Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 30 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.
De balk heeft een scharnier in A en een rol in B, op 6 m van A, en steekt voorbij B uit tot het vrije uiteinde C. Vind de verticale reactie RB, met omhoog positief.
De uitkragende ligger is in A in de muur ingeklemd. Hij draagt een lineair verlopende belasting die nul is bij de muur en oploopt tot 8 kN/m aan het vrije uiteinde B, plus een puntlast P op 3 m van de muur. Vind de grootte van het inklemmingsmoment MA bij de muur.
Gebruik de knopenmethode om de kracht FAB in staaf AB te vinden. Geef trek als positief en druk als negatief.
Precies één staaf van dit vakwerk draagt onder deze belastingen geen kracht. Welke is de nulstaaf? Klik erop in het diagram.
Vind de dwarskracht Vx in de doorsnede x = 3,5 m vanaf oplegging A. Neem doorbuigende (sagging) momenten positief en een opwaartse dwarskracht op het linkervlak positief.
De markeringen A tot en met G verdelen de balk in zes gelijke delen. Bij welke markering is het buigend moment het grootst in absolute waarde, positief of negatief? Klik erop in het diagram.
Een vrij opgelegde balk draagt een gelijkmatig verdeelde belasting w over de hele overspanning. Vind de hoekverdraaiing θA van de balk bij oplegging A, in radialen.
Een ingeklemde ligger is ingeklemd in A en vrij opgelegd (gesteund) in B. Hij draagt een puntlast P in het midden. EI is constant. Vind de reactie RB bij de steunoplegging.
Een kolom met lengte L van aluminium is aan beide uiteinden ingeklemd. Vind met de formule van Euler de kritieke knikbelasting Pcr.
Een kolom met lengte L van staal is onderaan ingeklemd en bovenaan scharnierend. Vind de slankheid en de kritieke knikspanning σcr met de formule van Euler.
Vind het traagheidsmoment Ix van het T-profiel om de horizontale as x door het zwaartepunt.
Het T-profiel wordt gebruikt als balk met de flens boven en draagt een doorbuigend (sagging) moment van 25 kN·m. Vind de buigspanning σonder aan de onderrand.
Vind voor het getoonde grondprofiel de verticale effectieve spanning σ′ in punt X.
Vind voor het getoonde grondprofiel de verticale effectieve spanning σ′ in punt X.
Een overgeconsolideerde kleilaag van 3,5 m dik heeft Cc = 0,3, Cr = 0,05 en e₀ = 0,7. Halverwege de laag is de effectieve verticale spanning 115 kPa en de voorbelastingsspanning is 195 kPa. Een nieuw gebouw voegt halverwege de laag 160 kPa verticale spanning toe. Vind de primaire consolidatiezetting S in mm.
Bij een oedometerproef in het laboratorium bereikt een kleimonster van 19 mm dik, gedraineerd aan boven- en onderkant, 50% consolidatie in 5 min. In het veld vormt dezelfde klei een laag van 3 m dik. Ze ligt op ondoorlatend gesteente, met zand erboven, dus water draineert alleen aan de bovenkant weg. Hoeveel dagen t heeft de laag in het veld nodig om 50% consolidatie te bereiken?
Een verticale rechthoekige schuif van 3 m breed zit in de wand van een tank met water, met de bovenrand 4 m onder het oppervlak. Vind de resulterende hydrostatische kracht F op de schuif.
Een verticale rechthoekige schuif van 1,5 m breed zit in de wand van een tank met zeewater, met de bovenrand 0,5 m onder het oppervlak. Vind de resulterende hydrostatische kracht F op de schuif.
Water (ρ = 1000 kg/m³) stroomt met 2,4 m/s door een horizontale leiding van 400 m lang met een binnendiameter van 250 mm. Gebruik de Darcy-wrijvingsfactor f = 0,025 en g = 9,81 m/s². Vind de drukval Δp over de leiding in kPa.
Twee open reservoirs zijn verbonden door een leiding van 300 m lang met een binnendiameter van 250 mm en een Darcy-wrijvingsfactor f = 0,02. Het wateroppervlak van het bovenste reservoir ligt 27 m boven dat van het onderste. De plaatselijke verliezen zijn een scherpe intrede (K = 0,5), 4 bochten (K = 0,3 per stuk), een afsluiter (K = 10) en de uittrede in het lagere reservoir (K = 1,0). Gebruik g = 9,81 m/s². Vind het debiet Q in L/s.
Een betonnen regenwaterriool met een binnendiameter van 600 mm stroomt half vol. Manning-n = 0,013 en het verhang is S = 0,002. Vind het debiet Q in m³/s.
Een betonnen riool met een binnendiameter van 450 mm (Manning-n = 0,013) moet bij net volle stroming een zelfreinigende snelheid van 1,2 m/s halen. Vind het minimale verhang S (in m/m).
Een pomp levert 10 L/s water (ρ = 1000 kg/m³) tegen een opvoerhoogte van 68 m. Het pomprendement is 65% en de elektromotor die de pomp aandrijft heeft een rendement van 92%. Gebruik g = 9,81 m/s². Vind het elektrisch vermogen Pel dat de motor opneemt, in kW.
Een pomp verplaatst 80 L/s water (ρ = 1000 kg/m³) van een open lager reservoir naar een hoger gelegen tank waarvan het wateroppervlak 14 m hoger ligt. De leiding is 400 m lang met een binnendiameter van 200 mm en een Darcy-wrijvingsfactor f = 0,015; de coëfficiënten voor plaatselijke verliezen tellen op tot ΣK = 5 (intrede en uittrede inbegrepen). Gebruik g = 9,81 m/s². Het pomprendement is 80%. Vind het asvermogen Pshaft in kW.
Je belegt €10 000 tegen 6 % per jaar met continue samengestelde rente. Bereken de waarde FV na 16 jaar.
Een lening van €150 000 wordt in 20 jaar afgelost met gelijke maandbedragen tegen 5,4 % per jaar, maandelijks samengesteld. Hoeveel rente I wordt er in totaal over de looptijd van de lening betaald?
Een machine kost vandaag €30 000, gaat 7 jaar mee en kost €3 000 per jaar aan bedrijfskosten (betaald aan het eind van elk jaar). De vermogenskosten zijn 5 %. Bereken de equivalente jaarlijkse kosten EAC.
Een project kost €40 000 en levert aan het eind van jaar 1 tot en met 2 €21 500, €23 000 op. Bereken de interne rentabiliteit IRR in procenten.
De massa's van bouten zijn onafhankelijk en normaal verdeeld met gemiddelde 40 g en standaardafwijking 1,2 g. Bepaal de kans P dat de totale massa van 16 ervan groter is dan 647,2 g. Rond z af op twee decimalen.
De massa X van een product van lijn 1 en Y van lijn 2 zijn onafhankelijk en normaal verdeeld: X heeft gemiddelde 500 g en standaardafwijking 8 g, Y heeft gemiddelde 490 g en standaardafwijking 6 g. Bepaal de kans P dat X groter is dan Y. Rond z af op twee decimalen.
Antwoord: RB = 59,17 kN
Statisch evenwicht: een lichaam in rust heeft ΣFx = 0, ΣFy = 0 en ΣM = 0 om elk punt. Vervang elke verdeelde belasting door haar resultante (de oppervlakte) die aangrijpt in het zwaartepunt van het belastingsdiagram, en neem momenten om een oplegging om de reactie van die oplegging uit de vergelijking te halen.
Linksom positief.
Antwoord: MA = 261 kN·m
Evenwicht van een uitkragende ligger: een inklemming kan omhoog duwen en ook rotatie tegenhouden, dus ze levert een verticale reactie RA en een inklemmingsmoment MA. ΣFy = 0 geeft RA, en momenten om de muur geven MA = Σ(last × afstand tot de muur). Een verdeelde belasting werkt als haar resultante in het zwaartepunt van het belastingsdiagram.
