Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 20 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.
Een bestuurster die met 100 km/h rijdt, ziet een obstakel. Haar reactietijd is 1,2 s, waarna de auto remt met een constante vertraging van 7,5 m/s². Vind de totale stopafstand d vanaf het moment dat ze het obstakel ziet.
Een steen wordt vanuit rust in een put losgelaten. De plons is 3,3 s na het loslaten te horen. De geluidssnelheid is 343 m/s; verwaarloos de luchtweerstand en gebruik g = 9,81 m/s². Vind de diepte d van de put.
Een blok van 9 kg glijdt een helling af die 20° met de horizontaal maakt. De kinetische wrijvingscoëfficiënt is 0,2. Gebruik g = 9,81 m/s². Bereken de versnelling a van het blok langs de helling.
Een blok van 2,5 kg op een helling onder 20° is via een licht touw over een wrijvingsloze katrol boven aan de helling verbonden met een hangende massa van 3,5 kg. De hangende massa beweegt omlaag. De kinetische wrijvingscoëfficiënt tussen blok en helling is 0,2. Gebruik g = 9,81 m/s². Bereken de versnelling a van het systeem.
Een bal wordt onder 65° boven de horizontaal vanaf vlak terrein weggeschoten. Verwaarloos luchtweerstand. Vind de horizontale afstand x die de bal aflegt voordat hij de grond raakt.
Een bal wordt gelanceerd met 15 m/s onder 35° boven de horizontaal vanaf de top van een klif van 50 m. Verwaarloos de luchtweerstand en gebruik g = 9,81 m/s². Vind de snelheid v waarmee hij de grond raakt.
Een auto neemt een vlakke bocht met een straal van 120 m. De statische wrijvingscoëfficiënt tussen banden en weg is 0,8. Gebruik g = 9,81 m/s². Bereken de hoogste snelheid vmax waarmee de auto de bocht kan nemen zonder te slippen.
Een bal van 2 kg aan een touw van 1,2 m wordt rondgeslingerd in een verticale cirkel. In het laagste punt beweegt hij met 7 m/s. Gebruik g = 9,81 m/s². Bereken de spankracht T in het touw in het laagste punt.
Een auto die met 60 km/h over een horizontale weg rijdt, remt hard en slipt met geblokkeerde wielen tot stilstand. De kinetische wrijvingscoëfficiënt tussen banden en weg is 0,6. Vind de remweg d.
Een blok van 0,5 kg wordt vanuit rust losgelaten op hoogte 2,5 m op een gladde helling. Onderaan steekt het een ruwe horizontale strook van 3,5 m over (μ = 0,1) en loopt daarna tegen een veer (k = 1000 N/m) op een glad oppervlak. Vind de maximale indrukking x van de veer.
Een karretje van 1,5 kg dat met 5 m/s rijdt, botst volkomen elastisch en frontaal op een stilstaand karretje van 2,5 kg op een wrijvingsloze baan. Bereken de snelheid v′2 van het tweede karretje na de botsing.
Een kogel van 15 g wordt horizontaal afgevuurd in een blok van 4,5 kg dat aan lichte touwtjes van 2 m lang hangt, en blijft erin steken. De touwtjes zwaaien uit tot een grootste hoek van 20° met de verticaal. Gebruik g = 9,81 m/s². Vind de snelheid v van de kogel vóór de inslag.
Een motor levert een koppel van 1670 N·m bij 1700 rpm. Bepaal zijn uitgangsvermogen P in kW.
Een massieve cilinder met massa 13 kg rolt zonder slip met 5 m/s. Bepaal zijn rotatie-energie Erot.
Een schijf van 120 mm met 1450 rpm drijft via een riem met 2 % slip een schijf van 250 mm aan. Bepaal het toerental n2 van de aangedreven schijf.
In een meertraps tandwieloverbrenging drijft tandwiel A (18 tanden) op de ingaande as, die met 3000 rpm draait, tandwiel B (72 tanden) aan. Tandwiel C (24 tanden) zit vast op dezelfde as als B en drijft tandwiel D (48 tanden) op de uitgaande as aan. Bereken het uitgaande toerental nout.
