Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.
1Formules en methoden
Statistiek voor evidence-based practice
Sensitiviteit en specificiteit
Se = a/(a + c), Sp = d/(b + d)
Voorspellende waarden
PPV = a/(a + b), NPV = d/(c + d)
Accuratesse
(a + d)/n
Likelihoodratio’s
LR+ = Se/(1 − Sp), LR− = (1 − Se)/Sp
PPV bij prevalentie p
Se·p / (Se·p + (1 − Sp)(1 − p))
Odds
odds = p/(1 − p); p = odds/(1 + odds); natestodds = voortestodds × LR
Risicomaten
RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER
Number needed to treat
NNT = 1/ARR, naar boven afgerond; NNH = 1/(EER − CER)
Odds ratio
OR = ad/(bc)
Incidentiedichtheid
nieuwe gevallen / persoonstijd
Methode
Teken de 2 × 2-tabel en benoem a, b, c en d voordat je rekent.
Lees sensitiviteit en specificiteit langs de kolommen, voorspellende waarden langs de rijen.
Stel je voor een andere prevalentie 10,000 mensen voor en vul de tabel met Se, Sp en de prevalentie.
Reken voor een likelihoodratio de kans om naar odds, vermenigvuldig en reken terug.
Bepaal bij een trial eerst EER en CER; dan RR = EER/CER, ARR = CER − EER en NNT = 1/ARR naar boven afgerond.
Beschrijvende statistiek
Gemiddelde
x̄ = Σx/n
Steekproefstandaardafwijking
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediaan
middelste waarde van de gesorteerde gegevens
z-score
z = (x − μ)/σ
Normale verdeling
68% binnen ±1σ, 95% binnen ±2σ
Betrouwbaarheidsintervallen
σ bekend
x̄ ± z·σ/√n
σ onbekend
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritieke z
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Steekproefomvang
n = (z·σ/E)², rounded up
Methode
Kies tussen z (σ van de populatie bekend) en t (alleen de steekproef-s, met n − 1 vrijheidsgraden).
Zoek de kritieke waarde bij het betrouwbaarheidsniveau.
Foutmarge: E = kritieke waarde × standaardafwijking/√n.
Interval: x̄ ± E.
Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen
z-toets voor een gemiddelde
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
t-toets voor een gemiddelde
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Tweezijdig bij 5%
verwerp H0 als |z| > 1,96
Betrouwbaarheidsinterval
x̄ ± z·σ/√n
Methode
Formuleer H₀ en H₁ en bepaal of de toets een- of tweezijdig is.
Bereken de toetsingsgrootheid: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), of met s en t.
Vergelijk met de kritieke waarde, of bepaal de p-waarde.
Verwerp H₀ als de toetsingsgrootheid voorbij de kritieke waarde ligt (p kleiner dan α), en formuleer de conclusie in woorden.
2Oefenopgaven
1.Statistiek voor evidence-based practiceGemiddeld
Oefenopgave (verzonnen waarden, geen klinisch advies). In een cohort werden groepen mensen verschillend lang gevolgd (zie de tabel: aantal mensen en jaren follow-up per groep). Tijdens de follow-up traden 167 nieuwe gevallen op. Bepaal de incidentiedichtheid IR per 1000 persoonsjaren. Rond af op één decimaal.
Oefenopgave (verzonnen waarden, geen klinisch advies). Een screeningstest heeft een sensitiviteit van 90% en een specificiteit van 83%. Hij wordt gebruikt in een populatie met een prevalentie van 0,5%. Bepaal de positief voorspellende waarde PPV als percentage. Rond af op één decimaal.
Se = 90%Sp = 83%p = 0,5%
PPV = %
3.Beschrijvende statistiekGemiddeld
Bereken de steekproefstandaardafwijking s van de gegevens: 49, 47, 16, 50, 41, 35, 27.
n = 7
s =
4.Beschrijvende statistiekMoeilijk
Tentamencijfers zijn normaal verdeeld met gemiddelde 170 en standaardafwijking 5. Bereken de z-score z van een score van 165.
μ = 170σ = 5x = 165
z =
5.BetrouwbaarheidsintervallenGemiddeld
De bloeddruk van 7 patiënten wordt gemeten voor en na een behandeling. De verschillen d = voor − na (mmHg) hebben gemiddelde 3,8 en standaardafwijking 1,7. Bereken de ondergrens van het 95%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde verschil.
n = 7d̄ = 3,8sd = 1,795%t(6) = 2,447
ondergrens = mmHg
6.BetrouwbaarheidsintervallenMoeilijk
De diameters van 10 bewerkte assen hebben een steekproefstandaardafwijking van 1,8 µm. Neem aan dat de diameters normaal verdeeld zijn en bereken de ondergrens σ van het 95%-betrouwbaarheidsinterval voor de standaardafwijking van de populatie. Bij df = 9 ligt 2,5% van de χ²-verdeling onder 2,7 en 2,5% boven 19,023.
16 werknemers doen een typetest voor en na een training. Voor elke persoon wordt het verschil d = na − voor (woorden per minuut) genoteerd. Het gemiddelde verschil is 1,44 en de standaardafwijking van de verschillen is 3,4. Bereken de toetsingsgrootheid t van de gepaarde toets voor H₀: μd = 0.
In een onderzoek herstellen 30 van de 100 patiënten met behandeling A en 108 van de 250 patiënten met behandeling B. Bereken met de gepoolde fractie de toetsingsgrootheid z voor H₀: p₁ = p₂.
x₁ = 30n₁ = 100x₂ = 108n₂ = 250
z =
3Oplossingen
1.Statistiek voor evidence-based practice
Antwoord: IR = 43,3 per 1000 persoonsjaren
Likelihoodratio’s en risicomaten: LR+ = sensitiviteit/(1 − specificiteit), LR− = (1 − sensitiviteit)/specificiteit. In een trial zijn EER en CER de gebeurtenisfrequenties met en zonder behandeling: RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER en NNT = 1/ARR, naar boven afgerond. In een patiënt-controleonderzoek kan alleen de odds ratio OR = ad/(bc) worden gebruikt. Een incidentiedichtheid = nieuwe gevallen/persoonstijd.
Persoonsjaren
PY = 180·2 + 220·5 + 480·5 = 3860
Incidentiedichtheid
IR = 167/3860·1000 = 43,3 per 1000 persoonsjaren
Antwoord
IR = 43,3 per 1000 persoonsjaren
2.Statistiek voor evidence-based practice
Antwoord: PPV = 2,6 %
Voorspellende waarden hangen af van de prevalentie: PPV = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p)) en NPV = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p). Met likelihoodratio’s: voortestodds = p/(1 − p), natestodds = voortestodds × LR, kans = odds/(1 + odds). Voor een populatie van N is het aantal terecht positieven = N·p·Se en het aantal onterecht positieven = N·(1 − p)·(1 − Sp). NNT = 1/(CER × RRR), naar boven afgerond.
Terecht en onterecht positieven (per persoon)
Se·p = 0,9·0,005 = 0,0045
(1 − Sp)·(1 − p) = 0,17·0,995 = 0,1692
Positief voorspellende waarde
PPV = 0,0045/(0,0045 + 0,1692) = 0,02591 ≈ 2,6%
Antwoord
PPV = 2,6%
Hoe lager de prevalentie, hoe lager de PPV van dezelfde test.
3.Beschrijvende statistiek
Antwoord: s = 12,71
Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.
Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.
Standaardiseren
z = (165 − 170)/5 = −1
Antwoord
z = −1
5.Betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: ondergrens = 2,228 mmHg
Interval voor een verschil: schatting ± kritieke waarde × standaardfout. Voor twee onafhankelijke gemiddelden met bekende σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) en z. Bij gelijke, onbekende varianties: de gepoolde s_p en t met n₁ + n₂ − 2 vrijheidsgraden. Bij gepaarde data werk je met de verschillen: d̄ ± t·s_d/√n.
Kritieke waarde
df = 6, t = 2,447
Foutmarge
E = 2,447·1,7/√7 = 1,572
Interval
3,8 ± 1,572 → [2,228, 5,372]
Antwoord
ondergrens = 2,228 mmHg
6.Betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: σ = 1,238 µm
Interval voor een variantie: (n − 1)s²/σ² heeft een χ²-verdeling met n − 1 vrijheidsgraden. Het 95%-interval voor σ² loopt van (n − 1)s² gedeeld door de bovenste χ²-waarde (2,5% erboven) tot (n − 1)s² gedeeld door de onderste χ²-waarde (2,5% eronder); het interval voor σ is de wortel van beide grenzen. Het is niet symmetrisch rond s.
Kwadratensom
(n − 1)s² = 9·1,8² = 29,16
Grenzen voor σ²
29,16/19,023 = 1,533
29,16/2,7 = 10,8
Grens voor σ
σ = √1,533 = 1,238 µm
Antwoord
σ = 1,238 µm
95%-interval voor σ: [1,238, 3,286] µm.
7.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: t = 1,694
Toetsen van een gemiddelde: de toetsingsgrootheid meet hoeveel standaardfouten het steekproefgemiddelde van de waarde in H₀ af ligt: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) als σ bekend is, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) als die uit de steekproef wordt geschat. Een betrouwbaarheidsinterval is x̄ ± (kritieke waarde)·(standaardfout).
Standaardfout van het gemiddelde verschil
SE = 3,4/√16 = 0,85
Toetsingsgrootheid
t = 1,44/0,85 = 1,694
Antwoord
t = 1,694
Bij df = 15 is de tweezijdige kritieke waarde bij 5% gelijk aan 2,131; |t| is kleiner, dus H₀ wordt niet verworpen.
8.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: z = −2,283
Hypothesetoets: de toetsingsgrootheid = (schatting − waarde onder H₀)/(standaardfout onder H₀). De p-waarde is de kans, als H₀ waar is, op een toetsingsgrootheid die minstens zo extreem is als de waargenomen: de oppervlakte in één staart bij een eenzijdige H₁, twee keer de staartoppervlakte bij een tweezijdige H₁. Verwerp H₀ als p ≤ α.
Steekproeffracties
p̂₁ = 30/100 = 0,3
p̂₂ = 108/250 = 0,432
p̂ = 138/350 = 0,3943
Standaardfout onder H₀
SE = √(0,3943·0,6057·(1/100 + 1/250)) = 0,05782
Toetsingsgrootheid
z = (0,3 − 0,432)/0,05782 = −2,283
Antwoord
z = −2,283
|z| > 1,96, dus H₀ wordt verworpen op het 5%-niveau (tweezijdig).