Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 20 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.
Een auto die met 54 km/h rijdt, remt met een constante vertraging van 4 m/s² tot hij stilstaat. Bereken de remweg s.
Een tram vertrekt vanuit stilstand en versnelt 9 s lang met 2 m/s², rijdt daarna 18 s met constante snelheid en remt ten slotte af met 2,5 m/s² tot hij stilstaat. Vind de totale afstand s tussen de twee haltes.
Een blok van 13 kg glijdt een helling af die 30° met de horizontaal maakt. De kinetische wrijvingscoëfficiënt is 0,25. Gebruik g = 9,81 m/s². Bereken de versnelling a van het blok langs de helling.
Een blok krijgt een duw, zodat het met een snelheid van 11,5 m/s een helling onder 25° op begint te glijden. De kinetische wrijvingscoëfficiënt is 0,15. Gebruik g = 9,81 m/s². Hoe ver d glijdt het langs de helling voordat het stopt?
Een bal wordt onder 60° boven de horizontaal vanaf vlak terrein weggeschoten. Verwaarloos luchtweerstand. Vind de vliegtijd t tot de bal de grond raakt.
Een bal wordt onder 35° boven de horizontaal vanaf de top van een 55 m hoge klif weggeschoten. Verwaarloos luchtweerstand. Vind de vliegtijd t tot de bal de grond raakt.
Een auto neemt een vlakke bocht met een straal van 105 m. De statische wrijvingscoëfficiënt tussen banden en weg is 0,4. Gebruik g = 9,81 m/s². Bereken de hoogste snelheid vmax waarmee de auto de bocht kan nemen zonder te slippen.
Een bal van 1,9 kg aan een touw van 0,8 m wordt rondgeslingerd in een verticale cirkel. In het laagste punt beweegt hij met 4 m/s. Gebruik g = 9,81 m/s². Bereken de spankracht T in het touw in het laagste punt.
Een blok glijdt vanuit rust een helling af onder 35° met de horizontaal. De kinetische wrijvingscoëfficiënt is 0,3. Vind de snelheid v nadat het 7 m langs de helling is gegleden.
Een karretje van 10 kg wordt vanuit rust losgelaten op een hoogte van 6,4 m op een gladde baan die uitkomt in een verticale looping met straal 2 m. Vind de normaalkracht N die de baan bovenaan de looping op het karretje uitoefent.
Een karretje van 0,5 kg dat met 2 m/s rijdt, botst volkomen elastisch en frontaal op een stilstaand karretje van 2 kg op een wrijvingsloze baan. Bereken de snelheid v′1 van het eerste karretje na de botsing (positief in de oorspronkelijke richting).
Een bal van 0,55 kg raakt een muur met 13 m/s en kaatst recht terug met 4 m/s. Het contact duurt 10 ms. Bereken de grootte van de stoot J die de muur aan de bal geeft.
Een homogene slanke staaf met massa 10,5 kg en lengte 1,7 m is aan één uiteinde scharnierend bevestigd en wordt horizontaal vastgehouden. Hij wordt vanuit rust losgelaten. Gebruik g = 9,81 m/s². Bepaal zijn hoekversnelling α vlak na het loslaten.
Een holle bol rolt zonder slip van een helling die 25° met het horizontale vlak maakt. Gebruik g = 9,81 m/s². Hij begint vanuit rust. Hoe lang t duurt het om 4,5 m van de helling af te rollen?
Een motor van 1,1 kW die met 1500 rpm draait, drijft een rondsel met 15 tanden aan, dat ingrijpt in een tandwiel met 45 tanden. Het tandwielpaar heeft een rendement van 97%. Bereken het koppel T1 op de motoras.
In een samengestelde tandwieloverbrenging draait tandwiel A (18 tanden) op de ingaande as met 3000 rpm en drijft tandwiel B (48 tanden) aan. Tandwiel C (25 tanden) zit vast op dezelfde as als B en drijft tandwiel D op de uitgaande as aan. De uitgaande as moet met 937,5 rpm draaien. Hoeveel tanden ND moet tandwiel D hebben?
Hoe lang moet een mathematische slinger zijn om een slingertijd van 3 s te hebben? Gebruik g = 9,81 m/s². Bereken L.
Een voorwerp voert een harmonische trilling uit met trillingstijd 0,6 s en amplitude 6 cm. Wat is de kortste tijd t die het nodig heeft om van zijn maximale uitwijking van 6 cm naar een uitwijking van 1,5 cm te gaan?
Een massa van 80 kg wordt gedragen door een veer met een stijfheid van 25 kN/m en een viskeuze demper met een dempingscoëfficiënt van 1130 N·s/m. Vind de dempingsverhouding ζ.
Een massa van 40 kg hangt aan twee veren naast elkaar (parallel), met stijfheden k₁ = 60 kN/m en k₂ = 100 kN/m. De massa blijft horizontaal. Verwaarloos demping en de massa’s van de veren. Vind de eigenfrequentie fn van de verticale trilling in Hz.
Antwoord: s = 28,13 m
Beweging met constante versnelling: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² en v² = v₀² + 2·a·s. Kies de formule die de drie bekende grootheden en de gezochte grootheid bevat, en houd de tekens consequent bij één positieve richting.
Antwoord: s = 469,8 m
Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.
Antwoord: a = 2,781 m/s²
Tweede wet van Newton: de resulterende kracht op een lichaam is gelijk aan de massa maal de versnelling, ΣF = m·a. Teken een vrijlichaamsschema, kies een positieve richting langs de beweging en tel alle krachten in die richting op: uitgeoefende krachten, de wrijving μ·N tegen de beweging in, en de componenten van de zwaartekracht.
Langs de helling omlaag is positief.
Antwoord: d = 12,07 m
Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.
Beide krachten wijzen de helling af; de massa valt weg.
Antwoord: t = 2,119 s
Kogelbaan: zonder luchtweerstand geldt x = vxt en y = h + vyt − ½gt². De twee richtingen zijn onafhankelijk, behalve dat ze dezelfde tijd delen.
De horizontale snelheid blijft constant; de verticale beweging heeft een constante versnelling g = 9,81 m/s² omlaag.
Start en landing op dezelfde hoogte: t = 2vy/g.
Antwoord: t = 4,412 s
Kogelbaan: zonder luchtweerstand geldt x = vxt en y = h + vyt − ½gt². De twee richtingen zijn onafhankelijk, behalve dat ze dezelfde tijd delen.
De horizontale snelheid blijft constant; de verticale beweging heeft een constante versnelling g = 9,81 m/s² omlaag.
Los y(t) = h + vy·t − ½gt² = 0 op voor de positieve wortel.
Antwoord: vmax = 20,3 m/s
Eenparige cirkelbeweging: een voorwerp dat met snelheid v over een cirkel met straal r beweegt, versnelt naar het middelpunt met a = v²/r, dus het heeft een resulterende kracht naar binnen nodig: F = m·v²/r. Die kracht wordt geleverd door iets echts: wrijving, spankracht, zwaartekracht of een normaalkracht.
Antwoord: T = 56,64 N
Eenparige cirkelbeweging: een voorwerp dat met snelheid v over een cirkel met straal r beweegt, versnelt naar het middelpunt met a = v²/r, dus het heeft een resulterende kracht naar binnen nodig: F = m·v²/r. Die kracht wordt geleverd door iets echts: wrijving, spankracht, zwaartekracht of een normaalkracht.
Naar het middelpunt (omhoog) is positief.
Antwoord: v = 6,71 m/s
Arbeid-energiestelling: de verandering van kinetische energie is gelijk aan de arbeid van alle krachten. Door zwaartekracht en veren als potentiële energie te schrijven (mgh en ½kx²) wordt dit een balans: beginenergie = eindenergie + energie verloren aan wrijving (μN·d).
Het blok zakt een hoogte d·sin θ terwijl de wrijving μmg·cos θ·d wegneemt. De massa valt weg.
Antwoord: N = 137,3 N
Arbeid-energiestelling: de verandering van kinetische energie is gelijk aan de arbeid van alle krachten. Door zwaartekracht en veren als potentiële energie te schrijven (mgh en ½kx²) wordt dit een balans: beginenergie = eindenergie + energie verloren aan wrijving (μN·d). Op een cirkelbaan moet de nettokracht naar het middelpunt gelijk zijn aan mv²/r.
Het karretje komt er net rond als h = 2,5R; dan is N = 0 bovenaan.
Antwoord: v′1 = −1,2 m/s
Behoud van impuls: als er tijdens een botsing geen externe kracht werkt, is de totale impuls Σm·v vóór de botsing gelijk aan die erna. Snelheden hebben een richting, dus kies een positieve richting en geef snelheden in de andere richting een minteken. Bij een elastische botsing blijft ook de kinetische energie behouden; bij een volkomen inelastische botsing blijven de lichamen aan elkaar vast zitten.
Behoud van impuls en energie samen oplossen geeft deze twee resultaten.
Het minteken betekent dat het eerste karretje terugkaatst.
Antwoord: J = 9,35 N·s
Behoud van impuls: als er tijdens een botsing geen externe kracht werkt, is de totale impuls Σm·v vóór de botsing gelijk aan die erna. Snelheden hebben een richting, dus kies een positieve richting en geef snelheden in de andere richting een minteken. Bij een elastische botsing blijft ook de kinetische energie behouden; bij een volkomen inelastische botsing blijven de lichamen aan elkaar vast zitten.
Antwoord: α = 8,656 rad/s²
Rotation about a fixed axis: the sum of the moments about the axis equals I·α (ΣM = I·α), just as ΣF = m·a for translation. In energy form, a torque T turning through an angle θ (in radians) does work T·θ, which changes the kinetic energy ½·I·ω²; gravity adds or removes m·g·Δh of the centre of mass. Power is P = T·ω.
Op het moment van loslaten is ω = 0, dus er is geen middelpuntzoekende versnelling en het midden versnelt recht naar beneden.
Antwoord: t = 1,902 s
Rolling and angular momentum: a body rolling without slipping has v = ω·r, so its kinetic energy is ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). Down a slope that gives a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). When no external moment acts about an axis, the angular momentum about that axis stays constant, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, even if kinetic energy is lost.
Antwoord: T1 = 7,003 N·m
Tandwieloverbrengingen: ingrijpende tandwielen hebben dezelfde snelheid bij de tanden, dus n₁·N₁ = n₂·N₂: het tandwiel met minder tanden draait sneller. Tandwielen op één as draaien met hetzelfde toerental. Het vermogen wordt doorgegeven (min verliezen), dus het koppel stijgt als het toerental daalt: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, en P = T·ω met ω = 2π·n/60.
Antwoord: ND = 30
Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.
Antwoord: L = 2,236 m
Harmonische trilling: een massa m aan een veer met veerconstante k trilt met hoekfrequentie ω = √(k/m) en trillingstijd T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Een mathematische slinger met lengte L heeft T = 2π·√(L/g). Bij amplitude A is de grootste snelheid A·ω, de grootste versnelling A·ω² en de energie ½·k·A².
Antwoord: t = 0,1259 s
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
Antwoord: ζ = 0,3995
Vrije trilling van een massa-veersysteem: de ongedempte eigenhoekfrequentie is ωn = √(k/m) in rad/s, en fn = ωn/(2π) in Hz. Een viskeuze demper c geeft de dempingsverhouding ζ = c/cc, met kritische demping cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Een ondergedempt systeem (ζ < 1) trilt met ωd = ωn·√(1 − ζ²). Parallelle veren tellen op, k = k₁ + k₂; veren in serie tellen op via hun omgekeerde, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
ζ < 1, dus het systeem is ondergedempt en trilt terwijl het uitdempt.
Antwoord: fn = 10,07 Hz
Vrije trilling van een massa-veersysteem: de ongedempte eigenhoekfrequentie is ωn = √(k/m) in rad/s, en fn = ωn/(2π) in Hz. Een viskeuze demper c geeft de dempingsverhouding ζ = c/cc, met kritische demping cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Een ondergedempt systeem (ζ < 1) trilt met ωd = ωn·√(1 − ζ²). Parallelle veren tellen op, k = k₁ + k₂; veren in serie tellen op via hun omgekeerde, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Veren naast elkaar hebben dezelfde doorbuiging en hun krachten tellen op, dus hun stijfheden tellen gewoon op: k = k1 + k2.
ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics