Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 20 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.
Een bestuurster die met 120 km/h rijdt, ziet een obstakel. Haar reactietijd is 0,9 s, waarna de auto remt met een constante vertraging van 7,5 m/s². Vind de totale stopafstand d vanaf het moment dat ze het obstakel ziet.
Bal A wordt vanuit rust losgelaten op een hoogte van 10 m. Op hetzelfde moment wordt bal B recht eronder vanaf de grond recht omhoog gegooid met 16 m/s. Verwaarloos de luchtweerstand en gebruik g = 9,81 m/s². Op welke hoogte y boven de grond ontmoeten ze elkaar?
Een doos glijdt met een beginsnelheid van 9,5 m/s over een horizontale vloer en komt na 18 m tot stilstand. Gebruik g = 9,81 m/s². Vind de kinetische wrijvingscoëfficiënt μ.
Een blok krijgt een duw, zodat het met een snelheid van 5 m/s een helling onder 20° op begint te glijden. De kinetische wrijvingscoëfficiënt is 0,3. Gebruik g = 9,81 m/s². Hoe ver d glijdt het langs de helling voordat het stopt?
Een bal wordt vanaf vlakke grond gelanceerd onder 55° boven de horizontaal en landt 115 m verderop. Verwaarloos de luchtweerstand en gebruik g = 9,81 m/s². Vind de beginsnelheid v0.
Een bal wordt onder 30° boven de horizontaal vanaf de top van een 20 m hoge klif weggeschoten. Verwaarloos luchtweerstand. Vind de vliegtijd t tot de bal de grond raakt.
In een rotor op de kermis staan de deelnemers tegen de wand van een verticale cilinder met straal 3,6 m. Als die snel genoeg draait, zakt de vloer weg en houdt de wrijving hen omhoog. De statische wrijvingscoëfficiënt is 0,7. Gebruik g = 9,81 m/s². Vind de kleinste hoeksnelheid ω in rad/s.
Een bal van 2 kg aan een touw van 0,6 m wordt rondgeslingerd in een verticale cirkel. In het laagste punt beweegt hij met 3 m/s. Gebruik g = 9,81 m/s². Bereken de spankracht T in het touw in het laagste punt.
Een blok van 1 kg glijdt 7 m een helling af onder 40° met de horizontaal, met een kinetische wrijvingscoëfficiënt van 0,15. Vind de arbeid Wf tegen de wrijving.
Een blok van 0,5 kg wordt vanuit rust losgelaten op hoogte 4 m op een gladde helling. Onderaan steekt het een ruwe horizontale strook van 4,5 m over (μ = 0,25) en loopt daarna tegen een veer (k = 4000 N/m) op een glad oppervlak. Vind de snelheid v van het blok als het de veer bereikt.
Een projectiel van 12 kg dat horizontaal met 30 m/s beweegt, explodeert in twee brokstukken die langs dezelfde lijn bewegen. Het brokstuk van 11 kg gaat met 87 m/s vooruit. Vind de snelheid v′2 van het brokstuk van 1 kg (positief in de oorspronkelijke richting).
Een bal van 0,35 kg raakt een muur met 20 m/s en kaatst recht terug met 18 m/s. Het contact duurt 5 ms. Bereken de grootte van de stoot J die de muur aan de bal geeft.
Een motor levert een koppel van 1470 N·m bij 2300 rpm. Bepaal zijn uitgangsvermogen P in kW.
Een homogene massieve schijf (massa 15 kg, straal 0,2 m) draait vrij met 300 rpm om een verticale wrijvingsloze as. Een dunne ring met massa 13 kg en dezelfde straal wordt vanuit rust op de schijf laten vallen, gecentreerd op de as, en de twee gaan snel samen draaien. Hoeveel kinetische energie ΔE gaat er in het proces verloren?
Een riem loopt op een aandrijvende schijf van 160 mm met 1450 rpm. De spanning is 1200 N in het trekkende deel en 600 N in het slappe deel. Bepaal het overgebrachte vermogen P, in kW.
In een meertraps tandwieloverbrenging drijft tandwiel A (18 tanden) op de ingaande as, die met 3000 rpm draait, tandwiel B (80 tanden) aan. Tandwiel C (16 tanden) zit vast op dezelfde as als B en drijft tandwiel D (72 tanden) op de uitgaande as aan. Bereken het uitgaande toerental nout.
Een mathematische slinger heeft een lengte van 0,9 m. Gebruik g = 9,81 m/s². Bereken de slingertijd T bij kleine uitwijkingen.