Antwoord: FAB = −27,67 kN
Knopenmethode: elke knoop van een vakwerk is in evenwicht, dus ΣFx = 0 en ΣFy = 0 in elke knoop. Begin bij een knoop met hoogstens twee onbekende staafkrachten. Een negatief resultaat betekent dat de staaf op druk staat.
Evenwicht van het hele vakwerk. Momenten om A, tegen de klok in positief.
Neem aan dat elke staaf op trek staat (trekt van de knoop af). Alleen AB heeft een verticale component in A.
Antwoord: staaf CG
Nulstaven: in een knooppunt moeten de krachten in elke richting in evenwicht zijn. Als een knooppunt geen belasting en geen oplegging heeft, en twee van zijn drie staven op één lijn liggen, dan betrekt het evenwicht dwars op die lijn alleen de derde staaf, dus haar kracht is nul. Als er maar twee staven samenkomen in een onbelast knooppunt en ze niet op één lijn liggen, zijn beide nul.
BC en CD liggen op één rechte lijn en het knooppunt draagt geen belasting. Het krachtenevenwicht dwars op die lijn laat alleen CG over.
Het oplossen van alle knooppunten geeft deze staafkrachten (T = trek, C = druk).
Antwoord: Vx = −15 kN
Snedemethode: snijd de balk door waar je de inwendige krachten wilt weten en houd één kant over. De dwarskracht V houdt de verticale krachten op die kant in evenwicht, en het buigend moment M hun momenten om de snede.
Evenwicht van de hele balk.
Alleen krachten links van de snede tellen mee. Een stuk verdeelde belasting werkt als één kracht in het midden van dat stuk.
Antwoord: E (x = 8 m)
Grootste buigend moment: M verandert van helling overal waar de dwarskracht verandert, dus de pieken liggen waar de dwarskracht door nul gaat: onder een puntlast, binnen een verdeelde last, of boven een oplegging van een uitkragende balk. Bij een ingeklemde oplegging van een console is het moment het grootst bij de wand. Vergelijk de grootte van M op die plaatsen, positief (doorbuigend) of negatief (opbuigend).
Neem momenten om één oplegging en gebruik dan het verticale krachtenevenwicht.
Tel de momenten van alle krachten aan één kant van de snede op. Een doorbuigend moment is positief, een opbuigend moment negatief.
Antwoord: θA = 0,002713 rad
Doorbuiging van balken: doorbuigingen volgen uit het twee keer integreren van de kromming M/(EI). Standaardgevallen staan in tabellen, bijvoorbeeld PL³/(3EI) voor een uitkragende ligger met een eindlast en 5wL⁴/(384EI) voor een vrij opgelegde balk onder een volledige gelijkmatige belasting. Doorbuigingen door afzonderlijke belastingen tellen op (superpositie). De hoekverdraaiing θ = dv/dx is de eerste integraal van M/(EI); in consistente eenheden komt die uit in radialen.
Werk in N en mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.
Dat is 0,1554°.
Antwoord: RB = 3,125 kN
Doorbuiging van balken: doorbuigingen volgen uit het twee keer integreren van de kromming M/(EI). Standaardgevallen staan in tabellen, bijvoorbeeld PL³/(3EI) voor een uitkragende ligger met een eindlast en 5wL⁴/(384EI) voor een vrij opgelegde balk onder een volledige gelijkmatige belasting. Doorbuigingen door afzonderlijke belastingen tellen op (superpositie). Haal bij een statisch onbepaalde balk een overtollige oplegging weg en eis dat de doorbuiging daar nul is (vormveranderingsvoorwaarde).
Zonder de steunoplegging is de balk een uitkragende ligger. Het vrije uiteinde zou onder de belasting doorbuigen.
De steunkracht RB alleen tilt het vrije uiteinde op met RBL³/(3EI). De steunoplegging houdt B op nul doorbuiging, dus de twee moeten elkaar opheffen. EI valt weg.
Antwoord: Pcr = 46,06 kN
Knik volgens Euler: een slanke kolom wordt instabiel bij Pcr = π²EI/(KL)², waarbij KL de kniklengte is: K = 1 voor scharnier–scharnier, 2 voor ingeklemd–vrij, 0,7 voor ingeklemd–scharnier en 0,5 voor ingeklemd–ingeklemd. De kolom knikt om de as met de kleinste I. De formule geldt voor slanke kolommen, waarvan de kritieke spanning onder de vloeigrens blijft.
Een rechthoek knikt om zijn zwakke as, met de kleinste afmeting tot de derde macht.
Antwoord: σcr = 100,7 MPa
Knik volgens Euler: een slanke kolom wordt instabiel bij Pcr = π²EI/(KL)², waarbij KL de kniklengte is: K = 1 voor scharnier–scharnier, 2 voor ingeklemd–vrij, 0,7 voor ingeklemd–scharnier en 0,5 voor ingeklemd–ingeklemd. De kolom knikt om de as met de kleinste I. De formule geldt voor slanke kolommen, waarvan de kritieke spanning onder de vloeigrens blijft.
Een ronde doorsnede heeft om elke as dezelfde I.
Antwoord: Ix = 106,5 × 10⁶ mm⁴
Samengestelde doorsneden: verdeel de doorsnede in rechthoeken. Het zwaartepunt is het oppervlaktegewogen gemiddelde ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Het traagheidsmoment om de zwaartepuntsas telt voor elk deel de eigen bh³/12 en de Steinerterm A·d² op, waarbij d de afstand is van het zwaartepunt van het deel tot het totale zwaartepunt. De buigspanning is σ = M·y/I.
Meet elke y vanaf de onderrand.
Antwoord: σonder = 89,32 MPa
Samengestelde doorsneden: verdeel de doorsnede in rechthoeken. Het zwaartepunt is het oppervlaktegewogen gemiddelde ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Het traagheidsmoment om de zwaartepuntsas telt voor elk deel de eigen bh³/12 en de Steinerterm A·d² op, waarbij d de afstand is van het zwaartepunt van het deel tot het totale zwaartepunt. De buigspanning is σ = M·y/I.
Meet elke y vanaf de onderrand.
De onderrand ligt ȳ van de as.
Antwoord: σ′ = 55,76 kPa
Effectieve spanning (Terzaghi): het korrelskelet draagt σ′ = σ − u. De totale spanning σ is het gewicht van alles boven het punt, Σγ·h, met het droge volumegewicht boven de grondwaterstand en het verzadigde eronder. Onder de grondwaterstand is de waterspanning hydrostatisch: u = γw·(diepte onder de grondwaterstand).
Tel het gewicht op van elke grondlaag boven X. Boven de grondwaterstand gebruik je het droge volumegewicht, eronder het verzadigde.
De waterdruk neemt toe met de diepte onder de grondwaterstand.
Antwoord: σ′ = 56,07 kPa
Effectieve spanning (Terzaghi): het korrelskelet draagt σ′ = σ − u. De totale spanning σ is het gewicht van alles boven het punt, Σγ·h, met het droge volumegewicht boven de grondwaterstand en het verzadigde eronder. Onder de grondwaterstand is de waterspanning hydrostatisch: u = γw·(diepte onder de grondwaterstand).
Tel het gewicht op van elke grondlaag boven X. Boven de grondwaterstand gebruik je het droge volumegewicht, eronder het verzadigde.
De waterdruk neemt toe met de diepte onder de grondwaterstand.
Antwoord: S = 115,8 mm
Primaire consolidatie van een kleilaag met dikte H, met de effectieve spanning in het midden van de laag: σ′f = σ′0 + Δσ. Normaal geconsolideerde klei: S = Cc·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0). Overgeconsolideerde klei wordt langs Cr opnieuw samengedrukt tot de voorbelastingsspanning σ′p en volgt pas daarboven Cc. Tijd: t = Tv·Hdr²/cv, waarbij de drainageweg Hdr gelijk is aan H/2 als water boven en onder kan wegstromen, en aan H als maar één kant draineert.
Herbelasting tot σ′p, maagdelijke samendrukking daarboven.
Antwoord: t = 346,3 dagen
Primaire consolidatie van een kleilaag met dikte H, met de effectieve spanning in het midden van de laag: σ′f = σ′0 + Δσ. Normaal geconsolideerde klei: S = Cc·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0). Overgeconsolideerde klei wordt langs Cr opnieuw samengedrukt tot de voorbelastingsspanning σ′p en volgt pas daarboven Cc. Tijd: t = Tv·Hdr²/cv, waarbij de drainageweg Hdr gelijk is aan H/2 als water boven en onder kan wegstromen, en aan H als maar één kant draineert.
t = Tv·Hdr²/cv met dezelfde T_v en cv in het laboratorium en in het veld.
Antwoord: F = 386,3 kN
Hydrostatische kracht op een vlak oppervlak: F = ρ·g·yc·A. De kracht grijpt aan in het drukpunt, ycp = yc + Ic/(ycA), dat altijd onder het zwaartepunt ligt.
Antwoord: F = 65,99 kN
Hydrostatische kracht op een vlak oppervlak: F = ρ·g·yc·A. De kracht grijpt aan in het drukpunt, ycp = yc + Ic/(ycA), dat altijd onder het zwaartepunt ligt.
Antwoord: Δp = 115,2 kPa
Leidingstroming: het getal van Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ onderscheidt laminaire stroming (Re onder ongeveer 2000) van turbulente stroming (boven ongeveer 4000). Wrijving langs een leiding kost het drukhoogteverlies volgens Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Hulpstukken, afsluiters, de intrede en de uittrede geven plaatselijke verliezen hm = ΣK·V²/(2g). Tussen twee open reservoiroppervlakken geeft de energievergelijking Δz = hf + hm, inclusief het uittredeverlies K = 1.
De leiding is horizontaal en de snelheid verandert niet, dus de energievergelijking wordt Δp = ρ·g·hf.
Antwoord: Q = 186,5 L/s
Leidingstroming: het getal van Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ onderscheidt laminaire stroming (Re onder ongeveer 2000) van turbulente stroming (boven ongeveer 4000). Wrijving langs een leiding kost het drukhoogteverlies volgens Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Hulpstukken, afsluiters, de intrede en de uittrede geven plaatselijke verliezen hm = ΣK·V²/(2g). Tussen twee open reservoiroppervlakken geeft de energievergelijking Δz = hf + hm, inclusief het uittredeverlies K = 1.
Beide oppervlakken staan open naar de lucht en zijn praktisch in rust, dus heel Δz gaat verloren in de leiding.
Antwoord: Q = 0,1373 m³/s
Formule van Manning (SI): voor eenparige stroming in een open waterloop geldt V = (1/n)·R2/3·S1/2 en Q = A·V, met n de ruwheidscoëfficiënt, S het bodemverhang (m/m) en R = A/P de hydraulische straal: doorstroomoppervlak gedeeld door natte omtrek. Alleen de wand die contact maakt met het water telt mee in P, niet het vrije oppervlak. Rechthoek: A = b·y, P = b + 2y. Trapezium met taluds z:1 (horizontaal:verticaal): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Een ronde buis die vol of half vol stroomt heeft R = D/4.
Antwoord: S = 0,004481 m/m
Formule van Manning (SI): voor eenparige stroming in een open waterloop geldt V = (1/n)·R2/3·S1/2 en Q = A·V, met n de ruwheidscoëfficiënt, S het bodemverhang (m/m) en R = A/P de hydraulische straal: doorstroomoppervlak gedeeld door natte omtrek. Alleen de wand die contact maakt met het water telt mee in P, niet het vrije oppervlak. Rechthoek: A = b·y, P = b + 2y. Trapezium met taluds z:1 (horizontaal:verticaal): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Een ronde buis die vol of half vol stroomt heeft R = D/4.
Dat is een daling van 4,481 m per kilometer.
Antwoord: Pel = 11,16 kW
Pompvermogen: het vermogen dat aan het water wordt gegeven is het hydraulisch vermogen Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. De as moet meer leveren omdat de pomp verliezen heeft: Pshaft = Ph/ηpump, en de motor neemt Pel = Pshaft/ηmotor op. De opvoerhoogte H volgt uit de energievergelijking: statische opvoerhoogte + drukhoogte + alle wrijvings- en plaatselijke verliezen.
Antwoord: Pshaft = 25,08 kW
Pompvermogen: het vermogen dat aan het water wordt gegeven is het hydraulisch vermogen Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. De as moet meer leveren omdat de pomp verliezen heeft: Pshaft = Ph/ηpump, en de motor neemt Pel = Pshaft/ηmotor op. De opvoerhoogte H volgt uit de energievergelijking: statische opvoerhoogte + drukhoogte + alle wrijvings- en plaatselijke verliezen.
Antwoord: FV = 26117 €
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Antwoord: I = 95611 €
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Antwoord: EAC = 8185 €
Equivalente jaarlijkse kosten: spreid de contante waarde van alle kosten over de levensduur als een gelijk jaarlijks bedrag (een annuïteit): EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ). Zo kun je machines met verschillende levensduren vergelijken.
Antwoord: IRR = 7,325 %
Netto contante waarde: zet elke kasstroom met het vereiste rendement r terug naar vandaag en tel ze op: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Een project met NPV > 0 verdient meer dan r en voegt waarde toe. De interne rentabiliteit (IRR) is de rente waarbij NPV = 0.
De NCW daalt als de rente stijgt, dus de IRR ligt tussen een rente met positieve en een met negatieve NCW.
Lineair interpoleren geeft een eerste schatting; dat herhalen (of de IRR-functie van een rekenmachine) geeft de exacte rente.
Antwoord: P = 0,06681
Sommen en verschillen van normale variabelen: als X en Y onafhankelijk en normaal verdeeld zijn, zijn X + Y en X − Y ook normaal verdeeld. Gemiddelden tellen op of worden afgetrokken: E(X ± Y) = μX ± μY. Varianties tellen altijd op, ook bij een verschil: Var(X ± Y) = σX² + σY², dus σ = √(σX² + σY²). Standaardafwijkingen tellen nooit rechtstreeks op. Het totaal van n onafhankelijke items met dezelfde verdeling heeft gemiddelde n·μ en standaardafwijking σ·√n. Standaardiseer daarna zoals gewoonlijk: z = (x − gemiddelde)/σ en lees Φ(z) af.
Antwoord: P = 0,8413
Sommen en verschillen van normale variabelen: als X en Y onafhankelijk en normaal verdeeld zijn, zijn X + Y en X − Y ook normaal verdeeld. Gemiddelden tellen op of worden afgetrokken: E(X ± Y) = μX ± μY. Varianties tellen altijd op, ook bij een verschil: Var(X ± Y) = σX² + σY², dus σ = √(σX² + σY²). Standaardafwijkingen tellen nooit rechtstreeks op. Het totaal van n onafhankelijke items met dezelfde verdeling heeft gemiddelde n·μ en standaardafwijking σ·√n. Standaardiseer daarna zoals gewoonlijk: z = (x − gemiddelde)/σ en lees Φ(z) af.
Dit is onafhankelijk oefenmateriaal. ExamProblems is niet verbonden aan of goedgekeurd door de organisatie die dit examen afneemt, en de naam van het examen wordt alleen gebruikt om de inhoud te beschrijven. Het FE exam wordt afgenomen door NCEES, dat niet verbonden is aan ExamProblems en het niet onderschrijft.
ExamProblems · examproblems.com/courses/fe-exam-civil