Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 30 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.
De vrij opgelegde balk (scharnier in A, rol in B) draagt een lineair verlopende belasting die oploopt van nul in A tot 12 kN/m in B. Op 1 m van A werkt ook een puntlast P. Vind de verticale oplegreactie RA.
De vrij opgelegde balk heeft een scharnier in A en een rol in B. Vind de verticale oplegreactie RA.
Precies één staaf van dit vakwerk draagt onder deze belastingen geen kracht. Welke is de nulstaaf? Klik erop in het diagram.
Precies één staaf van dit vakwerk draagt onder deze belastingen geen kracht. Welke is de nulstaaf? Klik erop in het diagram.
De markeringen A tot en met G verdelen de balk in zes gelijke delen. Bij welke markering is het buigend moment het grootst in absolute waarde, positief of negatief? Klik erop in het diagram.
De markeringen A tot en met G verdelen de balk in zes gelijke delen. Bij welke markering is het buigend moment het grootst in absolute waarde, positief of negatief? Klik erop in het diagram.
Een uitkragende ligger draagt een gelijkmatig verdeelde belasting w over de hele lengte. Vind de doorbuiging δ aan het vrije uiteinde.
Een vrij opgelegde balk draagt twee gelijke puntlasten P op de derdepunten (L/3 vanaf elke oplegging). Vind met superpositie de doorbuiging in het midden δmax.
Een kolom met lengte L van staal is aan beide uiteinden ingeklemd. Vind met de formule van Euler de kritieke knikbelasting Pcr.
Een kolom met lengte L van aluminium is aan beide uiteinden scharnierend. Vind de slankheid en de kritieke knikspanning σcr met de formule van Euler.
Vind het traagheidsmoment Ix van het T-profiel om de horizontale as x door het zwaartepunt.
Het T-profiel wordt gebruikt als balk met de flens boven en draagt een doorbuigend (sagging) moment van 20 kN·m. Vind de grootte van de buigspanning σboven aan de bovenrand.
Vind voor het getoonde grondprofiel de verticale effectieve spanning σ′ in punt X.
Vind voor het getoonde grondprofiel de waterspanning u in punt X.
Een overgeconsolideerde kleilaag van 2 m dik heeft Cc = 0,45, Cr = 0,03 en e₀ = 1. Halverwege de laag is de effectieve verticale spanning 105 kPa en de overconsolidatiegraad is OCR = 2,5. Een nieuw gebouw voegt halverwege de laag 40 kPa verticale spanning toe. Vind de primaire consolidatiezetting S in mm.
Bij een oedometerproef in het laboratorium bereikt een kleimonster van 20 mm dik, gedraineerd aan boven- en onderkant, 50% consolidatie in 12 min. In het veld vormt dezelfde klei een laag van 8 m dik. Ze ligt op ondoorlatend gesteente, met zand erboven, dus water draineert alleen aan de bovenkant weg. Hoeveel dagen t heeft de laag in het veld nodig om 50% consolidatie te bereiken?
Een verticale rechthoekige schuif van 1 m breed zit in de wand van een tank met water, met de bovenrand 1,5 m onder het oppervlak. Vind de resulterende hydrostatische kracht F op de schuif.
Een verticale rechthoekige schuif van 2 m breed zit in de wand van een tank met glycerine, met de bovenrand 0,5 m onder het oppervlak. Vind de resulterende hydrostatische kracht F op de schuif.
Water (ρ = 1000 kg/m³) stroomt met 2,6 m/s door een horizontale leiding van 50 m lang met een binnendiameter van 50 mm. Gebruik de Darcy-wrijvingsfactor f = 0,018 en g = 9,81 m/s². Vind de drukval Δp over de leiding in kPa.