Een massa aan een veer met k = 500 N/m trilt op een wrijvingsloos oppervlak met een amplitude van 17 cm. Vind de kinetische energie K als de massa 15 cm van de evenwichtsstand is.
Bij een uitslingerproef van een gedempt massa-veersysteem volgt op een uitwijkingspiek van 30 mm 3 perioden later een piek van 1,7 mm. Vind de dempingsverhouding ζ.
Een massa van 50 kg hangt aan veer k₃ = 40 kN/m. De bovenkant van k₃ zit vast aan een starre balk die aan twee veren naast elkaar hangt, k₁ = 100 kN/m en k₂ = 15 kN/m; de balk blijft horizontaal. Verwaarloos demping en de massa’s van de veren en de balk. Vind de eigenfrequentie fn van de verticale trilling in Hz.
Antwoord: d = 104,1 m
Beweging met constante versnelling: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² en v² = v₀² + 2·a·s. Kies de formule die de drie bekende grootheden en de gezochte grootheid bevat, en houd de tekens consequent bij één positieve richting.
Antwoord: y = 8,084 m
Beweging met constante versnelling: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² en v² = v₀² + 2·a·s. Kies de formule die de drie bekende grootheden en de gezochte grootheid bevat, en houd de tekens consequent bij één positieve richting.
Omhoog is positief, de grond is y = 0.
Antwoord: μ = 0,2555
Tweede wet van Newton: de resulterende kracht op een lichaam is gelijk aan de massa maal de versnelling, ΣF = m·a. Teken een vrijlichaamsschema, kies een positieve richting langs de beweging en tel alle krachten in die richting op: uitgeoefende krachten, de wrijving μ·N tegen de beweging in, en de componenten van de zwaartekracht.
Antwoord: d = 2,042 m
Tweede wet van Newton: de resulterende kracht op een lichaam is gelijk aan de massa maal de versnelling, ΣF = m·a. Teken een vrijlichaamsschema, kies een positieve richting langs de beweging en tel alle krachten in die richting op: uitgeoefende krachten, de wrijving μ·N tegen de beweging in, en de componenten van de zwaartekracht.
Beide krachten wijzen de helling af; de massa valt weg.
Antwoord: v0 = 34,65 m/s
Kogelbaan: zonder luchtweerstand geldt x = vxt en y = h + vyt − ½gt². De twee richtingen zijn onafhankelijk, behalve dat ze dezelfde tijd delen.
Antwoord: t = 3,356 s
Kogelbaan: zonder luchtweerstand geldt x = vxt en y = h + vyt − ½gt². De twee richtingen zijn onafhankelijk, behalve dat ze dezelfde tijd delen.
De horizontale snelheid blijft constant; de verticale beweging heeft een constante versnelling g = 9,81 m/s² omlaag.
Los y(t) = h + vy·t − ½gt² = 0 op voor de positieve wortel.
Antwoord: ω = 1,973 rad/s
Eenparige cirkelbeweging: een voorwerp dat met snelheid v over een cirkel met straal r beweegt, versnelt naar het middelpunt met a = v²/r, dus het heeft een resulterende kracht naar binnen nodig: F = m·v²/r. Die kracht wordt geleverd door iets echts: wrijving, spankracht, zwaartekracht of een normaalkracht.
Antwoord: T = 49,62 N
Eenparige cirkelbeweging: een voorwerp dat met snelheid v over een cirkel met straal r beweegt, versnelt naar het middelpunt met a = v²/r, dus het heeft een resulterende kracht naar binnen nodig: F = m·v²/r. Die kracht wordt geleverd door iets echts: wrijving, spankracht, zwaartekracht of een normaalkracht.
Naar het middelpunt (omhoog) is positief.
Antwoord: Wf = 7,891 J
Arbeid-energiestelling: de verandering van kinetische energie is gelijk aan de arbeid van alle krachten. Door zwaartekracht en veren als potentiële energie te schrijven (mgh en ½kx²) wordt dit een balans: beginenergie = eindenergie + energie verloren aan wrijving (μN·d).
Antwoord: v = 7,51 m/s
Arbeid-energiestelling: de verandering van kinetische energie is gelijk aan de arbeid van alle krachten. Door zwaartekracht en veren als potentiële energie te schrijven (mgh en ½kx²) wordt dit een balans: beginenergie = eindenergie + energie verloren aan wrijving (μN·d).
De helling is glad, dus alleen de strook neemt energie weg.
Antwoord: v′2 = −597 m/s
Behoud van impuls: als er tijdens een botsing geen externe kracht werkt, is de totale impuls Σm·v vóór de botsing gelijk aan die erna. Snelheden hebben een richting, dus kies een positieve richting en geef snelheden in de andere richting een minteken. Bij een elastische botsing blijft ook de kinetische energie behouden; bij een volkomen inelastische botsing blijven de lichamen aan elkaar vast zitten.
Het minteken betekent dat het tweede brokstuk naar achteren vliegt.
Antwoord: J = 13,3 N·s
Behoud van impuls: als er tijdens een botsing geen externe kracht werkt, is de totale impuls Σm·v vóór de botsing gelijk aan die erna. Snelheden hebben een richting, dus kies een positieve richting en geef snelheden in de andere richting een minteken. Bij een elastische botsing blijft ook de kinetische energie behouden; bij een volkomen inelastische botsing blijven de lichamen aan elkaar vast zitten.
Antwoord: P = 354,1 kW
Rotatie om een vaste as: de som van de momenten om de as is gelijk aan I·α (ΣM = I·α), net zoals ΣF = m·a bij translatie. In energievorm verricht een koppel T dat over een hoek θ (in radialen) draait arbeid T·θ, wat de kinetische energie ½·I·ω² verandert; de zwaartekracht voegt m·g·Δh van het zwaartepunt toe of haalt dat weg. Het vermogen is P = T·ω.
Antwoord: ΔE = 93,88 J
Rollen en impulsmoment: een lichaam dat zonder slip rolt, heeft v = ω·r, dus zijn kinetische energie is ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). Langs een helling geeft dat a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). Als er geen extern moment om een as werkt, blijft het impulsmoment om die as constant, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, ook als er kinetische energie verloren gaat.
Antwoord: P = 7,288 kW
Riemaandrijvingen: zonder slip hebben beide schijven dezelfde omtreksnelheid v = π·d·n/60, dus n₁·d₁ = n₂·d₂ en de overbrengingsverhouding is d₂/d₁. Slip s maakt de aangedreven schijf iets langzamer: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Het overgebrachte vermogen is P = (T₁ − T₂)·v, met T₁ de spanning in het trekkende deel en T₂ in het slappe deel. Wrijving beperkt de verhouding van de spanningen: T₁/T₂ = eμθ, waarbij θ de omspanningshoek in radialen op de kleinere schijf is; voor een open riem is θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) met hartafstand C.
Antwoord: nout = 150 rpm
Tandwieloverbrengingen: ingrijpende tandwielen hebben dezelfde snelheid bij de tanden, dus n₁·N₁ = n₂·N₂: het tandwiel met minder tanden draait sneller. Tandwielen op één as draaien met hetzelfde toerental. Het vermogen wordt doorgegeven (min verliezen), dus het koppel stijgt als het toerental daalt: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, en P = T·ω met ω = 2π·n/60.
totale overbrengingsverhouding = 20 : 1
Antwoord: T = 1,903 s
Harmonische trilling: een massa m aan een veer met veerconstante k trilt met hoekfrequentie ω = √(k/m) en trillingstijd T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Een mathematische slinger met lengte L heeft T = 2π·√(L/g). Bij amplitude A is de grootste snelheid A·ω, de grootste versnelling A·ω² en de energie ½·k·A².
Antwoord: K = 1,6 J
Harmonische trilling: een massa m aan een veer met veerconstante k trilt met hoekfrequentie ω = √(k/m) en trillingstijd T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Een mathematische slinger met lengte L heeft T = 2π·√(L/g). Bij amplitude A is de grootste snelheid A·ω, de grootste versnelling A·ω² en de energie ½·k·A².
Antwoord: ζ = 0,1506
Vrije trilling van een massa-veersysteem: de ongedempte eigenhoekfrequentie is ωn = √(k/m) in rad/s, en fn = ωn/(2π) in Hz. Een viskeuze demper c geeft de dempingsverhouding ζ = c/cc, met kritische demping cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Een ondergedempt systeem (ζ < 1) trilt met ωd = ωn·√(1 − ζ²). Parallelle veren tellen op, k = k₁ + k₂; veren in serie tellen op via hun omgekeerde, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Antwoord: fn = 3,877 Hz
Vrije trilling van een massa-veersysteem: de ongedempte eigenhoekfrequentie is ωn = √(k/m) in rad/s, en fn = ωn/(2π) in Hz. Een viskeuze demper c geeft de dempingsverhouding ζ = c/cc, met kritische demping cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Een ondergedempt systeem (ζ < 1) trilt met ωd = ωn·√(1 − ζ²). Parallelle veren tellen op, k = k₁ + k₂; veren in serie tellen op via hun omgekeerde, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Alleen k1 en k2 staan parallel. Dat paar staat in serie met k3, dus combineer ze via hun omgekeerde.
ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics