Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.
1Formules en methoden
Statistiek voor evidence-based practice
Sensitiviteit en specificiteit
Se = a/(a + c), Sp = d/(b + d)
Voorspellende waarden
PPV = a/(a + b), NPV = d/(c + d)
Accuratesse
(a + d)/n
Likelihoodratio’s
LR+ = Se/(1 − Sp), LR− = (1 − Se)/Sp
PPV bij prevalentie p
Se·p / (Se·p + (1 − Sp)(1 − p))
Odds
odds = p/(1 − p); p = odds/(1 + odds); natestodds = voortestodds × LR
Risicomaten
RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER
Number needed to treat
NNT = 1/ARR, naar boven afgerond; NNH = 1/(EER − CER)
Odds ratio
OR = ad/(bc)
Incidentiedichtheid
nieuwe gevallen / persoonstijd
Methode
Teken de 2 × 2-tabel en benoem a, b, c en d voordat je rekent.
Lees sensitiviteit en specificiteit langs de kolommen, voorspellende waarden langs de rijen.
Stel je voor een andere prevalentie 10,000 mensen voor en vul de tabel met Se, Sp en de prevalentie.
Reken voor een likelihoodratio de kans om naar odds, vermenigvuldig en reken terug.
Bepaal bij een trial eerst EER en CER; dan RR = EER/CER, ARR = CER − EER en NNT = 1/ARR naar boven afgerond.
Beschrijvende statistiek
Gemiddelde
x̄ = Σx/n
Steekproefstandaardafwijking
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediaan
middelste waarde van de gesorteerde gegevens
z-score
z = (x − μ)/σ
Normale verdeling
68% binnen ±1σ, 95% binnen ±2σ
Betrouwbaarheidsintervallen
σ bekend
x̄ ± z·σ/√n
σ onbekend
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritieke z
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Steekproefomvang
n = (z·σ/E)², rounded up
Methode
Kies tussen z (σ van de populatie bekend) en t (alleen de steekproef-s, met n − 1 vrijheidsgraden).
Zoek de kritieke waarde bij het betrouwbaarheidsniveau.
Foutmarge: E = kritieke waarde × standaardafwijking/√n.
Interval: x̄ ± E.
Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen
z-toets voor een gemiddelde
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
t-toets voor een gemiddelde
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Tweezijdig bij 5%
verwerp H0 als |z| > 1,96
Betrouwbaarheidsinterval
x̄ ± z·σ/√n
Methode
Formuleer H₀ en H₁ en bepaal of de toets een- of tweezijdig is.
Bereken de toetsingsgrootheid: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), of met s en t.
Vergelijk met de kritieke waarde, of bepaal de p-waarde.
Verwerp H₀ als de toetsingsgrootheid voorbij de kritieke waarde ligt (p kleiner dan α), en formuleer de conclusie in woorden.
2Oefenopgaven
1.Statistiek voor evidence-based practiceGemiddeld
Oefenopgave (verzonnen waarden, geen klinisch advies). Een nieuwe test is in een studie vergeleken met de referentiestandaard (zie de 2 × 2-tabel). Bepaal de positieve likelihoodratio LR+. Rond af op twee decimalen.
a = 250b = 75c = 10d = 175
LR+ =
2.Statistiek voor evidence-based practiceMoeilijk
Oefenopgave (verzonnen waarden, geen klinisch advies). Een patiënt heeft een voortestkans van 10% op een ziekte. Een test met sensitiviteit 71% en specificiteit 88% geeft een positief uitslag. Bepaal de natestkans p′ op de ziekte als percentage. Rond af op één decimaal.
voortest 10%Se = 71%Sp = 88%positief
p′ = %
3.Beschrijvende statistiekGemiddeld
Bereken de steekproefstandaardafwijking s van de gegevens: 12, 30, 34, 60, 47.
n = 5
s =
4.Beschrijvende statistiekMoeilijk
Een grootheid is normaal verdeeld met gemiddelde 100 en standaardafwijking 15. Welk deel P van de waarden ligt onder 82?
μ = 100σ = 15x = 82
P =
5.BetrouwbaarheidsintervallenGemiddeld
Een steekproef van 21 items heeft gemiddelde 50,5 en standaardafwijking s = 18,5. De populatie is bij benadering normaal verdeeld. Bereken de ondergrens van het 95%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde.
n = 21x̄ = 50,5s = 18,595%t(20) = 2,086
ondergrens =
6.BetrouwbaarheidsintervallenMoeilijk
De diameters van 15 bewerkte assen hebben een steekproefstandaardafwijking van 6,5 µm. Neem aan dat de diameters normaal verdeeld zijn en bereken de ondergrens σ van het 95%-betrouwbaarheidsinterval voor de standaardafwijking van de populatie. Bij df = 14 ligt 2,5% van de χ²-verdeling onder 5,629 en 2,5% boven 26,119.
Van een populatie wordt beweerd dat het gemiddelde 500 is; de standaardafwijking van de populatie is bekend en is 12. Een aselecte steekproef van 64 waarnemingen heeft een gemiddelde van 503,24. Toets H₀: μ = 500 tegen H₁: μ > 500. Bereken de p-waarde p.
Hoe groot moet een steekproef zijn zodat het 90%-betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde een foutmarge van hoogstens 3 heeft? De standaardafwijking is 15. Bereken de kleinste steekproefomvang n.
σ = 15E = 390%
n =
3Oplossingen
1.Statistiek voor evidence-based practice
Antwoord: LR+ = 3,21
Likelihoodratio’s en risicomaten: LR+ = sensitiviteit/(1 − specificiteit), LR− = (1 − sensitiviteit)/specificiteit. In een trial zijn EER en CER de gebeurtenisfrequenties met en zonder behandeling: RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER en NNT = 1/ARR, naar boven afgerond. In een patiënt-controleonderzoek kan alleen de odds ratio OR = ad/(bc) worden gebruikt. Een incidentiedichtheid = nieuwe gevallen/persoonstijd.
Sensitiviteit en specificiteit
Se = 250/260 = 0,9615
Sp = 175/250 = 0,7
Positieve likelihoodratio
LR+ = 0,9615/(1 − 0,7) = 3,205 ≈ 3,21
Antwoord
LR+ = 3,21
2.Statistiek voor evidence-based practice
Antwoord: p′ = 39,7 %
Voorspellende waarden hangen af van de prevalentie: PPV = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p)) en NPV = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p). Met likelihoodratio’s: voortestodds = p/(1 − p), natestodds = voortestodds × LR, kans = odds/(1 + odds). Voor een populatie van N is het aantal terecht positieven = N·p·Se en het aantal onterecht positieven = N·(1 − p)·(1 − Sp). NNT = 1/(CER × RRR), naar boven afgerond.
Likelihoodratio
LR+ = 0,71/(1 − 0,88) = 5,917
Voortestodds
0,1/(1 − 0,1) = 0,1111
Natestodds
0,1111·5,917 = 0,6574
Natestkans
p′ = 0,6574/(1 + 0,6574) = 0,3966 ≈ 39,7%
Antwoord
p′ = 39,7%
3.Beschrijvende statistiek
Antwoord: s = 18,11
Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.
Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.
Standaardiseren
z = −1,2
Tabel standaardnormale verdeling
Φ(−1,2) = 0,1151
P = 0,1151
Antwoord
P = 0,1151
5.Betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: ondergrens = 42,08
Betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde: x̄ ± foutmarge. Met een bekende populatie-σ is de marge z·σ/√n; heb je alleen de steekproefstandaardafwijking s, gebruik dan t met n − 1 vrijheidsgraden: t·s/√n. Kritieke waarden: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Voor een marge van E of kleiner heb je n ≥ (z·σ/E)² nodig, naar boven afgerond.
Kritieke waarde
df = n − 1 = 20, t = 2,086
Foutmarge
E = 2,086·18,5/√21 = 8,421
Interval
50,5 ± 8,421 → [42,08, 58,92]
Antwoord
ondergrens = 42,08
6.Betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: σ = 4,759 µm
Interval voor een variantie: (n − 1)s²/σ² heeft een χ²-verdeling met n − 1 vrijheidsgraden. Het 95%-interval voor σ² loopt van (n − 1)s² gedeeld door de bovenste χ²-waarde (2,5% erboven) tot (n − 1)s² gedeeld door de onderste χ²-waarde (2,5% eronder); het interval voor σ is de wortel van beide grenzen. Het is niet symmetrisch rond s.
Kwadratensom
(n − 1)s² = 14·6,5² = 591,5
Grenzen voor σ²
591,5/26,119 = 22,65
591,5/5,629 = 105,1
Grens voor σ
σ = √22,65 = 4,759 µm
Antwoord
σ = 4,759 µm
95%-interval voor σ: [4,759, 10,25] µm.
7.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: p = 0,01539
Hypothesetoets: de toetsingsgrootheid = (schatting − waarde onder H₀)/(standaardfout onder H₀). De p-waarde is de kans, als H₀ waar is, op een toetsingsgrootheid die minstens zo extreem is als de waargenomen: de oppervlakte in één staart bij een eenzijdige H₁, twee keer de staartoppervlakte bij een tweezijdige H₁. Verwerp H₀ als p ≤ α.
Toetsingsgrootheid
SE = σ/√n = 12/√64 = 1,5
z = (503,24 − 500)/1,5 = 2,16
Staartoppervlakte
Φ(2,16) = 0,9846
1 − Φ(2,16) = 0,0154
p-waarde
p = 0,01539
Antwoord
p = 0,01539
p ≤ 0,05, dus H₀ wordt verworpen op het 5%-niveau.
8.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: n = 68
Toetsen van een gemiddelde: de toetsingsgrootheid meet hoeveel standaardfouten het steekproefgemiddelde van de waarde in H₀ af ligt: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) als σ bekend is, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) als die uit de steekproef wordt geschat. Een betrouwbaarheidsinterval is x̄ ± (kritieke waarde)·(standaardfout).