Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 30 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.
De vrij opgelegde balk heeft een scharnier in A en een rol in B. Vind de verticale oplegreactie RA.
De vrij opgelegde balk heeft een scharnier in A en een rol in B. Een last P werkt op 5 m van A, onder een hoek van 40° met de horizontaal, en een verticale last Q werkt op 2 m van A. Vind de hoek α tussen de totale reactiekracht in het scharnier A en de horizontaal.
Gebruik de knopenmethode om de kracht FAC in staaf AC te vinden. Geef trek als positief en druk als negatief.
Gebruik de knopenmethode om de kracht FAC in staaf AC te vinden. Geef trek als positief en druk als negatief.
Vind de dwarskracht Vx in de doorsnede x = 3,5 m vanaf oplegging A. Neem doorbuigende (sagging) momenten positief en een opwaartse dwarskracht op het linkervlak positief.
Vind het buigend moment Mx in de doorsnede x = 3,5 m vanaf oplegging A. Neem doorbuigende (sagging) momenten positief en een opwaartse dwarskracht op het linkervlak positief.
Een vrij opgelegde balk draagt een gelijkmatig verdeelde belasting w over de hele overspanning. Vind de maximale doorbuiging δmax, in het midden.
Een vrij opgelegde balk draagt een gelijkmatig verdeelde belasting w. De doorbuiging mag niet groter zijn dan overspanning/360. Vind het kleinste traagheidsmoment Ireq dat aan deze eis voldoet.
Een kolom met lengte L van staal is onderaan ingeklemd en bovenaan scharnierend. Vind met de formule van Euler de kritieke knikbelasting Pcr.
Een kolom met lengte L van aluminium is aan beide uiteinden ingeklemd. Vind de slankheid en de kritieke knikspanning σcr met de formule van Euler.
Een plaat van 150 mm × 240 mm heeft een rond gat met een diameter van 30 mm op de verticale hartlijn, met zijn middelpunt 84 mm boven de onderkant. Bepaal het kwadratisch oppervlaktemoment Ix om de horizontale as door het zwaartepunt.
Het T-profiel wordt gebruikt als balk met de flens boven en draagt een doorbuigend (sagging) moment van 40 kN·m. Vind de buigspanning σonder aan de onderrand.
Vind voor het getoonde grondprofiel de waterspanning u in punt X.
Vind voor het getoonde grondprofiel de totale verticale spanning σ in punt X.
Een overgeconsolideerde kleilaag van 5 m dik heeft Cc = 0,45, Cr = 0,04 en e₀ = 0,95. Halverwege de laag is de effectieve verticale spanning 100 kPa en de voorbelastingsspanning is 190 kPa. Een nieuw gebouw voegt halverwege de laag 230 kPa verticale spanning toe. Vind de primaire consolidatiezetting S in mm.
Bij een oedometerproef in het laboratorium bereikt een kleimonster van 19 mm dik, gedraineerd aan boven- en onderkant, 50% consolidatie in 12 min. In het veld vormt dezelfde klei een laag van 6,5 m dik. Ze ligt tussen twee zandlagen, dus water draineert aan de boven- en onderkant weg. Hoeveel dagen t heeft de laag in het veld nodig om 50% consolidatie te bereiken?
Een verticale rechthoekige schuif van 2 m breed zit in de wand van een tank met water, met de bovenrand 3 m onder het oppervlak. Vind de resulterende hydrostatische kracht F op de schuif.
Een verticale rechthoekige schuif van 2 m breed zit in de wand van een tank met water, met de bovenrand 1,5 m onder het oppervlak. Vind de resulterende hydrostatische kracht F op de schuif.
Water stroomt met een gemiddelde snelheid van 2,6 m/s door een leiding van 400 m lang met een binnendiameter van 50 mm. Gebruik de Darcy-wrijvingsfactor f = 0,028 en g = 9,81 m/s². Vind het wrijvingsverlies hf.
Twee open reservoirs zijn verbonden door een leiding van 300 m lang met een binnendiameter van 250 mm en een Darcy-wrijvingsfactor f = 0,018. De plaatselijke verliezen zijn een scherpe intrede (K = 0,5), 2 bochten (K = 0,3 per stuk), een afsluiter (K = 5) en de uittrede in het lagere reservoir (K = 1,0). Gebruik g = 9,81 m/s². Welk niveauverschil Δz tussen de reservoirs geeft een debiet van 150 L/s?
Een betonnen regenwaterriool met een binnendiameter van 1200 mm stroomt half vol. Manning-n = 0,013 en het verhang is S = 0,004. Vind het debiet Q in m³/s.
Een trapeziumvormig kanaal van grond met grasbekleding met een bodembreedte van 1 m en taluds van 2:1 (horizontaal:verticaal) moet 33 m³/s afvoeren bij eenparige stroming met een diepte van 2,3 m. Manning-n = 0,03. Vind het benodigde bodemverhang S (in m/m).
Een pomp levert 20 L/s water (ρ = 1000 kg/m³) tegen een opvoerhoogte van 36 m. Het pomprendement is 78% en de elektromotor die de pomp aandrijft heeft een rendement van 95%. Gebruik g = 9,81 m/s². Vind het elektrisch vermogen Pel dat de motor opneemt, in kW.
Een pomp verplaatst 40 L/s water (ρ = 1000 kg/m³) van een open lager reservoir naar een hoger gelegen tank waarvan het wateroppervlak 5 m hoger ligt. De leiding is 500 m lang met een binnendiameter van 200 mm en een Darcy-wrijvingsfactor f = 0,018; de coëfficiënten voor plaatselijke verliezen tellen op tot ΣK = 6 (intrede en uittrede inbegrepen). Gebruik g = 9,81 m/s². De bovenste tank is gesloten en de lucht boven het water staat op een overdruk van 300 kPa. Vind de opvoerhoogte H die de pomp moet toevoegen.
Een vastgoedobject levert volgend jaar naar verwachting €5 000 netto huur op. De huur groeit naar verwachting voor altijd met 2,5 % per jaar. Het vereiste rendement is 8,5 % per jaar. Bereken de waarde PV van het object vandaag.
Een hypotheek van €300 000 wordt in 30 jaar afgelost met gelijke maandbedragen tegen 3,6 % per jaar, maandelijks samengesteld. Hoeveel is er nog verschuldigd direct na de betaling aan het eind van jaar 20? Bereken de restschuld B.
Een investering van €75 000 levert aan het eind van jaar 1 tot en met 3 deze kasstromen op: €20 000, €35 000, €24 000. De vermogenskosten zijn 8 %. Bereken de netto contante waarde NPV.
Een project kost €25 000 en levert aan het eind van jaar 1 tot en met 2 €15 500, €11 000 op. Bereken de interne rentabiliteit IRR in procenten.
Sleep z zo dat het gearceerde oppervlak onder de standaardnormale kromme, rechts van z, 0,9842 is. Bepaal z op twee decimalen.
De gewichten van zakken zijn normaal verdeeld met gemiddelde 250 g en standaardafwijking 5 g. Sleep de grenswaarde zo dat de gearceerde bovenste 85% rechts ervan ligt. Bepaal de grenswaarde x.
Antwoord: RA = 38,5 kN
Statisch evenwicht: een lichaam in rust heeft ΣFx = 0, ΣFy = 0 en ΣM = 0 om elk punt. Momenten nemen om één oplegging haalt de reactie van die oplegging uit de vergelijking.
Vervang de opleggingen door reactiekrachten. Een rol geeft één verticale reactie; met alleen verticale belastingen geeft het scharnier ook één verticale reactie.
Momenten om A, tegen de klok in positief. Daarna het verticale krachtenevenwicht.
Antwoord: α = 81,99 °
Statisch evenwicht: een lichaam in rust heeft ΣFx = 0, ΣFy = 0 en ΣM = 0 om elk punt. Vervang elke verdeelde belasting door haar resultante (de oppervlakte) die aangrijpt in het zwaartepunt van het belastingsdiagram, en neem momenten om een oplegging om de reactie van die oplegging uit de vergelijking te halen.
Antwoord: FAC = 6,25 kN
Knopenmethode: elke knoop van een vakwerk is in evenwicht, dus ΣFx = 0 en ΣFy = 0 in elke knoop. Begin bij een knoop met hoogstens twee onbekende staafkrachten. Een negatief resultaat betekent dat de staaf op druk staat.
Evenwicht van het hele vakwerk. Momenten om A, tegen de klok in positief.
De rol geeft alleen een verticale reactie, dus knoop C heeft maar twee onbekende staafkrachten. Neem aan dat beide op trek staan.
Antwoord: FAC = 23,33 kN
Knopenmethode: elke knoop van een vakwerk is in evenwicht, dus ΣFx = 0 en ΣFy = 0 in elke knoop. Begin bij een knoop met hoogstens twee onbekende staafkrachten. Een negatief resultaat betekent dat de staaf op druk staat.
Evenwicht van het hele vakwerk. Momenten om A, tegen de klok in positief.
De rol geeft alleen een verticale reactie, dus knoop C heeft maar twee onbekende staafkrachten. Neem aan dat beide op trek staan.
Antwoord: Vx = −15 kN
Snedemethode: snijd de balk door waar je de inwendige krachten wilt weten en houd één kant over. De dwarskracht V houdt de verticale krachten op die kant in evenwicht, en het buigend moment M hun momenten om de snede.
Evenwicht van de hele balk.
Alleen krachten links van de snede tellen mee. Een stuk verdeelde belasting werkt als één kracht in het midden van dat stuk.
Antwoord: Mx = 13 kN·m
Snedemethode: snijd de balk door waar je de inwendige krachten wilt weten en houd één kant over. De dwarskracht V houdt de verticale krachten op die kant in evenwicht, en het buigend moment M hun momenten om de snede.
Evenwicht van de hele balk.
Alleen krachten links van de snede tellen mee. Een stuk verdeelde belasting werkt als één kracht in het midden van dat stuk.
Antwoord: δmax = 18,34 mm
Doorbuiging van balken: doorbuigingen volgen uit het twee keer integreren van de kromming M/(EI). Standaardgevallen staan in tabellen, bijvoorbeeld PL³/(3EI) voor een uitkragende ligger met een eindlast en 5wL⁴/(384EI) voor een vrij opgelegde balk onder een volledige gelijkmatige belasting. Doorbuigingen door afzonderlijke belastingen tellen op (superpositie).
Werk in N en mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.
Antwoord: Ireq = 2,93 × 10⁶ mm⁴
Doorbuiging van balken: doorbuigingen volgen uit het twee keer integreren van de kromming M/(EI). Standaardgevallen staan in tabellen, bijvoorbeeld PL³/(3EI) voor een uitkragende ligger met een eindlast en 5wL⁴/(384EI) voor een vrij opgelegde balk onder een volledige gelijkmatige belasting. Doorbuigingen door afzonderlijke belastingen tellen op (superpositie).
Antwoord: Pcr = 537,1 kN
Knik volgens Euler: een slanke kolom wordt instabiel bij Pcr = π²EI/(KL)², waarbij KL de kniklengte is: K = 1 voor scharnier–scharnier, 2 voor ingeklemd–vrij, 0,7 voor ingeklemd–scharnier en 0,5 voor ingeklemd–ingeklemd. De kolom knikt om de as met de kleinste I. De formule geldt voor slanke kolommen, waarvan de kritieke spanning onder de vloeigrens blijft.
Een rechthoek knikt om zijn zwakke as, met de kleinste afmeting tot de derde macht.
Antwoord: σcr = 30,71 MPa
Knik volgens Euler: een slanke kolom wordt instabiel bij Pcr = π²EI/(KL)², waarbij KL de kniklengte is: K = 1 voor scharnier–scharnier, 2 voor ingeklemd–vrij, 0,7 voor ingeklemd–scharnier en 0,5 voor ingeklemd–ingeklemd. De kolom knikt om de as met de kleinste I. De formule geldt voor slanke kolommen, waarvan de kritieke spanning onder de vloeigrens blijft.
Een ronde doorsnede heeft om elke as dezelfde I.
Antwoord: Ix = 171,8 × 10⁶ mm⁴
Doorsneden met gaten: behandel een gat als een negatief oppervlak. Het zwaartepunt is ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), met A₁, y₁ voor de volle plaat en A₂, y₂ voor het gat. Gebruik voor het kwadratisch oppervlaktemoment om de zwaartelijn de stelling van Steiner voor elk deel en trek het gat af: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), waarbij d de afstand is van het eigen zwaartepunt van elk deel tot de as door ȳ. Een rechthoek heeft Ic = bh³/12 en een cirkel Ic = πd⁴/64.
Antwoord: σonder = 320,1 MPa
Samengestelde doorsneden: verdeel de doorsnede in rechthoeken. Het zwaartepunt is het oppervlaktegewogen gemiddelde ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Het traagheidsmoment om de zwaartepuntsas telt voor elk deel de eigen bh³/12 en de Steinerterm A·d² op, waarbij d de afstand is van het zwaartepunt van het deel tot het totale zwaartepunt. De buigspanning is σ = M·y/I.
Meet elke y vanaf de onderrand.
De onderrand ligt ȳ van de as.
Antwoord: u = 49,05 kPa
Effectieve spanning (Terzaghi): het korrelskelet draagt σ′ = σ − u. De totale spanning σ is het gewicht van alles boven het punt, Σγ·h, met het droge volumegewicht boven de grondwaterstand en het verzadigde eronder. Onder de grondwaterstand is de waterspanning hydrostatisch: u = γw·(diepte onder de grondwaterstand).
De waterdruk neemt toe met de diepte onder de grondwaterstand.
Antwoord: σ = 132 kPa
Effectieve spanning (Terzaghi): het korrelskelet draagt σ′ = σ − u. De totale spanning σ is het gewicht van alles boven het punt, Σγ·h, met het droge volumegewicht boven de grondwaterstand en het verzadigde eronder. Onder de grondwaterstand is de waterspanning hydrostatisch: u = γw·(diepte onder de grondwaterstand).
Tel het gewicht op van elke grondlaag boven X. Boven de grondwaterstand gebruik je het droge volumegewicht, eronder het verzadigde.
Antwoord: S = 305,2 mm
Primaire consolidatie van een kleilaag met dikte H, met de effectieve spanning in het midden van de laag: σ′f = σ′0 + Δσ. Normaal geconsolideerde klei: S = Cc·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0). Overgeconsolideerde klei wordt langs Cr opnieuw samengedrukt tot de voorbelastingsspanning σ′p en volgt pas daarboven Cc. Tijd: t = Tv·Hdr²/cv, waarbij de drainageweg Hdr gelijk is aan H/2 als water boven en onder kan wegstromen, en aan H als maar één kant draineert.
Herbelasting tot σ′p, maagdelijke samendrukking daarboven.
Antwoord: t = 975,3 dagen
Primaire consolidatie van een kleilaag met dikte H, met de effectieve spanning in het midden van de laag: σ′f = σ′0 + Δσ. Normaal geconsolideerde klei: S = Cc·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0). Overgeconsolideerde klei wordt langs Cr opnieuw samengedrukt tot de voorbelastingsspanning σ′p en volgt pas daarboven Cc. Tijd: t = Tv·Hdr²/cv, waarbij de drainageweg Hdr gelijk is aan H/2 als water boven en onder kan wegstromen, en aan H als maar één kant draineert.
t = Tv·Hdr²/cv met dezelfde T_v en cv in het laboratorium en in het veld.
Antwoord: F = 110,4 kN
Hydrostatische kracht op een vlak oppervlak: F = ρ·g·yc·A. De kracht grijpt aan in het drukpunt, ycp = yc + Ic/(ycA), dat altijd onder het zwaartepunt ligt.
Antwoord: F = 176,6 kN
Hydrostatische kracht op een vlak oppervlak: F = ρ·g·yc·A. De kracht grijpt aan in het drukpunt, ycp = yc + Ic/(ycA), dat altijd onder het zwaartepunt ligt.
Antwoord: hf = 77,18 m
Leidingstroming: het getal van Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ onderscheidt laminaire stroming (Re onder ongeveer 2000) van turbulente stroming (boven ongeveer 4000). Wrijving langs een leiding kost het drukhoogteverlies volgens Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Hulpstukken, afsluiters, de intrede en de uittrede geven plaatselijke verliezen hm = ΣK·V²/(2g). Tussen twee open reservoiroppervlakken geeft de energievergelijking Δz = hf + hm, inclusief het uittredeverlies K = 1.
Antwoord: Δz = 13,66 m
Leidingstroming: het getal van Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ onderscheidt laminaire stroming (Re onder ongeveer 2000) van turbulente stroming (boven ongeveer 4000). Wrijving langs een leiding kost het drukhoogteverlies volgens Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Hulpstukken, afsluiters, de intrede en de uittrede geven plaatselijke verliezen hm = ΣK·V²/(2g). Tussen twee open reservoiroppervlakken geeft de energievergelijking Δz = hf + hm, inclusief het uittredeverlies K = 1.
Antwoord: Q = 1,233 m³/s
Formule van Manning (SI): voor eenparige stroming in een open waterloop geldt V = (1/n)·R2/3·S1/2 en Q = A·V, met n de ruwheidscoëfficiënt, S het bodemverhang (m/m) en R = A/P de hydraulische straal: doorstroomoppervlak gedeeld door natte omtrek. Alleen de wand die contact maakt met het water telt mee in P, niet het vrije oppervlak. Rechthoek: A = b·y, P = b + 2y. Trapezium met taluds z:1 (horizontaal:verticaal): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Een ronde buis die vol of half vol stroomt heeft R = D/4.
