Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 30 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.
De vrij opgelegde balk heeft een scharnier in A en een rol in B. Vind de verticale oplegreactie RB.
De vrij opgelegde balk heeft een scharnier in A en een rol in B. Vind de verticale oplegreactie RB.
Gebruik de knopenmethode om de kracht FBC in staaf BC te vinden. Geef trek als positief en druk als negatief.
Gebruik de knopenmethode om de kracht FBC in staaf BC te vinden. Geef trek als positief en druk als negatief.
De markeringen A tot en met G verdelen de balk in zes gelijke delen. Bij welke markering is het buigend moment het grootst in absolute waarde, positief of negatief? Klik erop in het diagram.
Vind het buigend moment Mx in de doorsnede x = 0,5 m vanaf oplegging A. Neem doorbuigende (sagging) momenten positief en een opwaartse dwarskracht op het linkervlak positief.
Een vrij opgelegde balk draagt een gelijkmatig verdeelde belasting w over de hele overspanning. Vind de hoekverdraaiing θA van de balk bij oplegging A, in radialen.
Een vrij opgelegde balk draagt een gelijkmatig verdeelde belasting w. De doorbuiging mag niet groter zijn dan overspanning/360. Vind het kleinste traagheidsmoment Ireq dat aan deze eis voldoet.
Een kolom met lengte L van aluminium is onderaan ingeklemd en bovenaan vrij. Vind met de formule van Euler de kritieke knikbelasting Pcr.
Een kolom met lengte L van staal is aan beide uiteinden scharnierend. Vind de slankheid en de kritieke knikspanning σcr met de formule van Euler.
Een symmetrisch I-profiel heeft flenzen van 180 mm breed en 20 mm dik, een totale hoogte van 320 mm en een lijf van 8 mm dik. Vind het traagheidsmoment Ix om de horizontale zwaartepuntsas x.
Het T-profiel wordt gebruikt als balk met de flens boven en draagt een doorbuigend (sagging) moment van 25 kN·m. Vind de grootte van de buigspanning σboven aan de bovenrand.
Vind voor het getoonde grondprofiel de totale verticale spanning σ in punt X.
Vind voor het getoonde grondprofiel de totale verticale spanning σ in punt X.
Een overgeconsolideerde kleilaag van 7 m dik heeft Cc = 0,5, Cr = 0,04 en e₀ = 0,75. Halverwege de laag is de effectieve verticale spanning 65 kPa en de voorbelastingsspanning is 95 kPa. Een nieuw gebouw voegt halverwege de laag 140 kPa verticale spanning toe. Vind de primaire consolidatiezetting S in mm.
Een kleilaag van 4,5 m dik heeft een consolidatiecoëfficiënt cv = 1 m²/jaar. Ze ligt op ondoorlatend gesteente, met zand erboven, dus water draineert alleen aan de bovenkant weg. Voor 50% gemiddelde consolidatie is de tijdfactor Tv = 0,197. Hoeveel jaar t heeft de laag nodig om 50% consolidatie te bereiken?
Een verticale rechthoekige schuif van 1,5 m breed zit in de wand van een tank met water, met de bovenrand 2 m onder het oppervlak. Vind de resulterende hydrostatische kracht F op de schuif.
Een verticale rechthoekige schuif van 1 m breed zit in de wand van een tank met olie, met de bovenrand 4 m onder het oppervlak. Vind de diepte ycp van het drukpunt onder het oppervlak.
Water (ρ = 1000 kg/m³) stroomt met 0,9 m/s door een horizontale leiding van 50 m lang met een binnendiameter van 75 mm. Gebruik de Darcy-wrijvingsfactor f = 0,018 en g = 9,81 m/s². Vind de drukval Δp over de leiding in kPa.
Twee open reservoirs zijn verbonden door een leiding van 300 m lang met een binnendiameter van 250 mm en een Darcy-wrijvingsfactor f = 0,025. De plaatselijke verliezen zijn een scherpe intrede (K = 0,5), 4 bochten (K = 0,3 per stuk), een afsluiter (K = 5) en de uittrede in het lagere reservoir (K = 1,0). Gebruik g = 9,81 m/s². Welk niveauverschil Δz tussen de reservoirs geeft een debiet van 60 L/s?
Een trapeziumvormig kanaal van schone grond heeft een bodembreedte van 2,5 m en taluds van 1,5:1 (horizontaal:verticaal). Water stroomt eenparig 0,5 m diep. Manning-n = 0,022 en het bodemverhang is S = 0,003. Vind het debiet Q in m³/s.
