Hydrostatische kracht
- Druk op diepte
- p = ρgh
- Kracht op een verticale wand
- F = ρg·hc·A
- Drukpunt
- yp = yc + Ic/(ycA)
- Rechthoek
- Ic = bH³/12
Stromingsleer: samenvattingspakket
Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 8 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.
1Formules en methoden
Continuïteit en Bernoulli
- Continuïteit
- A1v1 = A2v2
- Bernoulli
- p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
- Debiet
- Q = A·v
- Oppervlakte van een cirkel
- A = πd²/4
Leidingwrijving en drukhoogteverlies
- Getal van Reynolds
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- Stromingsregime
- laminair onder Re ≈ 2000, turbulent boven Re ≈ 4000
- Gemiddelde snelheid
- V = Q/A, A = π·D²/4
- Darcy–Weisbach
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- Plaatselijke verliezen
- hm = ΣK·V²/(2g)
- Gangbare K-waarden
- intrede 0,5, uittrede 1,0, bocht van 90° ≈ 0,3
- Drukval
- Δp = ρ·g·hf
- Twee open reservoirs
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- Vrije uitstroming
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Pompen en pompvermogen
- Hydraulisch vermogen
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- Asvermogen
- Pshaft = Ph/ηpump
- Elektrisch vermogen
- Pel = Pshaft/ηmotor
- Opvoerhoogte van de pomp
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- Systeemverliezen
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
2Oefenopgaven
1.Hydrostatische krachtGemiddeld
Een verticale rechthoekige schuif van 1 m breed zit in de wand van een tank met water, met de bovenrand 2 m onder het oppervlak. Vind de resulterende hydrostatische kracht F op de schuif.
d = 2 mH = 1 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
2.Hydrostatische krachtMoeilijk
Een verticale rechthoekige schuif van 1 m breed zit in de wand van een tank met glycerine, met de bovenrand 1 m onder het oppervlak. Vind de diepte ycp van het drukpunt onder het oppervlak.
d = 1 mH = 1,5 mb = 1 mρ = 1260 kg/m³g = 9,81 m/s²
ycp = m
3.Continuïteit en BernoulliGemiddeld
Water loopt uit een grote open tank via een scherpgerande opening met een diameter van 20 mm. Het waterniveau wordt op 3 m boven de opening gehouden en de afvoercoëfficiënt is 0,65. Vind het debiet Q. Gebruik g = 9,81 m/s².
d = 20 mmh = 3 mCd = 0,65g = 9,81 m/s²
Q = L/s
4.Continuïteit en BernoulliMoeilijk
Een horizontale venturimeter (inlaat 100 mm, keel 50 mm) voert water. Een kwik-U-buismanometer tussen de inlaat en de keel toont een niveauverschil van 360 mm. De afvoercoëfficiënt is 0,98. Vind het debiet Q. Gebruik ρ = 1000 kg/m³ voor water, 13 600 kg/m³ voor kwik en g = 9,81 m/s².
d1 = 100 mmd2 = 50 mmΔh = 360 mmCd = 0,98ρHg = 13 600 kg/m³g = 9,81 m/s²
Q = L/s
5.Leidingwrijving en drukhoogteverliesGemiddeld
Water (ρ = 1000 kg/m³) stroomt met 2,5 m/s door een horizontale leiding van 1000 m lang met een binnendiameter van 100 mm. Gebruik de Darcy-wrijvingsfactor f = 0,015 en g = 9,81 m/s². Vind de drukval Δp over de leiding in kPa.
V = 2,5 m/sL = 1000 mD = 100 mmf = 0,015ρ = 1000 kg/m³
Δp = kPa
6.Leidingwrijving en drukhoogteverliesMoeilijk
Twee open reservoirs zijn verbonden door een leiding van 150 m lang met een binnendiameter van 200 mm en een Darcy-wrijvingsfactor f = 0,025. Het wateroppervlak van het bovenste reservoir ligt 7 m boven dat van het onderste. De plaatselijke verliezen zijn een scherpe intrede (K = 0,5), 4 bochten (K = 0,3 per stuk), een afsluiter (K = 5) en de uittrede in het lagere reservoir (K = 1,0). Gebruik g = 9,81 m/s². Vind het debiet Q in L/s.
