Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.
1Formules en methoden
Statistiek voor evidence-based practice
Sensitiviteit en specificiteit
Se = a/(a + c), Sp = d/(b + d)
Voorspellende waarden
PPV = a/(a + b), NPV = d/(c + d)
Accuratesse
(a + d)/n
Likelihoodratio’s
LR+ = Se/(1 − Sp), LR− = (1 − Se)/Sp
PPV bij prevalentie p
Se·p / (Se·p + (1 − Sp)(1 − p))
Odds
odds = p/(1 − p); p = odds/(1 + odds); natestodds = voortestodds × LR
Risicomaten
RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER
Number needed to treat
NNT = 1/ARR, naar boven afgerond; NNH = 1/(EER − CER)
Odds ratio
OR = ad/(bc)
Incidentiedichtheid
nieuwe gevallen / persoonstijd
Methode
Teken de 2 × 2-tabel en benoem a, b, c en d voordat je rekent.
Lees sensitiviteit en specificiteit langs de kolommen, voorspellende waarden langs de rijen.
Stel je voor een andere prevalentie 10,000 mensen voor en vul de tabel met Se, Sp en de prevalentie.
Reken voor een likelihoodratio de kans om naar odds, vermenigvuldig en reken terug.
Bepaal bij een trial eerst EER en CER; dan RR = EER/CER, ARR = CER − EER en NNT = 1/ARR naar boven afgerond.
Beschrijvende statistiek
Gemiddelde
x̄ = Σx/n
Steekproefstandaardafwijking
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediaan
middelste waarde van de gesorteerde gegevens
z-score
z = (x − μ)/σ
Normale verdeling
68% binnen ±1σ, 95% binnen ±2σ
Betrouwbaarheidsintervallen
σ bekend
x̄ ± z·σ/√n
σ onbekend
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritieke z
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Steekproefomvang
n = (z·σ/E)², rounded up
Methode
Kies tussen z (σ van de populatie bekend) en t (alleen de steekproef-s, met n − 1 vrijheidsgraden).
Zoek de kritieke waarde bij het betrouwbaarheidsniveau.
Foutmarge: E = kritieke waarde × standaardafwijking/√n.
Interval: x̄ ± E.
Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen
z-toets voor een gemiddelde
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
t-toets voor een gemiddelde
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Tweezijdig bij 5%
verwerp H0 als |z| > 1,96
Betrouwbaarheidsinterval
x̄ ± z·σ/√n
Methode
Formuleer H₀ en H₁ en bepaal of de toets een- of tweezijdig is.
Bereken de toetsingsgrootheid: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), of met s en t.
Vergelijk met de kritieke waarde, of bepaal de p-waarde.
Verwerp H₀ als de toetsingsgrootheid voorbij de kritieke waarde ligt (p kleiner dan α), en formuleer de conclusie in woorden.
2Oefenopgaven
1.Statistiek voor evidence-based practiceGemiddeld
Oefenopgave (verzonnen waarden, geen klinisch advies). In een cohort werden groepen mensen verschillend lang gevolgd (zie de tabel: aantal mensen en jaren follow-up per groep). Tijdens de follow-up traden 91 nieuwe gevallen op. Bepaal de incidentiedichtheid IR per 1000 persoonsjaren. Rond af op één decimaal.
Oefenopgave (verzonnen waarden, geen klinisch advies). 10 000 mensen worden gescreend met een test met sensitiviteit 82% en specificiteit 79%. De prevalentie van de ziekte is 10%. Hoeveel onterecht positieve uitslagen FP worden verwacht?
N = 10 000p = 10%Se = 82%Sp = 79%
FP =
3.Beschrijvende statistiekGemiddeld
Bereken de steekproefstandaardafwijking s van de gegevens: 39, 23, 18, 26, 10, 47, 34.
n = 7
s =
4.Beschrijvende statistiekMoeilijk
Een grootheid is normaal verdeeld met gemiddelde 50 en standaardafwijking 20. Welk deel P van de waarden ligt onder 30?
μ = 50σ = 20x = 30
P =
5.BetrouwbaarheidsintervallenGemiddeld
Een steekproef van 7 items heeft gemiddelde 113,5 en standaardafwijking s = 4,5. De populatie is bij benadering normaal verdeeld. Bereken de ondergrens van het 90%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde.
n = 7x̄ = 113,5s = 4,590%t(6) = 1,943
ondergrens =
6.BetrouwbaarheidsintervallenMoeilijk
Twee kunstmeststoffen worden getest. Groep 1: 16 proefvelden, gemiddelde opbrengst 29,5 kg, standaardafwijking 9,5 kg. Groep 2: 5 proefvelden, gemiddelde 32,5 kg, standaardafwijking 2 kg. Neem gelijke varianties aan (gepoolde t, df = n₁ + n₂ − 2). Bereken de ondergrens van het 99%-betrouwbaarheidsinterval voor μ₁ − μ₂.
Van een populatie wordt beweerd dat het gemiddelde 50 is; de standaardafwijking van de populatie is bekend en is 10. Een aselecte steekproef van 100 waarnemingen heeft een gemiddelde van 50,92. Toets H₀: μ = 50 tegen H₁: μ > 50. Bereken de p-waarde p.
Een eenzijdige z-toets van H₀: μ = 80 tegen H₁: μ < 80 wordt uitgevoerd bij α = 0.05 met een steekproef van 100; de standaardafwijking is bekend en is 10. In werkelijkheid is het gemiddelde 77.3. Bereken het onderscheidend vermogen 1 − β van de toets in procenten.
μ₀ = 80μ = 77,3σ = 10n = 100α = 0,05
1 − β = %
3Oplossingen
1.Statistiek voor evidence-based practice
Antwoord: IR = 28,9 per 1000 persoonsjaren
Likelihoodratio’s en risicomaten: LR+ = sensitiviteit/(1 − specificiteit), LR− = (1 − sensitiviteit)/specificiteit. In een trial zijn EER en CER de gebeurtenisfrequenties met en zonder behandeling: RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER en NNT = 1/ARR, naar boven afgerond. In een patiënt-controleonderzoek kan alleen de odds ratio OR = ad/(bc) worden gebruikt. Een incidentiedichtheid = nieuwe gevallen/persoonstijd.
Persoonsjaren
PY = 100·1 + 370·5 + 600·2 = 3150
Incidentiedichtheid
IR = 91/3150·1000 = 28,9 per 1000 persoonsjaren
Antwoord
IR = 28,9 per 1000 persoonsjaren
2.Statistiek voor evidence-based practice
Antwoord: FP = 1890
Voorspellende waarden hangen af van de prevalentie: PPV = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p)) en NPV = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p). Met likelihoodratio’s: voortestodds = p/(1 − p), natestodds = voortestodds × LR, kans = odds/(1 + odds). Voor een populatie van N is het aantal terecht positieven = N·p·Se en het aantal onterecht positieven = N·(1 − p)·(1 − Sp). NNT = 1/(CER × RRR), naar boven afgerond.
Met en zonder de ziekte
10 000·0,1 = 1000
10 000 − 1000 = 9000
Onterecht positieven
FP = 9000·0,21 = 1890
Antwoord
FP = 1890
Van de 2710 positieven hebben er maar 820 de ziekte (PPV 30,3%).
3.Beschrijvende statistiek
Antwoord: s = 12,72
Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.
Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.
Standaardiseren
z = −1
Tabel standaardnormale verdeling
Φ(−1) = 0,1587
P = 0,1587
Antwoord
P = 0,1587
5.Betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: ondergrens = 110,2
Betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde: x̄ ± foutmarge. Met een bekende populatie-σ is de marge z·σ/√n; heb je alleen de steekproefstandaardafwijking s, gebruik dan t met n − 1 vrijheidsgraden: t·s/√n. Kritieke waarden: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Voor een marge van E of kleiner heb je n ≥ (z·σ/E)² nodig, naar boven afgerond.
Kritieke waarde
df = n − 1 = 6, t = 1,943
Foutmarge
E = 1,943·4,5/√7 = 3,305
Interval
113,5 ± 3,305 → [110,2, 116,8]
Antwoord
ondergrens = 110,2
6.Betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: ondergrens = −15,45 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Gepoolde standaardafwijking
sp² = (15·9,5² + 4·2²)/19 = 72,09
sp = 8,491
Foutmarge
E = 2,861·8,491·√(1/16 + 1/5) = 12,45
Interval
−3 ± 12,45 → [−15,45, 9,446]
Antwoord
ondergrens = −15,45 kg
7.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: p = 0,1788
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Toetsingsgrootheid
SE = σ/√n = 10/√100 = 1
z = (50,92 − 50)/1 = 0,92
Staartoppervlakte
Φ(0,92) = 0,8212
1 − Φ(0,92) = 0,1788
p-waarde
p = 0,1788
Antwoord
p = 0,1788
p > 0,05, dus H₀ wordt niet verworpen op het 5%-niveau.
8.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: 1 − β = 85,43 %
Onderscheidend vermogen van een toets: het onderscheidend vermogen 1 − β is de kans dat H₀ wordt verworpen als die onwaar is. Bepaal de grens x̄c uit μ₀ en z_α, en bereken dan met het ware gemiddelde de kans om voorbij x̄c uit te komen: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).