Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.
1Formules en methoden
Statistiek voor evidence-based practice
Sensitiviteit en specificiteit
Se = a/(a + c), Sp = d/(b + d)
Voorspellende waarden
PPV = a/(a + b), NPV = d/(c + d)
Accuratesse
(a + d)/n
Likelihoodratio’s
LR+ = Se/(1 − Sp), LR− = (1 − Se)/Sp
PPV bij prevalentie p
Se·p / (Se·p + (1 − Sp)(1 − p))
Odds
odds = p/(1 − p); p = odds/(1 + odds); natestodds = voortestodds × LR
Risicomaten
RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER
Number needed to treat
NNT = 1/ARR, naar boven afgerond; NNH = 1/(EER − CER)
Odds ratio
OR = ad/(bc)
Incidentiedichtheid
nieuwe gevallen / persoonstijd
Methode
Teken de 2 × 2-tabel en benoem a, b, c en d voordat je rekent.
Lees sensitiviteit en specificiteit langs de kolommen, voorspellende waarden langs de rijen.
Stel je voor een andere prevalentie 10,000 mensen voor en vul de tabel met Se, Sp en de prevalentie.
Reken voor een likelihoodratio de kans om naar odds, vermenigvuldig en reken terug.
Bepaal bij een trial eerst EER en CER; dan RR = EER/CER, ARR = CER − EER en NNT = 1/ARR naar boven afgerond.
Beschrijvende statistiek
Gemiddelde
x̄ = Σx/n
Steekproefstandaardafwijking
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediaan
middelste waarde van de gesorteerde gegevens
z-score
z = (x − μ)/σ
Normale verdeling
68% binnen ±1σ, 95% binnen ±2σ
Betrouwbaarheidsintervallen
σ bekend
x̄ ± z·σ/√n
σ onbekend
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritieke z
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Steekproefomvang
n = (z·σ/E)², rounded up
Methode
Kies tussen z (σ van de populatie bekend) en t (alleen de steekproef-s, met n − 1 vrijheidsgraden).
Zoek de kritieke waarde bij het betrouwbaarheidsniveau.
Foutmarge: E = kritieke waarde × standaardafwijking/√n.
Interval: x̄ ± E.
Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen
z-toets voor een gemiddelde
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
t-toets voor een gemiddelde
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Tweezijdig bij 5%
verwerp H0 als |z| > 1,96
Betrouwbaarheidsinterval
x̄ ± z·σ/√n
Methode
Formuleer H₀ en H₁ en bepaal of de toets een- of tweezijdig is.
Bereken de toetsingsgrootheid: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), of met s en t.
Vergelijk met de kritieke waarde, of bepaal de p-waarde.
Verwerp H₀ als de toetsingsgrootheid voorbij de kritieke waarde ligt (p kleiner dan α), en formuleer de conclusie in woorden.
2Oefenopgaven
1.Statistiek voor evidence-based practiceGemiddeld
Oefenopgave (verzonnen waarden, geen klinisch advies). Een patiënt-controleonderzoek vergelijkt 150 patiënten met een ziekte (cases) en 770 mensen zonder die ziekte (controles). De tabel toont hoeveel mensen in elke groep aan een risicofactor waren blootgesteld. Bepaal de odds ratio OR voor de blootstelling. Rond af op twee decimalen.
a = 57b = 131c = 93d = 639
OR =
2.Statistiek voor evidence-based practiceMoeilijk
Oefenopgave (verzonnen waarden, geen klinisch advies). 10 000 mensen worden gescreend met een test met sensitiviteit 92% en specificiteit 79%. De prevalentie van de ziekte is 28%. Hoeveel onterecht positieve uitslagen FP worden verwacht?
N = 10 000p = 28%Se = 92%Sp = 79%
FP =
3.Beschrijvende statistiekGemiddeld
Bereken de steekproefstandaardafwijking s van de gegevens: 39, 59, 50, 49, 28, 47.
n = 6
s =
4.Beschrijvende statistiekMoeilijk
Een grootheid is normaal verdeeld met gemiddelde 70 en standaardafwijking 5. Welk deel P van de waarden ligt boven 60?
μ = 70σ = 5x = 60
P =
5.BetrouwbaarheidsintervallenGemiddeld
De bloeddruk van 9 patiënten wordt gemeten voor en na een behandeling. De verschillen d = voor − na (mmHg) hebben gemiddelde 9,5 en standaardafwijking 2,5. Bereken de ondergrens van het 90%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde verschil.
n = 9d̄ = 9,5sd = 2,590%t(8) = 1,86
ondergrens = mmHg
6.BetrouwbaarheidsintervallenMoeilijk
De diameters van 25 bewerkte assen hebben een steekproefstandaardafwijking van 4,7 µm. Neem aan dat de diameters normaal verdeeld zijn en bereken de bovengrens σ van het 95%-betrouwbaarheidsinterval voor de standaardafwijking van de populatie. Bij df = 24 ligt 2,5% van de χ²-verdeling onder 12,401 en 2,5% boven 39,364.
Een steekproef van 100 studenten heeft een gemiddelde score van 46,28 en een steekproefstandaardafwijking van 12. Bereken de toetsingsgrootheid t voor H₀: μ = 50.
Een eenzijdige z-toets van H₀: μ = 500 tegen H₁: μ > 500 wordt uitgevoerd bij α = 0,10 met een steekproef van 25; de standaardafwijking is bekend en is 7,5. In werkelijkheid is het gemiddelde 503,15. Bereken de kans op een fout van de tweede soort β in procenten.
μ₀ = 500μ = 503,15σ = 7,5n = 25α = 0,10
β = %
3Oplossingen
1.Statistiek voor evidence-based practice
Antwoord: OR = 2,99
Likelihoodratio’s en risicomaten: LR+ = sensitiviteit/(1 − specificiteit), LR− = (1 − sensitiviteit)/specificiteit. In een trial zijn EER en CER de gebeurtenisfrequenties met en zonder behandeling: RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER en NNT = 1/ARR, naar boven afgerond. In een patiënt-controleonderzoek kan alleen de odds ratio OR = ad/(bc) worden gebruikt. Een incidentiedichtheid = nieuwe gevallen/persoonstijd.
Odds op blootstelling
gevallen: 57/93 = 0,6129
controles: 131/639 = 0,205
Odds ratio
OR = (57·639)/(131·93) = 2,99
Antwoord
OR = 2,99
OR boven 1: blootstelling komt vaker voor onder de cases.
2.Statistiek voor evidence-based practice
Antwoord: FP = 1512
Voorspellende waarden hangen af van de prevalentie: PPV = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p)) en NPV = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p). Met likelihoodratio’s: voortestodds = p/(1 − p), natestodds = voortestodds × LR, kans = odds/(1 + odds). Voor een populatie van N is het aantal terecht positieven = N·p·Se en het aantal onterecht positieven = N·(1 − p)·(1 − Sp). NNT = 1/(CER × RRR), naar boven afgerond.
Met en zonder de ziekte
10 000·0,28 = 2800
10 000 − 2800 = 7200
Onterecht positieven
FP = 7200·0,21 = 1512
Antwoord
FP = 1512
Van de 4088 positieven hebben er maar 2576 de ziekte (PPV 63%).
3.Beschrijvende statistiek
Antwoord: s = 10,63
Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.
Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.
Standaardiseren
z = −2
Tabel standaardnormale verdeling
Φ(−2) = 0,02275
P = 1 − 0,02275 = 0,9772
Antwoord
P = 0,9772
5.Betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: ondergrens = 7,95 mmHg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Kritieke waarde
df = 8, t = 1,86
Foutmarge
E = 1,86·2,5/√9 = 1,55
Interval
9,5 ± 1,55 → [7,95, 11,05]
Antwoord
ondergrens = 7,95 mmHg
6.Betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: σ = 6,538 µm
Interval voor een variantie: (n − 1)s²/σ² heeft een χ²-verdeling met n − 1 vrijheidsgraden. Het 95%-interval voor σ² loopt van (n − 1)s² gedeeld door de bovenste χ²-waarde (2,5% erboven) tot (n − 1)s² gedeeld door de onderste χ²-waarde (2,5% eronder); het interval voor σ is de wortel van beide grenzen. Het is niet symmetrisch rond s.
Kwadratensom
(n − 1)s² = 24·4,7² = 530,2
Grenzen voor σ²
530,2/39,364 = 13,47
530,2/12,401 = 42,75
Grens voor σ
σ = √42,75 = 6,538 µm
Antwoord
σ = 6,538 µm
95%-interval voor σ: [3,67, 6,538] µm.
7.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: t = −3,1
Toetsen van een gemiddelde: de toetsingsgrootheid meet hoeveel standaardfouten het steekproefgemiddelde van de waarde in H₀ af ligt: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) als σ bekend is, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) als die uit de steekproef wordt geschat. Een betrouwbaarheidsinterval is x̄ ± (kritieke waarde)·(standaardfout).
Standaardfout
SE = 12/√100 = 12/10 = 1,2
Toetsingsgrootheid
t = (46,28 − 50)/1,2 = −3,1
Antwoord
t = −3,1
t0,025; df = 99 = 1,984
|t| > 1,984, dus H₀ wordt verworpen op het 5%-niveau (tweezijdig).
8.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: β = 20,67 %
Onderscheidend vermogen van een toets: het onderscheidend vermogen 1 − β is de kans dat H₀ wordt verworpen als die onwaar is. Bepaal de grens x̄c uit μ₀ en z_α, en bereken dan met het ware gemiddelde de kans om voorbij x̄c uit te komen: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).