Δz = 7 mL = 150 mD = 200 mmf = 0,025Kentrance = 0,5Kbend = 0,3 (×4)Kvalve = 5Kexit = 1,0
Q = L/s
7.Pompen en pompvermogenGemiddeld
Bij een test levert een pomp 80 L/s water (ρ = 1000 kg/m³) tegen een opvoerhoogte van 56 m, terwijl de as 51,7 kW opneemt. Gebruik g = 9,81 m/s². Vind het pomprendement η in procent.
Q = 80 L/sH = 56 mPshaft = 51,7 kWg = 9,81 m/s²
η = %
8.Pompen en pompvermogenMoeilijk
Een pomp verplaatst 20 L/s water (ρ = 1000 kg/m³) van een open lager reservoir naar een hoger gelegen tank waarvan het wateroppervlak 6 m hoger ligt. De leiding is 100 m lang met een binnendiameter van 100 mm en een Darcy-wrijvingsfactor f = 0,018; de coëfficiënten voor plaatselijke verliezen tellen op tot ΣK = 4 (intrede en uittrede inbegrepen). Gebruik g = 9,81 m/s². Het pomprendement is 85%. Vind het asvermogen Pshaft in kW.
Q = 20 L/sΔz = 6 mL = 100 mD = 100 mmf = 0,018ΣK = 4η = 85%
Pshaft = kW
3Oplossingen
1.Hydrostatische kracht
Antwoord: F = 24,52 kN
Hydrostatische kracht op een vlak oppervlak: F = ρ·g·yc·A. De kracht grijpt aan in het drukpunt, ycp = yc + Ic/(ycA), dat altijd onder het zwaartepunt ligt.
Diepte van het zwaartepunt en oppervlakte
yc = d + H/2 = 2 + 1/2 = 2,5 m
A = H·b = 1·1 = 1 m²
Resulterende kracht
F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·2,5·1 = 24,52 kN
Antwoord
F = 24,52 kN
2.Hydrostatische kracht
Antwoord: ycp = 1,857 m
Hydrostatische kracht op een vlak oppervlak: F = ρ·g·yc·A. De kracht grijpt aan in het drukpunt, ycp = yc + Ic/(ycA), dat altijd onder het zwaartepunt ligt.
Diepte van het zwaartepunt en oppervlakte
yc = d + H/2 = 1 + 1,5/2 = 1,75 m
A = H·b = 1,5·1 = 1,5 m²
Resulterende kracht
F = ρ·g·yc·A = 1260·9,81·1,75·1,5 = 32,45 kN
Drukpunt
De druk neemt toe met de diepte, dus de resultante grijpt aan onder het zwaartepunt.
Ic = b·H³/12 = 1·1,5³/12 = 0,2813 m⁴
ycp = yc + Ic/(yc·A) = 1,75 + 0,2813/(1,75·1,5) = 1,857 m
Antwoord
ycp = 1,857 m
3.Continuïteit en Bernoulli
Antwoord: Q = 1,567 L/s
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
Ideale straalsnelheid
√(2gh) = √(2·9,81·3) = 7,672 m/s
Werkelijk debiet
De afvoercoëfficiënt houdt rekening met de contractie van de straal en de wrijving aan de rand.
Q = Cd·A·√(2gh) = 0,65·0,0003142·7,672 = 0,001567 m³/s = 1,567 L/s
Antwoord
Q = 1,567 L/s
4.Continuïteit en Bernoulli
Antwoord: Q = 18,75 L/s
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
Drukverschil uit de manometer
Δp = (13600 − 1000)·9,81·0,36 = 44498 Pa
Snelheid in de keel
Continuïteit en Bernoulli samen geven de ideale snelheid in de keel.
β = 50/100 = 0,5
v2 = √(2·44498/(1000·(1 − 0,0625))) = 9,743 m/s
Werkelijk debiet
Q = Cd·A2·v2 = 0,98·0,001963·9,743 = 0,01875 m³/s = 18,75 L/s
Antwoord
Q = 18,75 L/s
5.Leidingwrijving en drukhoogteverlies
Antwoord: Δp = 468,8 kPa
Leidingstroming: het getal van Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ onderscheidt laminaire stroming (Re onder ongeveer 2000) van turbulente stroming (boven ongeveer 4000). Wrijving langs een leiding kost het drukhoogteverlies volgens Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Hulpstukken, afsluiters, de intrede en de uittrede geven plaatselijke verliezen hm = ΣK·V²/(2g). Tussen twee open reservoiroppervlakken geeft de energievergelijking Δz = hf + hm, inclusief het uittredeverlies K = 1.
Drukhoogteverlies
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,015·(1000/0,1)·2,5²/(2·9,81) = 47,78 m
Drukval
De leiding is horizontaal en de snelheid verandert niet, dus de energievergelijking wordt Δp = ρ·g·hf.
Δp = ρ·g·hf = 1000·9,81·47,78 = 468750 Pa = 468,8 kPa
Antwoord
Δp = 468,8 kPa
6.Leidingwrijving en drukhoogteverlies
Antwoord: Q = 71,59 L/s
Leidingstroming: het getal van Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ onderscheidt laminaire stroming (Re onder ongeveer 2000) van turbulente stroming (boven ongeveer 4000). Wrijving langs een leiding kost het drukhoogteverlies volgens Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Hulpstukken, afsluiters, de intrede en de uittrede geven plaatselijke verliezen hm = ΣK·V²/(2g). Tussen twee open reservoiroppervlakken geeft de energievergelijking Δz = hf + hm, inclusief het uittredeverlies K = 1.
Verliescoëfficiënten
f·L/D = 0,025·150/0,2 = 18,75
ΣK = 0,5 + 4·0,3 + 5 + 1,0 = 7,7
Energievergelijking
Beide oppervlakken staan open naar de lucht en zijn praktisch in rust, dus heel Δz gaat verloren in de leiding.
7 = (18,75 + 7,7)·V²/(2·9,81)
V = √(2·9,81·7/26,45) = 2,279 m/s
Debiet
Q = V·π·D²/4 = 2,279·0,03142 = 0,07159 m³/s = 71,59 L/s
Antwoord
Q = 71,59 L/s
7.Pompen en pompvermogen
Antwoord: η = 85,01 %
Pompvermogen: het vermogen dat aan het water wordt gegeven is het hydraulisch vermogen Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. De as moet meer leveren omdat de pomp verliezen heeft: Pshaft = Ph/ηpump, en de motor neemt Pel = Pshaft/ηmotor op. De opvoerhoogte H volgt uit de energievergelijking: statische opvoerhoogte + drukhoogte + alle wrijvings- en plaatselijke verliezen.
Hydraulisch vermogen
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,08·56 = 43,95 kW
Rendement
η = Ph/Pshaft = 43,95/51,7 = 85,01%
Antwoord
η = 85,01%
8.Pompen en pompvermogen
Antwoord: Pshaft = 3,063 kW
Pompvermogen: het vermogen dat aan het water wordt gegeven is het hydraulisch vermogen Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. De as moet meer leveren omdat de pomp verliezen heeft: Pshaft = Ph/ηpump, en de motor neemt Pel = Pshaft/ηmotor op. De opvoerhoogte H volgt uit de energievergelijking: statische opvoerhoogte + drukhoogte + alle wrijvings- en plaatselijke verliezen.
Snelheid
V = Q/A = 0,02/0,007854 = 2,546 m/s
V²/(2g) = 0,3305 m
Drukhoogteverliezen
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (18 + 4)·0,3305 = 7,271 m
Opvoerhoogte van de pomp
H = Δz + hL = 6 + 7,271 = 13,27 m
Asvermogen
Pshaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,02·13,27/0,85 = 3,063 kW
Antwoord
Pshaft = 3,063 kW
ExamProblems · examproblems.com/courses/fluid-mechanics