Antwoord: S = 0,004954 m/m
Formule van Manning (SI): voor eenparige stroming in een open waterloop geldt V = (1/n)·R2/3·S1/2 en Q = A·V, met n de ruwheidscoëfficiënt, S het bodemverhang (m/m) en R = A/P de hydraulische straal: doorstroomoppervlak gedeeld door natte omtrek. Alleen de wand die contact maakt met het water telt mee in P, niet het vrije oppervlak. Rechthoek: A = b·y, P = b + 2y. Trapezium met taluds z:1 (horizontaal:verticaal): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Een ronde buis die vol of half vol stroomt heeft R = D/4.
Dat is een daling van 4,954 m per kilometer.
Antwoord: Pel = 9,532 kW
Pompvermogen: het vermogen dat aan het water wordt gegeven is het hydraulisch vermogen Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. De as moet meer leveren omdat de pomp verliezen heeft: Pshaft = Ph/ηpump, en de motor neemt Pel = Pshaft/ηmotor op. De opvoerhoogte H volgt uit de energievergelijking: statische opvoerhoogte + drukhoogte + alle wrijvings- en plaatselijke verliezen.
Antwoord: H = 39,8 m
Pompvermogen: het vermogen dat aan het water wordt gegeven is het hydraulisch vermogen Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. De as moet meer leveren omdat de pomp verliezen heeft: Pshaft = Ph/ηpump, en de motor neemt Pel = Pshaft/ηmotor op. De opvoerhoogte H volgt uit de energievergelijking: statische opvoerhoogte + drukhoogte + alle wrijvings- en plaatselijke verliezen.
Beide oppervlakken zijn praktisch in rust, dus er is geen term voor de snelheidshoogte.
Antwoord: PV = 83333 €
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Antwoord: B = 137279 €
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Wat er nog verschuldigd is, moet precies worden afbetaald met de resterende betalingen.
Antwoord: NPV = −7423 €
Netto contante waarde: zet elke kasstroom met het vereiste rendement r terug naar vandaag en tel ze op: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Een project met NPV > 0 verdient meer dan r en voegt waarde toe. De interne rentabiliteit (IRR) is de rente waarbij NPV = 0.
De NCW is negatief, dus het project verdient minder dan het vereiste rendement.
Antwoord: IRR = 4,219 %
Netto contante waarde: zet elke kasstroom met het vereiste rendement r terug naar vandaag en tel ze op: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Een project met NPV > 0 verdient meer dan r en voegt waarde toe. De interne rentabiliteit (IRR) is de rente waarbij NPV = 0.
De NCW daalt als de rente stijgt, dus de IRR ligt tussen een rente met positieve en een met negatieve NCW.
Lineair interpoleren geeft een eerste schatting; dat herhalen (of de IRR-functie van een rekenmachine) geeft de exacte rente.
Antwoord: z = −2,15
Van een oppervlak terug naar z: Φ(z) is het oppervlak links van z. Zoek voor een linkerstaartoppervlak A de z met Φ(z) = A in de tabel. Een rechterstaartoppervlak A betekent Φ(z) = 1 − A. Een centraal oppervlak A tussen −z en z laat (1 − A)/2 in elke staart over, dus Φ(z) = (1 + A)/2. Gebruik voor een waarde x de formule x = μ + zσ.
Zoek 0,0158 in de tabel en lees z af.
Antwoord: x = 244,8 g
Van een oppervlak terug naar z: Φ(z) is het oppervlak links van z. Zoek voor een linkerstaartoppervlak A de z met Φ(z) = A in de tabel. Een rechterstaartoppervlak A betekent Φ(z) = 1 − A. Een centraal oppervlak A tussen −z en z laat (1 − A)/2 in elke staart over, dus Φ(z) = (1 + A)/2. Gebruik voor een waarde x de formule x = μ + zσ.
Dit is onafhankelijk oefenmateriaal. ExamProblems is niet verbonden aan of goedgekeurd door de organisatie die dit examen afneemt, en de naam van het examen wordt alleen gebruikt om de inhoud te beschrijven. Het FE exam wordt afgenomen door NCEES, dat niet verbonden is aan ExamProblems en het niet onderschrijft.
ExamProblems · examproblems.com/courses/fe-exam-civil