versnelling en het midden versnelt recht naar beneden.
R = m·g/4, onafhankelijk van de lengte.
Antwoord: v = 2,476 m/s
Rolling and angular momentum: a body rolling without slipping has v = ω·r, so its kinetic energy is ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). Down a slope that gives a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). When no external moment acts about an axis, the angular momentum about that axis stays constant, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, even if kinetic energy is lost.
Rollen zonder slip: ω = v/r, en wrijving verricht geen arbeid in het contactpunt.
Antwoord: T1 = 54,71 N·m
Tandwieloverbrengingen: ingrijpende tandwielen hebben dezelfde snelheid bij de tanden, dus n₁·N₁ = n₂·N₂: het tandwiel met minder tanden draait sneller. Tandwielen op één as draaien met hetzelfde toerental. Het vermogen wordt doorgegeven (min verliezen), dus het koppel stijgt als het toerental daalt: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, en P = T·ω met ω = 2π·n/60.
Antwoord: nout = 160 rpm
Tandwieloverbrengingen: ingrijpende tandwielen hebben dezelfde snelheid bij de tanden, dus n₁·N₁ = n₂·N₂: het tandwiel met minder tanden draait sneller. Tandwielen op één as draaien met hetzelfde toerental. Het vermogen wordt doorgegeven (min verliezen), dus het koppel stijgt als het toerental daalt: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, en P = T·ω met ω = 2π·n/60.
totale overbrengingsverhouding = 6 : 1
Antwoord: g = 3,717 m/s²
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
Antwoord: U = 0,0585 J
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
Antwoord: ζ = 0,3004
Vrije trilling van een massa-veersysteem: de ongedempte eigenhoekfrequentie is ωn = √(k/m) in rad/s, en fn = ωn/(2π) in Hz. Een viskeuze demper c geeft de dempingsverhouding ζ = c/cc, met kritische demping cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Een ondergedempt systeem (ζ < 1) trilt met ωd = ωn·√(1 − ζ²). Parallelle veren tellen op, k = k₁ + k₂; veren in serie tellen op via hun omgekeerde, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
ζ < 1, dus het systeem is ondergedempt en trilt terwijl het uitdempt.
Antwoord: fn = 4,168 Hz
Vrije trilling van een massa-veersysteem: de ongedempte eigenhoekfrequentie is ωn = √(k/m) in rad/s, en fn = ωn/(2π) in Hz. Een viskeuze demper c geeft de dempingsverhouding ζ = c/cc, met kritische demping cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Een ondergedempt systeem (ζ < 1) trilt met ωd = ωn·√(1 − ζ²). Parallelle veren tellen op, k = k₁ + k₂; veren in serie tellen op via hun omgekeerde, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Veren in serie dragen dezelfde kracht en hun doorbuigingen tellen op, dus ze combineren via hun omgekeerde: 1/k = 1/k1 + 1/k2.
ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics