Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 20 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.
Een auto die met 90 km/h rijdt, remt met een constante vertraging van 4 m/s² tot hij stilstaat. Hoelang duurt het remmen? Bereken t.
Bal A wordt vanuit rust losgelaten op een hoogte van 20 m. Op hetzelfde moment wordt bal B recht eronder vanaf de grond recht omhoog gegooid met 13 m/s. Verwaarloos de luchtweerstand en gebruik g = 9,81 m/s². Wanneer ontmoeten de ballen elkaar? Vind t.
Een blok van 16 kg glijdt een helling af die 20° met de horizontaal maakt. De kinetische wrijvingscoëfficiënt is 0,2. Gebruik g = 9,81 m/s². Bereken de versnelling a van het blok langs de helling.
Een blok van 1 kg op een horizontale tafel is via een licht touw over een wrijvingsloze katrol verbonden met een hangende massa van 2 kg. De kinetische wrijvingscoëfficiënt tussen blok en tafel is 0,25. Gebruik g = 9,81 m/s². Bereken de spankracht T in het touw.
Een bal wordt onder 25° boven de horizontaal vanaf vlak terrein weggeschoten. Verwaarloos luchtweerstand. Vind de maximale hoogte H die de bal bereikt.
Een bal wordt onder 60° boven de horizontaal vanaf de top van een 55 m hoge klif weggeschoten. Verwaarloos luchtweerstand. Vind de horizontale afstand x die de bal aflegt voordat hij de grond raakt.
Een auto neemt een vlakke bocht met een straal van 25 m. De statische wrijvingscoëfficiënt tussen banden en weg is 0,7. Gebruik g = 9,81 m/s². Bereken de hoogste snelheid vmax waarmee de auto de bocht kan nemen zonder te slippen.
Een bocht met straal 120 m heeft een verkanting van 18°, en de statische wrijvingscoëfficiënt tussen banden en weg is 0,3. Gebruik g = 9,81 m/s². Vind de hoogste snelheid vmax waarmee een auto de bocht kan nemen zonder naar boven en naar buiten te glijden.
Een blok van 2 kg glijdt 6 m een helling af onder 20° met de horizontaal, met een kinetische wrijvingscoëfficiënt van 0,25. Vind de arbeid Wf tegen de wrijving.
Een blok van 2 kg wordt vanuit rust losgelaten op hoogte 4 m op een gladde helling. Onderaan steekt het een ruwe horizontale strook van 1 m over (μ = 0,25) en loopt daarna tegen een veer (k = 800 N/m) op een glad oppervlak. Vind de maximale indrukking x van de veer.
Een kogel van 15 g wordt horizontaal afgevuurd in een houten blok van 4 kg dat aan lichte touwtjes hangt, en blijft erin steken. Het blok zwaait omhoog tot het 4 cm hoger is dan aan het begin. Gebruik g = 9,81 m/s². Vind de snelheid v van de kogel vóór de inslag.
Een bal van 0,55 kg raakt een muur met 17 m/s en kaatst recht terug met 13 m/s. Het contact duurt 40 ms. Bereken de grootte van de stoot J die de muur aan de bal geeft.
Een vliegwiel met een traagheidsmoment van 20,5 kg·m² draait met 1400 rpm. Een rem oefent een constant wrijvingskoppel van 75 N·m uit. Hoe lang t duurt het voordat het stilstaat?
Een massieve cilinder rolt zonder slip van een helling die 10° met het horizontale vlak maakt. Gebruik g = 9,81 m/s². Bepaal de versnelling a van zijn zwaartepunt.
Een riem loopt op een aandrijvende schijf van 120 mm met 720 rpm. De spanning is 800 N in het trekkende deel en 200 N in het slappe deel. Bepaal het overgebrachte vermogen P, in kW.
In een planetaire tandwielset heeft het zonnewiel 18 tanden en elk planeetwiel 24 tanden. De planeetdrager wordt vastgehouden en het zonnewiel wordt aangedreven met 600 rpm. Vind het toerental nr van het ringwiel (grootte).
Hoe lang moet een mathematische slinger zijn om een slingertijd van 2,9 s te hebben? Gebruik g = 9,81 m/s². Bereken L.
Een massa van 0,3 kg wordt aan het onderste uiteinde van een onbelaste verticale veer met k = 350 N/m gehangen en vanuit rust losgelaten. Gebruik g = 9,81 m/s². Vind de grootste snelheid vmax van de massa.
Een massa van 25 kg aan een veer met een stijfheid van 20 kN/m heeft een viskeuze demper die een dempingsverhouding van 0,3 geeft. Vind de gedempte eigenfrequentie fd van de vrije trilling in Hz.
Een massa van 5 kg hangt aan veer k₃ = 40 kN/m. De bovenkant van k₃ zit vast aan een starre balk die aan twee veren naast elkaar hangt, k₁ = 12 kN/m en k₂ = 100 kN/m; de balk blijft horizontaal. Verwaarloos demping en de massa’s van de veren en de balk. Vind de eigenfrequentie fn van de verticale trilling in Hz.
Antwoord: t = 6,25 s
Beweging met constante versnelling: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² en v² = v₀² + 2·a·s. Kies de formule die de drie bekende grootheden en de gezochte grootheid bevat, en houd de tekens consequent bij één positieve richting.
Antwoord: t = 1,538 s
Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.
Omhoog is positief, de grond is y = 0.
Antwoord: a = 1,512 m/s²
Tweede wet van Newton: de resulterende kracht op een lichaam is gelijk aan de massa maal de versnelling, ΣF = m·a. Teken een vrijlichaamsschema, kies een positieve richting langs de beweging en tel alle krachten in die richting op: uitgeoefende krachten, de wrijving μ·N tegen de beweging in, en de componenten van de zwaartekracht.
Langs de helling omlaag is positief.
Antwoord: T = 8,175 N
Tweede wet van Newton: de resulterende kracht op een lichaam is gelijk aan de massa maal de versnelling, ΣF = m·a. Teken een vrijlichaamsschema, kies een positieve richting langs de beweging en tel alle krachten in die richting op: uitgeoefende krachten, de wrijving μ·N tegen de beweging in, en de componenten van de zwaartekracht.
Antwoord: H = 3,641 m
Kogelbaan: zonder luchtweerstand geldt x = vxt en y = h + vyt − ½gt². De twee richtingen zijn onafhankelijk, behalve dat ze dezelfde tijd delen.
De horizontale snelheid blijft constant; de verticale beweging heeft een constante versnelling g = 9,81 m/s² omlaag.
Bovenaan is de verticale snelheid nul: vy² = 2gH.
Antwoord: x = 109,5 m
Kogelbaan: zonder luchtweerstand geldt x = vxt en y = h + vyt − ½gt². De twee richtingen zijn onafhankelijk, behalve dat ze dezelfde tijd delen.
De horizontale snelheid blijft constant; de verticale beweging heeft een constante versnelling g = 9,81 m/s² omlaag.
Los y(t) = h + vy·t − ½gt² = 0 op voor de positieve wortel.
Antwoord: vmax = 13,1 m/s
Eenparige cirkelbeweging: een voorwerp dat met snelheid v over een cirkel met straal r beweegt, versnelt naar het middelpunt met a = v²/r, dus het heeft een resulterende kracht naar binnen nodig: F = m·v²/r. Die kracht wordt geleverd door iets echts: wrijving, spankracht, zwaartekracht of een normaalkracht.
Antwoord: vmax = 28,55 m/s
Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.
De wrijving wijst de helling af.
Antwoord: Wf = 27,66 J
Arbeid-energiestelling: de verandering van kinetische energie is gelijk aan de arbeid van alle krachten. Door zwaartekracht en veren als potentiële energie te schrijven (mgh en ½kx²) wordt dit een balans: beginenergie = eindenergie + energie verloren aan wrijving (μN·d).
Antwoord: x = 42,89 cm
Arbeid-energiestelling: de verandering van kinetische energie is gelijk aan de arbeid van alle krachten. Door zwaartekracht en veren als potentiële energie te schrijven (mgh en ½kx²) wordt dit een balans: beginenergie = eindenergie + energie verloren aan wrijving (μN·d).
De helling is glad, dus alleen de strook neemt energie weg.
Antwoord: v = 237,1 m/s
Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.
Antwoord: J = 16,5 N·s
Behoud van impuls: als er tijdens een botsing geen externe kracht werkt, is de totale impuls Σm·v vóór de botsing gelijk aan die erna. Snelheden hebben een richting, dus kies een positieve richting en geef snelheden in de andere richting een minteken. Bij een elastische botsing blijft ook de kinetische energie behouden; bij een volkomen inelastische botsing blijven de lichamen aan elkaar vast zitten.
Antwoord: t = 40,07 s
Rotation about a fixed axis: the sum of the moments about the axis equals I·α (ΣM = I·α), just as ΣF = m·a for translation. In energy form, a torque T turning through an angle θ (in radians) does work T·θ, which changes the kinetic energy ½·I·ω²; gravity adds or removes m·g·Δh of the centre of mass. Power is P = T·ω.
Antwoord: a = 1,136 m/s²
Rolling and angular momentum: a body rolling without slipping has v = ω·r, so its kinetic energy is ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). Down a slope that gives a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). When no external moment acts about an axis, the angular momentum about that axis stays constant, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, even if kinetic energy is lost.
Antwoord: P = 2,714 kW
Riemaandrijvingen: zonder slip hebben beide schijven dezelfde omtreksnelheid v = π·d·n/60, dus n₁·d₁ = n₂·d₂ en de overbrengingsverhouding is d₂/d₁. Slip s maakt de aangedreven schijf iets langzamer: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Het overgebrachte vermogen is P = (T₁ − T₂)·v, met T₁ de spanning in het trekkende deel en T₂ in het slappe deel. Wrijving beperkt de verhouding van de spanningen: T₁/T₂ = eμθ, waarbij θ de omspanningshoek in radialen op de kleinere schijf is; voor een open riem is θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) met hartafstand C.
Antwoord: nr = 163,6 rpm
Planetaire tandwielsets: de toerentallen van zonnewiel, ringwiel en planeetdrager hangen samen via de vergelijking van Willis (ns − nc)/(nr − nc) = −Nr/Ns: gezien vanaf de planeetdrager is de set een gewone overbrenging met de planeetwielen als tussenwielen. Als je één deel vastzet, wordt de set een vertraging met één vaste verhouding.
Met nc = 0 drijft het zonnewiel het ringwiel aan via de planeetwielen, die als tussenwielen werken.
Het ringwiel draait tegengesteld aan het zonnewiel.
Antwoord: L = 2,09 m
Harmonische trilling: een massa m aan een veer met veerconstante k trilt met hoekfrequentie ω = √(k/m) en trillingstijd T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Een mathematische slinger met lengte L heeft T = 2π·√(L/g). Bij amplitude A is de grootste snelheid A·ω, de grootste versnelling A·ω² en de energie ½·k·A².
Antwoord: vmax = 0,2872 m/s
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
De snelheid is het grootst in de evenwichtsstand.
Antwoord: fd = 4,294 Hz
Vrije trilling van een massa-veersysteem: de ongedempte eigenhoekfrequentie is ωn = √(k/m) in rad/s, en fn = ωn/(2π) in Hz. Een viskeuze demper c geeft de dempingsverhouding ζ = c/cc, met kritische demping cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Een ondergedempt systeem (ζ < 1) trilt met ωd = ωn·√(1 − ζ²). Parallelle veren tellen op, k = k₁ + k₂; veren in serie tellen op via hun omgekeerde, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Antwoord: fn = 12,22 Hz
Vrije trilling van een massa-veersysteem: de ongedempte eigenhoekfrequentie is ωn = √(k/m) in rad/s, en fn = ωn/(2π) in Hz. Een viskeuze demper c geeft de dempingsverhouding ζ = c/cc, met kritische demping cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Een ondergedempt systeem (ζ < 1) trilt met ωd = ωn·√(1 − ζ²). Parallelle veren tellen op, k = k₁ + k₂; veren in serie tellen op via hun omgekeerde, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Alleen k1 en k2 staan parallel. Dat paar staat in serie met k3, dus combineer ze via hun omgekeerde.
ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics