Hydrostatische kracht
- Druk op diepte
- p = ρgh
- Kracht op een verticale wand
- F = ρg·hc·A
- Drukpunt
- yp = yc + Ic/(ycA)
- Rechthoek
- Ic = bH³/12
Stromingsleer: samenvattingspakket
Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 8 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.
1Formules en methoden
Continuïteit en Bernoulli
- Continuïteit
- A1v1 = A2v2
- Bernoulli
- p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
- Debiet
- Q = A·v
- Oppervlakte van een cirkel
- A = πd²/4
Leidingwrijving en drukhoogteverlies
- Getal van Reynolds
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- Stromingsregime
- laminair onder Re ≈ 2000, turbulent boven Re ≈ 4000
- Gemiddelde snelheid
- V = Q/A, A = π·D²/4
- Darcy–Weisbach
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- Plaatselijke verliezen
- hm = ΣK·V²/(2g)
- Gangbare K-waarden
- intrede 0,5, uittrede 1,0, bocht van 90° ≈ 0,3
- Drukval
- Δp = ρ·g·hf
- Twee open reservoirs
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- Vrije uitstroming
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Pompen en pompvermogen
- Hydraulisch vermogen
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- Asvermogen
- Pshaft = Ph/ηpump
- Elektrisch vermogen
- Pel = Pshaft/ηmotor
- Opvoerhoogte van de pomp
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- Systeemverliezen
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
2Oefenopgaven
1.Hydrostatische krachtGemiddeld
Een verticale rechthoekige schuif van 3 m breed zit in de wand van een tank met water, met de bovenrand 1,5 m onder het oppervlak. Vind de resulterende hydrostatische kracht F op de schuif.
d = 1,5 mH = 2,5 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
2.Hydrostatische krachtMoeilijk
Een verticale rechthoekige schuif van 3 m breed zit in de wand van een tank met glycerine, met de bovenrand 4 m onder het oppervlak. Vind de resulterende hydrostatische kracht F op de schuif.
d = 4 mH = 3 mb = 3 mρ = 1260 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
3.Continuïteit en BernoulliGemiddeld
Water stroomt met 35 L/s door een horizontale leiding die versmalt van 200 mm naar 150 mm. De druk in het smalle deel is 230 kPa. Vind, zonder verliezen, de druk p1 in het brede deel.
Q = 35 L/sd1 = 200 mmd2 = 150 mmp2 = 230 kPaρ = 1000 kg/m³
p1 = kPa
4.Continuïteit en BernoulliMoeilijk
Water stroomt omhoog door een leiding die versmalt van 100 mm naar 40 mm en daarbij 8 m stijgt. In doorsnede 1 is de druk 230 kPa en de snelheid 1,75 m/s. Verwaarloos verliezen en vind de druk p2 in doorsnede 2.
d1 = 100 mmd2 = 40 mmp1 = 230 kPav1 = 1,75 m/sΔz = 8 mρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
5.Leidingwrijving en drukhoogteverliesGemiddeld
Water stroomt met een gemiddelde snelheid van 2,3 m/s door een leiding van 1000 m lang met een binnendiameter van 75 mm. Gebruik de Darcy-wrijvingsfactor f = 0,028 en g = 9,81 m/s². Vind het wrijvingsverlies hf.
V = 2,3 m/sL = 1000 mD = 75 mmf = 0,028g = 9,81 m/s²
hf = m
6.Leidingwrijving en drukhoogteverliesMoeilijk
Twee open reservoirs zijn verbonden door een leiding van 200 m lang met een binnendiameter van 300 mm en een Darcy-wrijvingsfactor f = 0,02. Het wateroppervlak van het bovenste reservoir ligt 24 m boven dat van het onderste. De plaatselijke verliezen zijn een scherpe intrede (K = 0,5), 4 bochten (K = 0,3 per stuk), een afsluiter (K = 2) en de uittrede in het lagere reservoir (K = 1,0). Gebruik g = 9,81 m/s². Vind het debiet Q in L/s.
Δz = 24 mL = 200 mD = 300 mmf = 0,02Kentrance = 0,5Kbend = 0,3 (×4)Kvalve = 2Kexit = 1,0
Q = L/s
7.Pompen en pompvermogenGemiddeld
Bij een test levert een pomp 20 L/s water (ρ = 1000 kg/m³) tegen een opvoerhoogte van 60 m, terwijl de as 15,7 kW opneemt. Gebruik g = 9,81 m/s². Vind het pomprendement η in procent.
Q = 20 L/sH = 60 mPshaft = 15,7 kWg = 9,81 m/s²
η = %
8.Pompen en pompvermogenMoeilijk
Een pomp verplaatst 80 L/s water (ρ = 1000 kg/m³) van een open lager reservoir naar een hoger gelegen tank waarvan het wateroppervlak 9 m hoger ligt. De leiding is 300 m lang met een binnendiameter van 200 mm en een Darcy-wrijvingsfactor f = 0,018; de coëfficiënten voor plaatselijke verliezen tellen op tot ΣK = 6 (intrede en uittrede inbegrepen). Gebruik g = 9,81 m/s². Vind de opvoerhoogte H die de pomp moet toevoegen.
Q = 80 L/sΔz = 9 mL = 300 mD = 200 mmf = 0,018ΣK = 6
H = m
3Oplossingen
1.Hydrostatische kracht
Antwoord: F = 202,3 kN
Hydrostatische kracht op een vlak oppervlak: F = ρ·g·yc·A. De kracht grijpt aan in het drukpunt, ycp = yc + Ic/(ycA), dat altijd onder het zwaartepunt ligt.
Diepte van het zwaartepunt en oppervlakte
yc = d + H/2 = 1,5 + 2,5/2 = 2,75 m
A = H·b = 2,5·3 = 7,5 m²
Resulterende kracht
F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·2,75·7,5 = 202,3 kN
Antwoord
F = 202,3 kN
2.Hydrostatische kracht
Antwoord: F = 611,8 kN
Hydrostatische kracht op een vlak oppervlak: F = ρ·g·yc·A. De kracht grijpt aan in het drukpunt, ycp = yc + Ic/(ycA), dat altijd onder het zwaartepunt ligt.
Diepte van het zwaartepunt en oppervlakte
yc = d + H/2 = 4 + 3/2 = 5,5 m
A = H·b = 3·3 = 9 m²
Resulterende kracht
F = ρ·g·yc·A = 1260·9,81·5,5·9 = 611,8 kN
Antwoord
F = 611,8 kN
3.Continuïteit en Bernoulli
Antwoord: p1 = 231,3 kPa
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
Snelheden
v1 = Q/A1 = 0,035/0,03142 = 1,114 m/s
v2 = Q/A2 = 0,035/0,01767 = 1,981 m/s
Bernoulli
p1 = p2 + ½ρ(v2² − v1²) = 230 + ½·1000·(1,981² − 1,114²)/1000 = 230 + 1,341 = 231,3 kPa
Antwoord
p1 = 231,3 kPa
4.Continuïteit en Bernoulli
Antwoord: p2 = 93,24 kPa
Continuïteit en Bernoulli: voor een onsamendrukbare vloeistof is het debiet in elke doorsnede gelijk, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Langs een stroomlijn zonder verliezen is p + ½ρv² + ρgz constant, dus waar de vloeistof sneller stroomt of hoger ligt, is de druk lager.
Continuïteit en Bernoulli
Werk in Pa, en deel dan door 1000 om kPa te krijgen.
v2 = v1·(d1/d2)² = 1,75·(100/40)² = 10,94 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(1,75² − 10,94²)/1000 = −58,28 kPa
ρgΔz = 1000·9,81·8/1000 = 78,48 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) − ρgΔz = 230 + (−58,28) − 78,48 = 93,24 kPa
Antwoord
p2 = 93,24 kPa
5.Leidingwrijving en drukhoogteverlies
Antwoord: hf = 100,7 m
Leidingstroming: het getal van Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ onderscheidt laminaire stroming (Re onder ongeveer 2000) van turbulente stroming (boven ongeveer 4000). Wrijving langs een leiding kost het drukhoogteverlies volgens Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Hulpstukken, afsluiters, de intrede en de uittrede geven plaatselijke verliezen hm = ΣK·V²/(2g). Tussen twee open reservoiroppervlakken geeft de energievergelijking Δz = hf + hm, inclusief het uittredeverlies K = 1.
Snelheidshoogte
V²/(2g) = 2,3²/(2·9,81) = 0,2696 m
Darcy–Weisbach
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,028·(1000/0,075)·2,3²/(2·9,81) = 100,7 m
Antwoord
hf = 100,7 m
6.Leidingwrijving en drukhoogteverlies
Antwoord: Q = 361,2 L/s
Leidingstroming: het getal van Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ onderscheidt laminaire stroming (Re onder ongeveer 2000) van turbulente stroming (boven ongeveer 4000). Wrijving langs een leiding kost het drukhoogteverlies volgens Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Hulpstukken, afsluiters, de intrede en de uittrede geven plaatselijke verliezen hm = ΣK·V²/(2g). Tussen twee open reservoiroppervlakken geeft de energievergelijking Δz = hf + hm, inclusief het uittredeverlies K = 1.
Verliescoëfficiënten
f·L/D = 0,02·200/0,3 = 13,33
ΣK = 0,5 + 4·0,3 + 2 + 1,0 = 4,7
Energievergelijking
Beide oppervlakken staan open naar de lucht en zijn praktisch in rust, dus heel Δz gaat verloren in de leiding.
24 = (13,33 + 4,7)·V²/(2·9,81)
V = √(2·9,81·24/18,03) = 5,11 m/s
Debiet
Q = V·π·D²/4 = 5,11·0,07069 = 0,3612 m³/s = 361,2 L/s
Antwoord
Q = 361,2 L/s
7.Pompen en pompvermogen
Antwoord: η = 74,98 %
Pompvermogen: het vermogen dat aan het water wordt gegeven is het hydraulisch vermogen Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. De as moet meer leveren omdat de pomp verliezen heeft: Pshaft = Ph/ηpump, en de motor neemt Pel = Pshaft/ηmotor op. De opvoerhoogte H volgt uit de energievergelijking: statische opvoerhoogte + drukhoogte + alle wrijvings- en plaatselijke verliezen.
Hydraulisch vermogen
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,02·60 = 11,77 kW
Rendement
η = Ph/Pshaft = 11,77/15,7 = 74,98%
Antwoord
η = 74,98%
8.Pompen en pompvermogen
Antwoord: H = 19,91 m
Pompvermogen: het vermogen dat aan het water wordt gegeven is het hydraulisch vermogen Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. De as moet meer leveren omdat de pomp verliezen heeft: Pshaft = Ph/ηpump, en de motor neemt Pel = Pshaft/ηmotor op. De opvoerhoogte H volgt uit de energievergelijking: statische opvoerhoogte + drukhoogte + alle wrijvings- en plaatselijke verliezen.
Snelheid
V = Q/A = 0,08/0,03142 = 2,546 m/s
V²/(2g) = 0,3305 m
Drukhoogteverliezen
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (27 + 6)·0,3305 = 10,91 m
Opvoerhoogte van de pomp
Beide oppervlakken zijn open en praktisch in rust, dus de druk- en snelheidstermen vallen weg.
H = Δz + hL = 9 + 10,91 = 19,91 m
Antwoord
H = 19,91 m
ExamProblems · examproblems.com/courses/fluid-mechanics