Een mathematische slinger heeft een lengte van 2,7 m. Gebruik g = 9,81 m/s². Bereken de slingertijd T bij kleine uitwijkingen.
Een massa van 0,7 kg wordt aan het onderste uiteinde van een onbelaste verticale veer met k = 90 N/m gehangen en vanuit rust losgelaten. Gebruik g = 9,81 m/s². Vind de grootste snelheid vmax van de massa.
Een massa van 10 kg wordt gedragen door een veer met een stijfheid van 150 kN/m en een viskeuze demper met een dempingscoëfficiënt van 240 N·s/m. Vind de dempingsverhouding ζ.
Een massa van 100 kg hangt aan veer k₃ = 25 kN/m. De bovenkant van k₃ zit vast aan een starre balk die aan twee veren naast elkaar hangt, k₁ = 40 kN/m en k₂ = 10 kN/m; de balk blijft horizontaal. Verwaarloos demping en de massa’s van de veren en de balk. Vind de eigenfrequentie fn van de verticale trilling in Hz.
Antwoord: d = 84,77 m
Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.
Antwoord: d = 48,9 m
Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.
Alleen de positieve wortel is fysisch zinvol.
Antwoord: a = 1,512 m/s²
Tweede wet van Newton: de resulterende kracht op een lichaam is gelijk aan de massa maal de versnelling, ΣF = m·a. Teken een vrijlichaamsschema, kies een positieve richting langs de beweging en tel alle krachten in die richting op: uitgeoefende krachten, de wrijving μ·N tegen de beweging in, en de componenten van de zwaartekracht.
Langs de helling omlaag is positief.
Antwoord: a = 3,556 m/s²
Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.
Antwoord: x = 124,9 m
Kogelbaan: zonder luchtweerstand geldt x = vxt en y = h + vyt − ½gt². De twee richtingen zijn onafhankelijk, behalve dat ze dezelfde tijd delen.
De horizontale snelheid blijft constant; de verticale beweging heeft een constante versnelling g = 9,81 m/s² omlaag.
Start en landing op dezelfde hoogte: t = 2vy/g.
Antwoord: v = 34,73 m/s
Projectile motion: with no air resistance, x = vxt and y = h + vyt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.
Energie, of v² = v₀² + 2as in de verticale richting.
Controleer met energie: v² = v₀² + 2gh.
Antwoord: vmax = 30,69 m/s
Eenparige cirkelbeweging: een voorwerp dat met snelheid v over een cirkel met straal r beweegt, versnelt naar het middelpunt met a = v²/r, dus het heeft een resulterende kracht naar binnen nodig: F = m·v²/r. Die kracht wordt geleverd door iets echts: wrijving, spankracht, zwaartekracht of een normaalkracht.
Antwoord: T = 101,3 N
Eenparige cirkelbeweging: een voorwerp dat met snelheid v over een cirkel met straal r beweegt, versnelt naar het middelpunt met a = v²/r, dus het heeft een resulterende kracht naar binnen nodig: F = m·v²/r. Die kracht wordt geleverd door iets echts: wrijving, spankracht, zwaartekracht of een normaalkracht.
Naar het middelpunt (omhoog) is positief.
Antwoord: d = 23,6 m
Arbeid-energiestelling: de verandering van kinetische energie is gelijk aan de arbeid van alle krachten. Door zwaartekracht en veren als potentiële energie te schrijven (mgh en ½kx²) wordt dit een balans: beginenergie = eindenergie + energie verloren aan wrijving (μN·d).
Een twee keer zo hoge snelheid maakt de remweg vier keer zo lang.
Antwoord: x = 14,52 cm
Arbeid-energiestelling: de verandering van kinetische energie is gelijk aan de arbeid van alle krachten. Door zwaartekracht en veren als potentiële energie te schrijven (mgh en ½kx²) wordt dit een balans: beginenergie = eindenergie + energie verloren aan wrijving (μN·d).
De helling is glad, dus alleen de strook neemt energie weg.