Een betonnen riool met een binnendiameter van 300 mm (Manning-n = 0,013) moet bij net volle stroming een zelfreinigende snelheid van 1,2 m/s halen. Vind het minimale verhang S (in m/m).
Bij een test levert een pomp 40 L/s water (ρ = 1000 kg/m³) tegen een opvoerhoogte van 28 m, terwijl de as 14,6 kW opneemt. Gebruik g = 9,81 m/s². Vind het pomprendement η in procent.
Een pomp verplaatst 40 L/s water (ρ = 1000 kg/m³) van een open lager reservoir naar een hoger gelegen tank waarvan het wateroppervlak 11 m hoger ligt. De leiding is 200 m lang met een binnendiameter van 150 mm en een Darcy-wrijvingsfactor f = 0,015; de coëfficiënten voor plaatselijke verliezen tellen op tot ΣK = 4 (intrede en uittrede inbegrepen). Gebruik g = 9,81 m/s². De bovenste tank is gesloten en de lucht boven het water staat op een overdruk van 400 kPa. Vind de opvoerhoogte H die de pomp moet toevoegen.
Je hebt over 9 jaar €50 000 nodig. Een rekening geeft 4 % per jaar, per kwartaal samengesteld. Hoeveel moet je vandaag storten? Bereken de contante waarde PV.
Een hypotheek van €250 000 wordt in 25 jaar afgelost met gelijke maandbedragen tegen 3,6 % per jaar, maandelijks samengesteld. Hoeveel is er nog verschuldigd direct na de betaling aan het eind van jaar 13? Bereken de restschuld B.
Een investering van €45 000 levert aan het eind van jaar 1 tot en met 4 deze kasstromen op: €16 000, €19 000, €13 000, €19 000. De vermogenskosten zijn 7,000000000000001 %. Bereken de netto contante waarde NPV.
Een project kost vandaag €50 000. De kasstroom is €15 000 aan het eind van jaar 1 en groeit met 2 % per jaar tot de laatste kasstroom aan het eind van jaar 4. De vermogenskosten zijn 10 %. Bereken de netto contante waarde NPV.
Sleep z zo dat het gearceerde oppervlak tussen −z en z onder de standaardnormale kromme 0,9249 is. Bepaal z op twee decimalen.
De IQ-scores zijn normaal verdeeld met gemiddelde 100 punten en standaardafwijking 15 punten. Bereken de waarde x waaronder 10% ervan ligt (het 10e percentiel).
Antwoord: RB = 39,38 kN
Statisch evenwicht: een lichaam in rust heeft ΣFx = 0, ΣFy = 0 en ΣM = 0 om elk punt. Momenten nemen om één oplegging haalt de reactie van die oplegging uit de vergelijking.
Vervang de opleggingen door reactiekrachten. Een rol geeft één verticale reactie; met alleen verticale belastingen geeft het scharnier ook één verticale reactie.
Momenten om A, tegen de klok in positief. Daarna het verticale krachtenevenwicht.
Antwoord: RB = 5,5 kN
Statisch evenwicht: een lichaam in rust heeft ΣFx = 0, ΣFy = 0 en ΣM = 0 om elk punt. Momenten nemen om één oplegging haalt de reactie van die oplegging uit de vergelijking.
Vervang de opleggingen door reactiekrachten. Een rol geeft één verticale reactie; met alleen verticale belastingen geeft het scharnier ook één verticale reactie.
Momenten om A, tegen de klok in positief. Daarna het verticale krachtenevenwicht.
Antwoord: FBC = −8,099 kN
Knopenmethode: elke knoop van een vakwerk is in evenwicht, dus ΣFx = 0 en ΣFy = 0 in elke knoop. Begin bij een knoop met hoogstens twee onbekende staafkrachten. Een negatief resultaat betekent dat de staaf op druk staat.
Evenwicht van het hele vakwerk. Momenten om A, tegen de klok in positief.
De rol geeft alleen een verticale reactie, dus knoop C heeft maar twee onbekende staafkrachten. Neem aan dat beide op trek staan.
Antwoord: FBC = −33,59 kN
Knopenmethode: elke knoop van een vakwerk is in evenwicht, dus ΣFx = 0 en ΣFy = 0 in elke knoop. Begin bij een knoop met hoogstens twee onbekende staafkrachten. Een negatief resultaat betekent dat de staaf op druk staat.
Evenwicht van het hele vakwerk. Momenten om A, tegen de klok in positief.
De rol geeft alleen een verticale reactie, dus knoop C heeft maar twee onbekende staafkrachten. Neem aan dat beide op trek staan.
Antwoord: D (x = 6 m)
Grootste buigend moment: M verandert van helling overal waar de dwarskracht verandert, dus de pieken liggen waar de dwarskracht door nul gaat: onder een puntlast, binnen een verdeelde last, of boven een oplegging van een uitkragende balk. Bij een ingeklemde oplegging van een console is het moment het grootst bij de wand. Vergelijk de grootte van M op die plaatsen, positief (doorbuigend) of negatief (opbuigend).
Neem momenten om één oplegging en gebruik dan het verticale krachtenevenwicht.
Tel de momenten van alle krachten aan één kant van de snede op. Een doorbuigend moment is positief, een opbuigend moment negatief.
Antwoord: Mx = 17,5 kN·m
Snedemethode: snijd de balk door waar je de inwendige krachten wilt weten en houd één kant over. De dwarskracht V houdt de verticale krachten op die kant in evenwicht, en het buigend moment M hun momenten om de snede.
Evenwicht van de hele balk.
Alleen krachten links van de snede tellen mee. Een stuk verdeelde belasting werkt als één kracht in het midden van dat stuk.
Antwoord: θA = 0,005167 rad
Doorbuiging van balken: doorbuigingen volgen uit het twee keer integreren van de kromming M/(EI). Standaardgevallen staan in tabellen, bijvoorbeeld PL³/(3EI) voor een uitkragende ligger met een eindlast en 5wL⁴/(384EI) voor een vrij opgelegde balk onder een volledige gelijkmatige belasting. Doorbuigingen door afzonderlijke belastingen tellen op (superpositie). De hoekverdraaiing θ = dv/dx is de eerste integraal van M/(EI); in consistente eenheden komt die uit in radialen.
Werk in N en mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.
Dat is 0,296°.
Antwoord: Ireq = 18,08 × 10⁶ mm⁴
Doorbuiging van balken: doorbuigingen volgen uit het twee keer integreren van de kromming M/(EI). Standaardgevallen staan in tabellen, bijvoorbeeld PL³/(3EI) voor een uitkragende ligger met een eindlast en 5wL⁴/(384EI) voor een vrij opgelegde balk onder een volledige gelijkmatige belasting. Doorbuigingen door afzonderlijke belastingen tellen op (superpositie).
Antwoord: Pcr = 3,685 kN
Knik volgens Euler: een slanke kolom wordt instabiel bij Pcr = π²EI/(KL)², waarbij KL de kniklengte is: K = 1 voor scharnier–scharnier, 2 voor ingeklemd–vrij, 0,7 voor ingeklemd–scharnier en 0,5 voor ingeklemd–ingeklemd. De kolom knikt om de as met de kleinste I. De formule geldt voor slanke kolommen, waarvan de kritieke spanning onder de vloeigrens blijft.
Een rechthoek knikt om zijn zwakke as, met de kleinste afmeting tot de derde macht.
Antwoord: σcr = 87,73 MPa
Knik volgens Euler: een slanke kolom wordt instabiel bij Pcr = π²EI/(KL)², waarbij KL de kniklengte is: K = 1 voor scharnier–scharnier, 2 voor ingeklemd–vrij, 0,7 voor ingeklemd–scharnier en 0,5 voor ingeklemd–ingeklemd. De kolom knikt om de as met de kleinste I. De formule geldt voor slanke kolommen, waarvan de kritieke spanning onder de vloeigrens blijft.
Een ronde doorsnede heeft om elke as dezelfde I.
Antwoord: Ix = 176,9 × 10⁶ mm⁴
Traagheidsmoment: voor een rechthoek is I = bh³/12 om de eigen zwaartepuntsas en bh³/3 om de basis (stelling van Steiner I = Ic + A·d²). Een gat verwerk je door de I ervan af te trekken, zolang beide delen dezelfde as hebben. Het elastische weerstandsmoment is S = I/c, waarbij c de afstand tot de uiterste vezel is.
Beide uitsparingen samen zijn (B − tw) breed en hw = H − 2tf hoog, en hebben de as x gemeen.
Antwoord: σboven = 25,57 MPa
Samengestelde doorsneden: verdeel de doorsnede in rechthoeken. Het zwaartepunt is het oppervlaktegewogen gemiddelde ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Het traagheidsmoment om de zwaartepuntsas telt voor elk deel de eigen bh³/12 en de Steinerterm A·d² op, waarbij d de afstand is van het zwaartepunt van het deel tot het totale zwaartepunt. De buigspanning is σ = M·y/I.
Meet elke y vanaf de onderrand.
De bovenrand ligt h − ȳ van de as.
Antwoord: σ = 160,5 kPa
Effectieve spanning (Terzaghi): het korrelskelet draagt σ′ = σ − u. De totale spanning σ is het gewicht van alles boven het punt, Σγ·h, met het droge volumegewicht boven de grondwaterstand en het verzadigde eronder. Onder de grondwaterstand is de waterspanning hydrostatisch: u = γw·(diepte onder de grondwaterstand).
Tel het gewicht op van elke grondlaag boven X. Boven de grondwaterstand gebruik je het droge volumegewicht, eronder het verzadigde.
Antwoord: σ = 123,5 kPa
Effectieve spanning (Terzaghi): het korrelskelet draagt σ′ = σ − u. De totale spanning σ is het gewicht van alles boven het punt, Σγ·h, met het droge volumegewicht boven de grondwaterstand en het verzadigde eronder. Onder de grondwaterstand is de waterspanning hydrostatisch: u = γw·(diepte onder de grondwaterstand).
Tel het gewicht op van elke grondlaag boven X. Boven de grondwaterstand gebruik je het droge volumegewicht, eronder het verzadigde.
Antwoord: S = 694,4 mm
Primaire consolidatie van een kleilaag met dikte H, met de effectieve spanning in het midden van de laag: σ′f = σ′0 + Δσ. Normaal geconsolideerde klei: S = Cc·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0). Overgeconsolideerde klei wordt langs Cr opnieuw samengedrukt tot de voorbelastingsspanning σ′p en volgt pas daarboven Cc. Tijd: t = Tv·Hdr²/cv, waarbij de drainageweg Hdr gelijk is aan H/2 als water boven en onder kan wegstromen, en aan H als maar één kant draineert.
Herbelasting tot σ′p, maagdelijke samendrukking daarboven.
Antwoord: t = 3,989 jaar
Primaire consolidatie van een kleilaag met dikte H, met de effectieve spanning in het midden van de laag: σ′f = σ′0 + Δσ. Normaal geconsolideerde klei: S = Cc·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0). Overgeconsolideerde klei wordt langs Cr opnieuw samengedrukt tot de voorbelastingsspanning σ′p en volgt pas daarboven Cc. Tijd: t = Tv·Hdr²/cv, waarbij de drainageweg Hdr gelijk is aan H/2 als water boven en onder kan wegstromen, en aan H als maar één kant draineert.
Antwoord: F = 119,6 kN
Hydrostatische kracht op een vlak oppervlak: F = ρ·g·yc·A. De kracht grijpt aan in het drukpunt, ycp = yc + Ic/(ycA), dat altijd onder het zwaartepunt ligt.
Antwoord: ycp = 5,067 m
Hydrostatische kracht op een vlak oppervlak: F = ρ·g·yc·A. De kracht grijpt aan in het drukpunt, ycp = yc + Ic/(ycA), dat altijd onder het zwaartepunt ligt.
De druk neemt toe met de diepte, dus de resultante grijpt aan onder het zwaartepunt.
Antwoord: Δp = 4,86 kPa
Leidingstroming: het getal van Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ onderscheidt laminaire stroming (Re onder ongeveer 2000) van turbulente stroming (boven ongeveer 4000). Wrijving langs een leiding kost het drukhoogteverlies volgens Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Hulpstukken, afsluiters, de intrede en de uittrede geven plaatselijke verliezen hm = ΣK·V²/(2g). Tussen twee open reservoiroppervlakken geeft de energievergelijking Δz = hf + hm, inclusief het uittredeverlies K = 1.
De leiding is horizontaal en de snelheid verandert niet, dus de energievergelijking wordt Δp = ρ·g·hf.
Antwoord: Δz = 2,871 m
Leidingstroming: het getal van Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ onderscheidt laminaire stroming (Re onder ongeveer 2000) van turbulente stroming (boven ongeveer 4000). Wrijving langs een leiding kost het drukhoogteverlies volgens Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Hulpstukken, afsluiters, de intrede en de uittrede geven plaatselijke verliezen hm = ΣK·V²/(2g). Tussen twee open reservoiroppervlakken geeft de energievergelijking Δz = hf + hm, inclusief het uittredeverlies K = 1.
Antwoord: Q = 2,114 m³/s
Formule van Manning (SI): voor eenparige stroming in een open waterloop geldt V = (1/n)·R2/3·S1/2 en Q = A·V, met n de ruwheidscoëfficiënt, S het bodemverhang (m/m) en R = A/P de hydraulische straal: doorstroomoppervlak gedeeld door natte omtrek. Alleen de wand die contact maakt met het water telt mee in P, niet het vrije oppervlak. Rechthoek: A = b·y, P = b + 2y. Trapezium met taluds z:1 (horizontaal:verticaal): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Een ronde buis die vol of half vol stroomt heeft R = D/4.
Antwoord: S = 0,007694 m/m
Formule van Manning (SI): voor eenparige stroming in een open waterloop geldt V = (1/n)·R2/3·S1/2 en Q = A·V, met n de ruwheidscoëfficiënt, S het bodemverhang (m/m) en R = A/P de hydraulische straal: doorstroomoppervlak gedeeld door natte omtrek. Alleen de wand die contact maakt met het water telt mee in P, niet het vrije oppervlak. Rechthoek: A = b·y, P = b + 2y. Trapezium met taluds z:1 (horizontaal:verticaal): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Een ronde buis die vol of half vol stroomt heeft R = D/4.
Dat is een daling van 7,694 m per kilometer.
Antwoord: η = 75,25 %
Pompvermogen: het vermogen dat aan het water wordt gegeven is het hydraulisch vermogen Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. De as moet meer leveren omdat de pomp verliezen heeft: Pshaft = Ph/ηpump, en de motor neemt Pel = Pshaft/ηmotor op. De opvoerhoogte H volgt uit de energievergelijking: statische opvoerhoogte + drukhoogte + alle wrijvings- en plaatselijke verliezen.
Antwoord: H = 58,04 m
Pompvermogen: het vermogen dat aan het water wordt gegeven is het hydraulisch vermogen Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. De as moet meer leveren omdat de pomp verliezen heeft: Pshaft = Ph/ηpump, en de motor neemt Pel = Pshaft/ηmotor op. De opvoerhoogte H volgt uit de energievergelijking: statische opvoerhoogte + drukhoogte + alle wrijvings- en plaatselijke verliezen.
Beide oppervlakken zijn praktisch in rust, dus er is geen term voor de snelheidshoogte.
Antwoord: PV = 34946 €
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Antwoord: B = 147740 €
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Wat er nog verschuldigd is, moet precies worden afbetaald met de resterende betalingen.
Antwoord: NPV = 11655 €
Netto contante waarde: zet elke kasstroom met het vereiste rendement r terug naar vandaag en tel ze op: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Een project met NPV > 0 verdient meer dan r en voegt waarde toe. De interne rentabiliteit (IRR) is de rente waarbij NPV = 0.
De NCW is positief, dus het project verdient meer dan het vereiste rendement.
Antwoord: NPV = −1122 €
Netto contante waarde: zet elke kasstroom met het vereiste rendement r terug naar vandaag en tel ze op: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Een project met NPV > 0 verdient meer dan r en voegt waarde toe. De interne rentabiliteit (IRR) is de rente waarbij NPV = 0.
De NCW is negatief, dus het project verdient minder dan het vereiste rendement.
Antwoord: z = 1,78
Van een oppervlak terug naar z: Φ(z) is het oppervlak links van z. Zoek voor een linkerstaartoppervlak A de z met Φ(z) = A in de tabel. Een rechterstaartoppervlak A betekent Φ(z) = 1 − A. Een centraal oppervlak A tussen −z en z laat (1 − A)/2 in elke staart over, dus Φ(z) = (1 + A)/2. Gebruik voor een waarde x de formule x = μ + zσ.
Zoek 0,9625 in de tabel en lees z af.
Antwoord: x = 80,78 punten
Normale verdeling: reken een waarde x om naar een z-score, z = (x − μ)/σ, die telt hoeveel standaardafwijkingen x van het gemiddelde ligt. Een z-tabel (of Φ(z)) geeft de oppervlakte links van z, en dat is P(X < x). De oppervlakte rechts is 1 − Φ(z), en de oppervlakte tussen twee waarden is het verschil van hun twee oppervlakten.
Dit is onafhankelijk oefenmateriaal. ExamProblems is niet verbonden aan of goedgekeurd door de organisatie die dit examen afneemt, en de naam van het examen wordt alleen gebruikt om de inhoud te beschrijven. Het FE exam wordt afgenomen door NCEES, dat niet verbonden is aan ExamProblems en het niet onderschrijft.
ExamProblems · examproblems.com/courses/fe-exam-civil