Een leiding van 300 m lang met een binnendiameter van 250 mm (Darcy-wrijvingsfactor f = 0,015) loopt vanuit een open reservoir en stroomt als vrije straal uit in de lucht. De plaatselijke verliezen zijn een scherpe intrede (K = 0,5), 2 bochten (K = 0,3 per stuk) en een afsluiter (K = 2). Gebruik g = 9,81 m/s². Hoe hoog H moet het reservoiroppervlak boven de uitstroomopening liggen voor een debiet van 60 L/s?
Een trapeziumvormig kanaal van schone grond heeft een bodembreedte van 4 m en taluds van 3:1 (horizontaal:verticaal). Water stroomt eenparig 1,9 m diep. Manning-n = 0,022 en het bodemverhang is S = 0,0008. Vind het debiet Q in m³/s.
Een trapeziumvormig kanaal van onafgewerkt beton met een bodembreedte van 4 m en taluds van 3:1 (horizontaal:verticaal) moet 17 m³/s afvoeren bij eenparige stroming met een diepte van 1,4 m. Manning-n = 0,014. Vind het benodigde bodemverhang S (in m/m).
Een pomp levert 100 L/s water (ρ = 1000 kg/m³) tegen een opvoerhoogte van 78 m. Het pomprendement is 78% en de elektromotor die de pomp aandrijft heeft een rendement van 95%. Gebruik g = 9,81 m/s². Vind het elektrisch vermogen Pel dat de motor opneemt, in kW.
Een pomp verplaatst 60 L/s water (ρ = 1000 kg/m³) van een open lager reservoir naar een hoger gelegen tank waarvan het wateroppervlak 10 m hoger ligt. De leiding is 100 m lang met een binnendiameter van 200 mm en een Darcy-wrijvingsfactor f = 0,018; de coëfficiënten voor plaatselijke verliezen tellen op tot ΣK = 8 (intrede en uittrede inbegrepen). Gebruik g = 9,81 m/s². Het pomprendement is 70%. Vind het asvermogen Pshaft in kW.
Je belegt €8 000 tegen een nominale rente van 6 % per jaar, maandelijks samengesteld. Bereken de waarde FV van de belegging na 8 jaar.
Je spaart 13 jaar lang aan het eind van elke maand €50. De rekening geeft 3,6 % per jaar, maandelijks samengesteld. Hoeveel heb je aan het eind gespaard? Bereken FV.
Een investering van €20 000 levert aan het eind van jaar 1 tot en met 4 deze kasstromen op: €5 000, €5 000, €9 000, €4 000. De vermogenskosten zijn 15 %. Bereken de netto contante waarde NPV.
Een project kost €25 000 en levert aan het eind van jaar 1 tot en met 2 €15 000, €18 500 op. Bereken de interne rentabiliteit IRR in procenten.
De massa's van bouten zijn onafhankelijk en normaal verdeeld met gemiddelde 40 g en standaardafwijking 1,2 g. Bepaal de kans P dat de totale massa van 8 ervan kleiner is dan 316,6 g. Rond z af op twee decimalen.
De IQ-scores zijn normaal verdeeld met gemiddelde 100 punten en standaardafwijking 15 punten. Sleep de grenswaarde zo dat de gearceerde onderste 20% links ervan ligt. Bepaal de grenswaarde x.
Antwoord: RA = 42,5 kN
Statisch evenwicht: een lichaam in rust heeft ΣFx = 0, ΣFy = 0 en ΣM = 0 om elk punt. Vervang elke verdeelde belasting door haar resultante (de oppervlakte) die aangrijpt in het zwaartepunt van het belastingsdiagram, en neem momenten om een oplegging om de reactie van die oplegging uit de vergelijking te halen.
Momenten om A, tegen de klok in positief. Daarna het verticale krachtenevenwicht.
Antwoord: RA = 11,06 kN
Statisch evenwicht: een lichaam in rust heeft ΣFx = 0, ΣFy = 0 en ΣM = 0 om elk punt. Momenten nemen om één oplegging haalt de reactie van die oplegging uit de vergelijking.
Vervang de opleggingen door reactiekrachten. Een rol geeft één verticale reactie; met alleen verticale belastingen geeft het scharnier ook één verticale reactie.
Momenten om A, tegen de klok in positief. Daarna het verticale krachtenevenwicht.
Antwoord: staaf CG
Nulstaven: in een knooppunt moeten de krachten in elke richting in evenwicht zijn. Als een knooppunt geen belasting en geen oplegging heeft, en twee van zijn drie staven op één lijn liggen, dan betrekt het evenwicht dwars op die lijn alleen de derde staaf, dus haar kracht is nul. Als er maar twee staven samenkomen in een onbelast knooppunt en ze niet op één lijn liggen, zijn beide nul.
BC en CD liggen op één rechte lijn en het knooppunt draagt geen belasting. Het krachtenevenwicht dwars op die lijn laat alleen CG over.
Het oplossen van alle knooppunten geeft deze staafkrachten (T = trek, C = druk).
Antwoord: staaf DH
Nulstaven: in een knooppunt moeten de krachten in elke richting in evenwicht zijn. Als een knooppunt geen belasting en geen oplegging heeft, en twee van zijn drie staven op één lijn liggen, dan betrekt het evenwicht dwars op die lijn alleen de derde staaf, dus haar kracht is nul. Als er maar twee staven samenkomen in een onbelast knooppunt en ze niet op één lijn liggen, zijn beide nul.
CD en DE liggen op één rechte lijn en het knooppunt draagt geen belasting. Het krachtenevenwicht dwars op die lijn laat alleen DH over.
Het oplossen van alle knooppunten geeft deze staafkrachten (T = trek, C = druk).
Antwoord: C (x = 4 m)
Grootste buigend moment: M verandert van helling overal waar de dwarskracht verandert, dus de pieken liggen waar de dwarskracht door nul gaat: onder een puntlast, binnen een verdeelde last, of boven een oplegging van een uitkragende balk. Bij een ingeklemde oplegging van een console is het moment het grootst bij de wand. Vergelijk de grootte van M op die plaatsen, positief (doorbuigend) of negatief (opbuigend).
Neem momenten om één oplegging en gebruik dan het verticale krachtenevenwicht.
Tel de momenten van alle krachten aan één kant van de snede op. Een doorbuigend moment is positief, een opbuigend moment negatief.
Antwoord: E (x = 4 m)
Grootste buigend moment: M verandert van helling overal waar de dwarskracht verandert, dus de pieken liggen waar de dwarskracht door nul gaat: onder een puntlast, binnen een verdeelde last, of boven een oplegging van een uitkragende balk. Bij een ingeklemde oplegging van een console is het moment het grootst bij de wand. Vergelijk de grootte van M op die plaatsen, positief (doorbuigend) of negatief (opbuigend).
Neem momenten om één oplegging en gebruik dan het verticale krachtenevenwicht.
Tel de momenten van alle krachten aan één kant van de snede op. Een doorbuigend moment is positief, een opbuigend moment negatief.
Antwoord: δ = 3,427 mm
Doorbuiging van balken: doorbuigingen volgen uit het twee keer integreren van de kromming M/(EI). Standaardgevallen staan in tabellen, bijvoorbeeld PL³/(3EI) voor een uitkragende ligger met een eindlast en 5wL⁴/(384EI) voor een vrij opgelegde balk onder een volledige gelijkmatige belasting. Doorbuigingen door afzonderlijke belastingen tellen op (superpositie).
Werk in N en mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.
Antwoord: δmax = 32,07 mm
Doorbuiging van balken: doorbuigingen volgen uit het twee keer integreren van de kromming M/(EI). Standaardgevallen staan in tabellen, bijvoorbeeld PL³/(3EI) voor een uitkragende ligger met een eindlast en 5wL⁴/(384EI) voor een vrij opgelegde balk onder een volledige gelijkmatige belasting. Doorbuigingen door afzonderlijke belastingen tellen op (superpositie).
Werk in N en mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.
Antwoord: Pcr = 27,56 kN
Knik volgens Euler: een slanke kolom wordt instabiel bij Pcr = π²EI/(KL)², waarbij KL de kniklengte is: K = 1 voor scharnier–scharnier, 2 voor ingeklemd–vrij, 0,7 voor ingeklemd–scharnier en 0,5 voor ingeklemd–ingeklemd. De kolom knikt om de as met de kleinste I. De formule geldt voor slanke kolommen, waarvan de kritieke spanning onder de vloeigrens blijft.
Een ronde doorsnede heeft om elke as dezelfde I.
Antwoord: σcr = 38,86 MPa
Knik volgens Euler: een slanke kolom wordt instabiel bij Pcr = π²EI/(KL)², waarbij KL de kniklengte is: K = 1 voor scharnier–scharnier, 2 voor ingeklemd–vrij, 0,7 voor ingeklemd–scharnier en 0,5 voor ingeklemd–ingeklemd. De kolom knikt om de as met de kleinste I. De formule geldt voor slanke kolommen, waarvan de kritieke spanning onder de vloeigrens blijft.
Een ronde doorsnede heeft om elke as dezelfde I.
Antwoord: Ix = 60,78 × 10⁶ mm⁴
Samengestelde doorsneden: verdeel de doorsnede in rechthoeken. Het zwaartepunt is het oppervlaktegewogen gemiddelde ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Het traagheidsmoment om de zwaartepuntsas telt voor elk deel de eigen bh³/12 en de Steinerterm A·d² op, waarbij d de afstand is van het zwaartepunt van het deel tot het totale zwaartepunt. De buigspanning is σ = M·y/I.
Meet elke y vanaf de onderrand.
Antwoord: σboven = 26,11 MPa
Samengestelde doorsneden: verdeel de doorsnede in rechthoeken. Het zwaartepunt is het oppervlaktegewogen gemiddelde ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Het traagheidsmoment om de zwaartepuntsas telt voor elk deel de eigen bh³/12 en de Steinerterm A·d² op, waarbij d de afstand is van het zwaartepunt van het deel tot het totale zwaartepunt. De buigspanning is σ = M·y/I.
Meet elke y vanaf de onderrand.
De bovenrand ligt h − ȳ van de as.
Antwoord: σ′ = 124,7 kPa
Effectieve spanning (Terzaghi): het korrelskelet draagt σ′ = σ − u. De totale spanning σ is het gewicht van alles boven het punt, Σγ·h, met het droge volumegewicht boven de grondwaterstand en het verzadigde eronder. Onder de grondwaterstand is de waterspanning hydrostatisch: u = γw·(diepte onder de grondwaterstand).
Tel het gewicht op van elke grondlaag boven X. Boven de grondwaterstand gebruik je het droge volumegewicht, eronder het verzadigde.
De waterdruk neemt toe met de diepte onder de grondwaterstand.
Antwoord: u = 53,96 kPa
Effectieve spanning (Terzaghi): het korrelskelet draagt σ′ = σ − u. De totale spanning σ is het gewicht van alles boven het punt, Σγ·h, met het droge volumegewicht boven de grondwaterstand en het verzadigde eronder. Onder de grondwaterstand is de waterspanning hydrostatisch: u = γw·(diepte onder de grondwaterstand).
De waterdruk neemt toe met de diepte onder de grondwaterstand.
Antwoord: S = 4,205 mm
Primaire consolidatie van een kleilaag met dikte H, met de effectieve spanning in het midden van de laag: σ′f = σ′0 + Δσ. Normaal geconsolideerde klei: S = Cc·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0). Overgeconsolideerde klei wordt langs Cr opnieuw samengedrukt tot de voorbelastingsspanning σ′p en volgt pas daarboven Cc. Tijd: t = Tv·Hdr²/cv, waarbij de drainageweg Hdr gelijk is aan H/2 als water boven en onder kan wegstromen, en aan H als maar één kant draineert.
De klei blijft op haar herbelastingslijn.
Antwoord: t = 5333 dagen
Primaire consolidatie van een kleilaag met dikte H, met de effectieve spanning in het midden van de laag: σ′f = σ′0 + Δσ. Normaal geconsolideerde klei: S = Cc·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0). Overgeconsolideerde klei wordt langs Cr opnieuw samengedrukt tot de voorbelastingsspanning σ′p en volgt pas daarboven Cc. Tijd: t = Tv·Hdr²/cv, waarbij de drainageweg Hdr gelijk is aan H/2 als water boven en onder kan wegstromen, en aan H als maar één kant draineert.
t = Tv·Hdr²/cv met dezelfde T_v en cv in het laboratorium en in het veld.
Antwoord: F = 19,62 kN
Hydrostatische kracht op een vlak oppervlak: F = ρ·g·yc·A. De kracht grijpt aan in het drukpunt, ycp = yc + Ic/(ycA), dat altijd onder het zwaartepunt ligt.
Antwoord: F = 148,3 kN
Hydrostatische kracht op een vlak oppervlak: F = ρ·g·yc·A. De kracht grijpt aan in het drukpunt, ycp = yc + Ic/(ycA), dat altijd onder het zwaartepunt ligt.
Antwoord: Δp = 60,84 kPa
Leidingstroming: het getal van Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ onderscheidt laminaire stroming (Re onder ongeveer 2000) van turbulente stroming (boven ongeveer 4000). Wrijving langs een leiding kost het drukhoogteverlies volgens Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Hulpstukken, afsluiters, de intrede en de uittrede geven plaatselijke verliezen hm = ΣK·V²/(2g). Tussen twee open reservoiroppervlakken geeft de energievergelijking Δz = hf + hm, inclusief het uittredeverlies K = 1.
De leiding is horizontaal en de snelheid verandert niet, dus de energievergelijking wordt Δp = ρ·g·hf.
Antwoord: H = 1,683 m
Leidingstroming: het getal van Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ onderscheidt laminaire stroming (Re onder ongeveer 2000) van turbulente stroming (boven ongeveer 4000). Wrijving langs een leiding kost het drukhoogteverlies volgens Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Hulpstukken, afsluiters, de intrede en de uittrede geven plaatselijke verliezen hm = ΣK·V²/(2g). Tussen twee open reservoiroppervlakken geeft de energievergelijking Δz = hf + hm, inclusief het uittredeverlies K = 1.
De uitstromende straal heeft nog zijn snelheidshoogte; dat is geen verlies, maar die moet wel geleverd worden.
Antwoord: Q = 26,02 m³/s
Formule van Manning (SI): voor eenparige stroming in een open waterloop geldt V = (1/n)·R2/3·S1/2 en Q = A·V, met n de ruwheidscoëfficiënt, S het bodemverhang (m/m) en R = A/P de hydraulische straal: doorstroomoppervlak gedeeld door natte omtrek. Alleen de wand die contact maakt met het water telt mee in P, niet het vrije oppervlak. Rechthoek: A = b·y, P = b + 2y. Trapezium met taluds z:1 (horizontaal:verticaal): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Een ronde buis die vol of half vol stroomt heeft R = D/4.
Antwoord: S = 0,0004997 m/m
Formule van Manning (SI): voor eenparige stroming in een open waterloop geldt V = (1/n)·R2/3·S1/2 en Q = A·V, met n de ruwheidscoëfficiënt, S het bodemverhang (m/m) en R = A/P de hydraulische straal: doorstroomoppervlak gedeeld door natte omtrek. Alleen de wand die contact maakt met het water telt mee in P, niet het vrije oppervlak. Rechthoek: A = b·y, P = b + 2y. Trapezium met taluds z:1 (horizontaal:verticaal): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Een ronde buis die vol of half vol stroomt heeft R = D/4.
Dat is een daling van 0,4997 m per kilometer.
Antwoord: Pel = 103,3 kW
Pompvermogen: het vermogen dat aan het water wordt gegeven is het hydraulisch vermogen Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. De as moet meer leveren omdat de pomp verliezen heeft: Pshaft = Ph/ηpump, en de motor neemt Pel = Pshaft/ηmotor op. De opvoerhoogte H volgt uit de energievergelijking: statische opvoerhoogte + drukhoogte + alle wrijvings- en plaatselijke verliezen.
Antwoord: Pshaft = 11,07 kW
Pompvermogen: het vermogen dat aan het water wordt gegeven is het hydraulisch vermogen Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. De as moet meer leveren omdat de pomp verliezen heeft: Pshaft = Ph/ηpump, en de motor neemt Pel = Pshaft/ηmotor op. De opvoerhoogte H volgt uit de energievergelijking: statische opvoerhoogte + drukhoogte + alle wrijvings- en plaatselijke verliezen.
Antwoord: FV = 12913 €
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Antwoord: FV = 9928 €
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Je hebt zelf €7 800 ingelegd; de rest is rente.
Antwoord: NPV = −3667 €
Netto contante waarde: zet elke kasstroom met het vereiste rendement r terug naar vandaag en tel ze op: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Een project met NPV > 0 verdient meer dan r en voegt waarde toe. De interne rentabiliteit (IRR) is de rente waarbij NPV = 0.
De NCW is negatief, dus het project verdient minder dan het vereiste rendement.
Antwoord: IRR = 21,1 %
Netto contante waarde: zet elke kasstroom met het vereiste rendement r terug naar vandaag en tel ze op: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Een project met NPV > 0 verdient meer dan r en voegt waarde toe. De interne rentabiliteit (IRR) is de rente waarbij NPV = 0.
De NCW daalt als de rente stijgt, dus de IRR ligt tussen een rente met positieve en een met negatieve NCW.
Lineair interpoleren geeft een eerste schatting; dat herhalen (of de IRR-functie van een rekenmachine) geeft de exacte rente.
Antwoord: P = 0,1587
Sommen en verschillen van normale variabelen: als X en Y onafhankelijk en normaal verdeeld zijn, zijn X + Y en X − Y ook normaal verdeeld. Gemiddelden tellen op of worden afgetrokken: E(X ± Y) = μX ± μY. Varianties tellen altijd op, ook bij een verschil: Var(X ± Y) = σX² + σY², dus σ = √(σX² + σY²). Standaardafwijkingen tellen nooit rechtstreeks op. Het totaal van n onafhankelijke items met dezelfde verdeling heeft gemiddelde n·μ en standaardafwijking σ·√n. Standaardiseer daarna zoals gewoonlijk: z = (x − gemiddelde)/σ en lees Φ(z) af.
Antwoord: x = 87,4 punten
Van een oppervlak terug naar z: Φ(z) is het oppervlak links van z. Zoek voor een linkerstaartoppervlak A de z met Φ(z) = A in de tabel. Een rechterstaartoppervlak A betekent Φ(z) = 1 − A. Een centraal oppervlak A tussen −z en z laat (1 − A)/2 in elke staart over, dus Φ(z) = (1 + A)/2. Gebruik voor een waarde x de formule x = μ + zσ.
Dit is onafhankelijk oefenmateriaal. ExamProblems is niet verbonden aan of goedgekeurd door de organisatie die dit examen afneemt, en de naam van het examen wordt alleen gebruikt om de inhoud te beschrijven. Het FE exam wordt afgenomen door NCEES, dat niet verbonden is aan ExamProblems en het niet onderschrijft.
ExamProblems · examproblems.com/courses/fe-exam-civil