Antwoord: v′2 = 3,75 m/s
Behoud van impuls: als er tijdens een botsing geen externe kracht werkt, is de totale impuls Σm·v vóór de botsing gelijk aan die erna. Snelheden hebben een richting, dus kies een positieve richting en geef snelheden in de andere richting een minteken. Bij een elastische botsing blijft ook de kinetische energie behouden; bij een volkomen inelastische botsing blijven de lichamen aan elkaar vast zitten.
Behoud van impuls en energie samen oplossen geeft deze twee resultaten.
Antwoord: v = 463 m/s
Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.
Antwoord: P = 297,3 kW
Rotation about a fixed axis: the sum of the moments about the axis equals I·α (ΣM = I·α), just as ΣF = m·a for translation. In energy form, a torque T turning through an angle θ (in radians) does work T·θ, which changes the kinetic energy ½·I·ω²; gravity adds or removes m·g·Δh of the centre of mass. Power is P = T·ω.
Antwoord: Erot = 81,25 J
Rolling and angular momentum: a body rolling without slipping has v = ω·r, so its kinetic energy is ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). Down a slope that gives a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). When no external moment acts about an axis, the angular momentum about that axis stays constant, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, even if kinetic energy is lost.
Antwoord: n2 = 682,1 rpm
Riemaandrijvingen: zonder slip hebben beide schijven dezelfde omtreksnelheid v = π·d·n/60, dus n₁·d₁ = n₂·d₂ en de overbrengingsverhouding is d₂/d₁. Slip s maakt de aangedreven schijf iets langzamer: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Het overgebrachte vermogen is P = (T₁ − T₂)·v, met T₁ de spanning in het trekkende deel en T₂ in het slappe deel. Wrijving beperkt de verhouding van de spanningen: T₁/T₂ = eμθ, waarbij θ de omspanningshoek in radialen op de kleinere schijf is; voor een open riem is θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) met hartafstand C.
Antwoord: nout = 375 rpm
Tandwieloverbrengingen: ingrijpende tandwielen hebben dezelfde snelheid bij de tanden, dus n₁·N₁ = n₂·N₂: het tandwiel met minder tanden draait sneller. Tandwielen op één as draaien met hetzelfde toerental. Het vermogen wordt doorgegeven (min verliezen), dus het koppel stijgt als het toerental daalt: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, en P = T·ω met ω = 2π·n/60.
totale overbrengingsverhouding = 8 : 1
Antwoord: T = 3,296 s
Harmonische trilling: een massa m aan een veer met veerconstante k trilt met hoekfrequentie ω = √(k/m) en trillingstijd T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Een mathematische slinger met lengte L heeft T = 2π·√(L/g). Bij amplitude A is de grootste snelheid A·ω, de grootste versnelling A·ω² en de energie ½·k·A².
Antwoord: vmax = 0,8652 m/s
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
De snelheid is het grootst in de evenwichtsstand.
Antwoord: ζ = 0,09798
Vrije trilling van een massa-veersysteem: de ongedempte eigenhoekfrequentie is ωn = √(k/m) in rad/s, en fn = ωn/(2π) in Hz. Een viskeuze demper c geeft de dempingsverhouding ζ = c/cc, met kritische demping cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Een ondergedempt systeem (ζ < 1) trilt met ωd = ωn·√(1 − ζ²). Parallelle veren tellen op, k = k₁ + k₂; veren in serie tellen op via hun omgekeerde, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
ζ < 1, dus het systeem is ondergedempt en trilt terwijl het uitdempt.
Antwoord: fn = 2,055 Hz
Vrije trilling van een massa-veersysteem: de ongedempte eigenhoekfrequentie is ωn = √(k/m) in rad/s, en fn = ωn/(2π) in Hz. Een viskeuze demper c geeft de dempingsverhouding ζ = c/cc, met kritische demping cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Een ondergedempt systeem (ζ < 1) trilt met ωd = ωn·√(1 − ζ²). Parallelle veren tellen op, k = k₁ + k₂; veren in serie tellen op via hun omgekeerde, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Alleen k1 en k2 staan parallel. Dat paar staat in serie met k3, dus combineer ze via hun omgekeerde.
ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics