Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 20 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.
Een vliegtuig vertrekt vanuit stilstand en versnelt eenparig met 1,5 m/s² over een startbaan. Vind de snelheid v na 1800 m.
Een modelraket wordt vanuit rust recht omhoog gelanceerd. De motor geeft hem 1,5 s lang een constante opwaartse versnelling van 34 m/s², waarna de motor stopt en de raket vrij beweegt. Verwaarloos de luchtweerstand en gebruik g = 9,81 m/s². Vind de grootste hoogte hmax die de raket bereikt.
Een blok van 18 kg glijdt een helling af die 30° met de horizontaal maakt. De kinetische wrijvingscoëfficiënt is 0,1. Gebruik g = 9,81 m/s². Bereken de versnelling a van het blok langs de helling.
Een blok krijgt een duw, zodat het met een snelheid van 5 m/s een helling onder 25° op begint te glijden. De kinetische wrijvingscoëfficiënt is 0,3. Gebruik g = 9,81 m/s². Hoe ver d glijdt het langs de helling voordat het stopt?
Een bal wordt vanaf vlakke grond gelanceerd onder 20° boven de horizontaal en landt 45 m verderop. Verwaarloos de luchtweerstand en gebruik g = 9,81 m/s². Vind de beginsnelheid v0.
Een bal wordt onder 20° boven de horizontaal vanaf de top van een 50 m hoge klif weggeschoten. Verwaarloos luchtweerstand. Vind de horizontale afstand x die de bal aflegt voordat hij de grond raakt.
Een auto neemt een vlakke bocht met een straal van 145 m. De statische wrijvingscoëfficiënt tussen banden en weg is 0,4. Gebruik g = 9,81 m/s². Bereken de hoogste snelheid vmax waarmee de auto de bocht kan nemen zonder te slippen.
Een bal van 1,2 kg aan een licht touw van 0,9 m lang wordt in een verticale cirkel rondgeslingerd. In het laagste punt is zijn snelheid 12 m/s. Verwaarloos de luchtweerstand en gebruik g = 9,81 m/s². Vind de spankracht Ttop in het touw in het hoogste punt.
Een auto van 2000 kg rijdt met een constante 36 km/h een helling van 3° op. Luchtweerstand en rolweerstand samen bedragen 600 N. Vind het vermogen P dat de wielen moeten leveren, in kW.
Een blok van 2 kg wordt vanuit rust losgelaten op hoogte 2,5 m op een gladde helling. Onderaan steekt het een ruwe horizontale strook van 2 m over (μ = 0,25) en loopt daarna tegen een veer (k = 500 N/m) op een glad oppervlak. Vind de maximale indrukking x van de veer.
Een kogel van 5 g wordt horizontaal afgevuurd in een houten blok van 3,5 kg dat aan lichte touwtjes hangt, en blijft erin steken. Het blok zwaait omhoog tot het 7 cm hoger is dan aan het begin. Gebruik g = 9,81 m/s². Vind de snelheid v van de kogel vóór de inslag.
Een bal van 0,1 kg raakt een muur met 28 m/s en kaatst recht terug met 17 m/s. Het contact duurt 5 ms. Bereken de grootte van de stoot J die de muur aan de bal geeft.
Een homogene slanke staaf met massa 13,5 kg en lengte 1,6 m is aan één uiteinde scharnierend bevestigd en wordt horizontaal vastgehouden. Hij wordt vanuit rust losgelaten. Gebruik g = 9,81 m/s². Bepaal de verticale kracht R die het scharnier vlak na het loslaten op de staaf uitoefent.
Een massieve bol met massa 3,5 kg rolt zonder slip met 9 m/s. Bepaal zijn totale kinetische energie Ek.
Een motor van 15 kW die met 2900 rpm draait, drijft een rondsel met 25 tanden aan, dat ingrijpt in een tandwiel met 32 tanden. Verwaarloos verliezen. Bereken het uitgaande koppel T2 op de as van het tandwiel.
In een meertraps tandwieloverbrenging drijft tandwiel A (36 tanden) op de ingaande as, die met 960 rpm draait, tandwiel B (50 tanden) aan. Tandwiel C (15 tanden) zit vast op dezelfde as als B en drijft tandwiel D (60 tanden) op de uitgaande as aan. Bereken het uitgaande toerental nout.
Hoe lang moet een mathematische slinger zijn om een slingertijd van 1,1 s te hebben? Gebruik g = 9,81 m/s². Bereken L.
Een massa van 1,9 kg aan een veer met k = 380 N/m wordt 12 cm uit de evenwichtsstand getrokken en losgelaten. Bereken de totale energie E van de trilling.
Een massa van 10 kg aan een veer met een stijfheid van 150 kN/m heeft een viskeuze demper die een dempingsverhouding van 0,5 geeft. Vind de gedempte eigenfrequentie fd van de vrije trilling in Hz.
Een massa van 100 kg hangt aan twee veren naast elkaar (parallel), met stijfheden k₁ = 60 kN/m en k₂ = 30 kN/m. De massa blijft horizontaal. Verwaarloos demping en de massa’s van de veren. Vind de eigenfrequentie fn van de verticale trilling in Hz.
Antwoord: v = 73,48 m/s
Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.
Antwoord: hmax = 170,8 m
Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.
Bovenaan is de snelheid nul.
Antwoord: a = 4,055 m/s²
Tweede wet van Newton: de resulterende kracht op een lichaam is gelijk aan de massa maal de versnelling, ΣF = m·a. Teken een vrijlichaamsschema, kies een positieve richting langs de beweging en tel alle krachten in die richting op: uitgeoefende krachten, de wrijving μ·N tegen de beweging in, en de componenten van de zwaartekracht.
Langs de helling omlaag is positief.
Antwoord: d = 1,835 m
Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.
Beide krachten wijzen de helling af; de massa valt weg.
Antwoord: v0 = 26,21 m/s
Projectile motion: with no air resistance, x = vxt and y = h + vyt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.
Antwoord: x = 57,12 m
Kogelbaan: zonder luchtweerstand geldt x = vxt en y = h + vyt − ½gt². De twee richtingen zijn onafhankelijk, behalve dat ze dezelfde tijd delen.
De horizontale snelheid blijft constant; de verticale beweging heeft een constante versnelling g = 9,81 m/s² omlaag.
Los y(t) = h + vy·t − ½gt² = 0 op voor de positieve wortel.
Antwoord: vmax = 23,85 m/s
Eenparige cirkelbeweging: een voorwerp dat met snelheid v over een cirkel met straal r beweegt, versnelt naar het middelpunt met a = v²/r, dus het heeft een resulterende kracht naar binnen nodig: F = m·v²/r. Die kracht wordt geleverd door iets echts: wrijving, spankracht, zwaartekracht of een normaalkracht.
Antwoord: Ttop = 133,1 N
Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.
Kinetische energie wordt over een hoogte 2r omgezet in potentiële energie.
Spankracht en zwaartekracht wijzen allebei omlaag, naar het middelpunt.
Antwoord: P = 16,27 kW
Arbeid-energiestelling: de verandering van kinetische energie is gelijk aan de arbeid van alle krachten. Door zwaartekracht en veren als potentiële energie te schrijven (mgh en ½kx²) wordt dit een balans: beginenergie = eindenergie + energie verloren aan wrijving (μN·d). Vermogen is kracht maal snelheid: P = F·v.
Antwoord: x = 39,62 cm
Arbeid-energiestelling: de verandering van kinetische energie is gelijk aan de arbeid van alle krachten. Door zwaartekracht en veren als potentiële energie te schrijven (mgh en ½kx²) wordt dit een balans: beginenergie = eindenergie + energie verloren aan wrijving (μN·d).
De helling is glad, dus alleen de strook neemt energie weg.
Antwoord: v = 821,5 m/s
Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.
Antwoord: J = 4,5 N·s
Behoud van impuls: als er tijdens een botsing geen externe kracht werkt, is de totale impuls Σm·v vóór de botsing gelijk aan die erna. Snelheden hebben een richting, dus kies een positieve richting en geef snelheden in de andere richting een minteken. Bij een elastische botsing blijft ook de kinetische energie behouden; bij een volkomen inelastische botsing blijven de lichamen aan elkaar vast zitten.
Antwoord: R = 33,11 N
Rotation about a fixed axis: the sum of the moments about the axis equals I·α (ΣM = I·α), just as ΣF = m·a for translation. In energy form, a torque T turning through an angle θ (in radians) does work T·θ, which changes the kinetic energy ½·I·ω²; gravity adds or removes m·g·Δh of the centre of mass. Power is P = T·ω.
Op het moment van loslaten is ω = 0, dus er is geen middelpuntzoekende versnelling en het midden versnelt recht naar beneden.
R = m·g/4, onafhankelijk van de lengte.
Antwoord: Ek = 198,4 J
Rolling and angular momentum: a body rolling without slipping has v = ω·r, so its kinetic energy is ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). Down a slope that gives a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). When no external moment acts about an axis, the angular momentum about that axis stays constant, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, even if kinetic energy is lost.
Antwoord: T2 = 63,22 N·m
Tandwieloverbrengingen: ingrijpende tandwielen hebben dezelfde snelheid bij de tanden, dus n₁·N₁ = n₂·N₂: het tandwiel met minder tanden draait sneller. Tandwielen op één as draaien met hetzelfde toerental. Het vermogen wordt doorgegeven (min verliezen), dus het koppel stijgt als het toerental daalt: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, en P = T·ω met ω = 2π·n/60.
Antwoord: nout = 172,8 rpm
Tandwieloverbrengingen: ingrijpende tandwielen hebben dezelfde snelheid bij de tanden, dus n₁·N₁ = n₂·N₂: het tandwiel met minder tanden draait sneller. Tandwielen op één as draaien met hetzelfde toerental. Het vermogen wordt doorgegeven (min verliezen), dus het koppel stijgt als het toerental daalt: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, en P = T·ω met ω = 2π·n/60.
totale overbrengingsverhouding = 5,556 : 1
Antwoord: L = 0,3007 m
Harmonische trilling: een massa m aan een veer met veerconstante k trilt met hoekfrequentie ω = √(k/m) en trillingstijd T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Een mathematische slinger met lengte L heeft T = 2π·√(L/g). Bij amplitude A is de grootste snelheid A·ω, de grootste versnelling A·ω² en de energie ½·k·A².
Antwoord: E = 2,736 J
Harmonische trilling: een massa m aan een veer met veerconstante k trilt met hoekfrequentie ω = √(k/m) en trillingstijd T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Een mathematische slinger met lengte L heeft T = 2π·√(L/g). Bij amplitude A is de grootste snelheid A·ω, de grootste versnelling A·ω² en de energie ½·k·A².
Antwoord: fd = 16,88 Hz
Vrije trilling van een massa-veersysteem: de ongedempte eigenhoekfrequentie is ωn = √(k/m) in rad/s, en fn = ωn/(2π) in Hz. Een viskeuze demper c geeft de dempingsverhouding ζ = c/cc, met kritische demping cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Een ondergedempt systeem (ζ < 1) trilt met ωd = ωn·√(1 − ζ²). Parallelle veren tellen op, k = k₁ + k₂; veren in serie tellen op via hun omgekeerde, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Antwoord: fn = 4,775 Hz
Vrije trilling van een massa-veersysteem: de ongedempte eigenhoekfrequentie is ωn = √(k/m) in rad/s, en fn = ωn/(2π) in Hz. Een viskeuze demper c geeft de dempingsverhouding ζ = c/cc, met kritische demping cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Een ondergedempt systeem (ζ < 1) trilt met ωd = ωn·√(1 − ζ²). Parallelle veren tellen op, k = k₁ + k₂; veren in serie tellen op via hun omgekeerde, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Veren naast elkaar hebben dezelfde doorbuiging en hun krachten tellen op, dus hun stijfheden tellen gewoon op: k = k1 + k2.
ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics